Systèmes de coordonnées

Vitesse

La notion de vitesse est assez intuitive. Par exemple quand on dit que j’ai parcouru 100 km pendant une durée d’une heure, cela veut dire que j’ai parcourue cette distance à la vitesse de 100 km/h en moyenne. En effet, il est improbable que j’ai pu maintenir exactement la vitesse de 100 km/h sur tout le trajet. Ceci permet de mettre en exergue la notion de vitesse instantanée, c’est cette vitesse qui est affichée sur le tachymètre, et c’est cette vitesse qui est contrôlée sur nos routes.

La vitesse moyenne est la distance parcourue D pendant la durée totale t, ce qui s’écrit :

v_{moyenne} = \displaystyle\frac{D}{t}

Cependant, c’est une vitesse moyenne. On peut par exemple découper le trajet en plusieurs tronçons : (d_1, d_2, d_3, \dots , d_n), chacun parcouru pendant une durée \tau = t/n, de sorte que l’on peut définir des vitesses moyennes v_i sur chaque tronçon de la manière suivante :

v_i = \displaystyle\frac{d_i}{\tau}

On peut subdiviser les distances parcourues extrêmement finement, de sorte que l’on peut calculer la vitesse instantanée. En effet, si nous notons la fonction D(t) la distance parcourue en fonction du temps, la vitesse moyenne pendant un tronçon est :

v = \displaystyle\frac{d(t_0 +\Delta t) - d(t_0)}{\Delta t}

En passant à la limite où \Delta t tend vers zéro, nous obtenons la vitesse instantanée. Cela n’est pas autre chose que la dérivée de la fonction D(t), que l’on peut noter en différentiels comme Leibniz ou avec un point comme Newton :

v(t) = \displaystyle\frac{dD}{dt} = \dot D

Lorsque nous exprimons la position d’un objet par son vecteur position \overrightarrow{OM}, exprimée dans une base donnée, alors sa vitesse instantanée est donnée par la dérivée du vecteur position :

v(t) = \displaystyle\frac{d \overrightarrow{OM}(t)}{dt}= \frac{d}{dt}(c_1 \vec e_1 + c_2 \vec e_2 + c_3 \vec e_3)

Vitesse en coordonnées cartésiennes

Le vecteur position en coordonnées cartésiennes s’exprime de la façon suivante :

\overrightarrow{OM}(t) = x(t)\vec e_x + y(t)\vec e_y + z(t)\vec e_z

où on a explicité les dépendances temporelles. Il faut bien garder à l’esprit que les vecteurs de la base sont constants, seules les coordonnées dépendent du temps. Le vecteur vitesse se calcule en prenant la dérivée des coordonnées. Nous adopterons ici la notation de Newton :

v(t) = \dot x \vec e_x + \dot y \vec e_y + \dot z \vec e_z

où nous n’avons pas expliciter la dépendance temporelle des coordonnées pour ne pas surcharger l’écriture.

vitesse en coordonnées cylindriques

Nous allons procéder de la même façon que précédemment, sauf qu’ici, les deux vecteurs (\vec e_r,\vec e_\theta) dépendent de l’angle \theta qui lui dépend explicitement du temps. C’est pourquoi lorsque nous dériverons une composante, il faudra penser à dériver la coordonnée et le vecteur associé.

Avant d’attaquer, nous devons exprimer la dérivée des vecteurs de la base. Pour cela, exprimons le vecteur \vec e_r dans la base cartésienne.

\vec e_r = \cos\theta \vec e_x + \sin\theta \vec e_y

La dérivée temporelle donne, après factorisation, et en reconnaissant l’expression de \vec e_\theta alors :

\displaystyle\frac{d \vec e_r}{dt} = -\dot\theta\sin\theta \vec e_x + \dot\theta\cos\theta \vec e_y = \dot\theta \vec e_\theta

Rappelons l’expression du vecteur orthoradial :

\vec e_\theta = -\sin\theta\vec e_x + \cos\theta\vec e_y

Calculons la dérivée temporelle du vecteur, et en reconnaissant cette fois le vecteur radial :

\displaystyle\frac{d\vec e_\theta}{dt} = -\dot\theta\cos\theta\vec e_x - \dot\theta\sin\theta\vec e_y = -\dot\theta\vec e_r

Nous sommes maintenant parés pour calculer le vecteur vitesse en coordonnées cylindriques. Rappelons encore l’expression du vecteur position :

\overrightarrow{OM} = r\vec e_r + z\vec e_z

Calculons maintenant la dérivée, obtenant :

v(t) = \dot r \vec e_r + r\dot\theta \vec e_\theta + \dot z \vec e_z

vitesse en coordonnées sphériques

Rappelons encore l’expression des coordonnées de la base en fonction de la base cartésienne :

\left\{\begin{array}{rcl}\vec e_r & = & \sin\theta\cos\varphi\vec e_x + \sin\theta\sin\varphi\vec e_y + \cos\theta \vec e_z\\ \vec e_\theta & = & \cos\theta\cos\varphi\vec e_x+ \cos\theta\sin\varphi\vec e_y -\sin\theta\vec e_z\\ \vec e_\varphi & = & -\sin\varphi\vec e_x +\cos\varphi\vec e_y\end{array}\right.

Calculons d’abord la dérivée du vecteur radial, obtenant :

\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{d \vec e_r}{dt} & = & \dot\theta(\cos\theta\cos\varphi\vec e_x + \cos\theta\sin\varphi\vec e_y - \sin\theta \vec e_z) \\ & & \dot\varphi(-\sin\theta\sin\varphi\vec e_x + \sin\theta\cos\varphi\vec e_y)\\ & = &\dot \theta \vec e_\theta + \dot\varphi\sin\theta\vec e_\varphi\end{array}

Calculons maintenant la dérivée du vecteur \vec e_\theta :

\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{d \vec e_\theta}{dt} & = & \dot\theta(-\sin\theta\cos\varphi\vec e_x- \sin\theta\sin\varphi\vec e_y -\cos\theta\vec e_z) \\ & & \dot\varphi(-\cos\theta\sin\varphi\vec e_x+ \cos\theta\cos\varphi\vec e_y)\\ & = & -\dot \theta \vec e_r + \dot\varphi\cos\theta\vec e_\varphi\end{array}

Calculons maintenant la dérivée du dernier vecteur et exprimons la en fonction des vecteurs de la base :

\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{d \vec e_\varphi}{dt} & = & \dot\varphi(-\cos\varphi\vec e_x - \sin\varphi\vec e_y) \\ & = & -\dot\varphi(\sin\theta\vec e_r + \cos\theta \vec e_\theta)\end{array}

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