Systèmes de coordonnées

Divergence

Après avoir introduit le champ le plus simple, nous savons qu’il existe des champs de vecteur, par exemple la carte des vents. En effet, celle-ci donne en tout point d’un plan, la direction, et l’intensité du vent, i.e. le vecteur vitesse du vent. A partir d’un champ de vecteur il est possible de calculer sa divergence.

Définition

Soit \vec F un champ de vecteur. Alors d’après le théorème d’Ostrogradski, il est possible de définir une quantité que l’on appelle divergence d’un vecteur, qui est un scalaire, intégré sur un volume est la même chose que le flux de ce vecteur à travers la surface fermée de ce volume.

\displaystyle\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_V\vec\nabla\cdot\vec{F}\,dV=\int\!\!\!\!\int_\Sigma \vec{F}\cdot\overrightarrow{dS}

Expression de la divergence en coordonnées cartésiennes

Dans la suite nous suivrons toujours la même démarche. Nous calculerons en premier lieu le volume élémentaire, puis nous calculerons le flux à travers les surfaces élémentaires. Ensuite nous utiliserons le théorème d’Ostrogradski pour identifier l’expression de la divergence.

Expression du volume infinitésimal

C’est le produit des déplacements infinitésimaux dans chaque direction :

dV=dx\cdot dy\cdot dz

Expression du flux

Le flux à travers chaque surface orientée suivant (Ox) s’écrit :
\displaystyle \Phi_{x+dx} + \Phi_x = F_x(x+dx,y,z)\vec{e}x\cdot(dydz\vec{e}_x) + F_x(x,y,z)\vec{e}_x\cdot(dydz)(-\vec{e}_x) = \frac{\partial F_x}{\partial x}dxdydz
Le flux à travers chaque surface orientée suivant (Oy) s’écrit :
\displaystyle \Phi{y+dy} + \Phi_y = F_y(x,y+dy,z)\vec{e}y\cdot(dxdz\vec{e}_y) + F_y(x,y,z)\vec{e}_y\cdot(dxdz)(-\vec{e}_y) = \frac{\partial F_y}{\partial y}dxdydz
Le flux à travers chaque surface orientée suivant (Oz) s’écrit :
\displaystyle \Phi{z+dz} + \Phi_z = F_z(x,y,z+dz)\vec{e}_z\cdot(dxdy\vec{e}_z) + F_z(x,y,z)\vec{e}_z\cdot(dxdy)(-\vec{e}_z) = \frac{\partial F_z}{\partial z}dxdydz

Expression de la divergence

Nous en déduisons que :
\displaystyle\vec\nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

Expression de la divergence en coordonnées cylindriques

Expression du volume infinitésimal

De la même façon le volume s’écrit :
dV=dr\cdot rd\theta\cdot dz

Expression du flux

Le flux à travers chaque surface orientée suivant \vec{e}_r s’écrit :
\displaystyle \Phi_{r+dr} + \Phi_r = F_r(r+dr,\theta,z)\vec{e}_r\cdot(r+dr)d\theta dz\vec{e}_r + F_r(r,\theta,z)\vec{e}_r\cdot rd\theta dz(-\vec{e}_r) = \frac{\partial (rF_r)}{\partial r}dr d\theta dz
Le flux à travers chaque surface orientée suivant \vec{e}_\theta s’écrit :
\displaystyle \Phi_{\theta+d\theta} + \Phi_\theta = F_\theta(r,\theta+d\theta,z)\vec{e}_\theta\cdot r d\theta dz\vec{e}_\theta + F_\theta(r,\theta,z)\vec{e}_\theta\cdot dr dz(-\vec{e}_\theta) = \frac{\partial F_\theta}{\partial \theta}dr d\theta dz
Le flux à travers chaque surface orientée suivant (Oz) s’écrit :
\displaystyle \Phi_{z+dz} + \Phi_z = F_z(r,\theta,z+dz)\vec{e}_z\cdot(dr rd\theta\vec{e}_z) + F_z(r,\theta,z)\vec{e}_z\cdot(dr rd\theta)(-\vec{e}_z) = \frac{\partial F_z}{\partial z}dr rd\theta dz

Expression de la divergence

La divergence en coordonnée cylindrique s’écrit :

\displaystyle\vec\nabla\cdot\vec{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial (rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

Divergence en coordonnées sphériques

Expression du volume infinitésimal

De la même façon le volume s’écrit :
dV=r^2 \sin\theta dr d\theta d\varphi
Le flux à travers chaque surface orientée suivant \vec{e}_r s’écrit : \displaystyle\begin{array}{l} \Phi_{r+dr} + \Phi_r = F_r(r+dr,\theta,\varphi)(r+dr)^2d\theta\sin\theta d\varphi - F_r(r,\theta,\varphi) r^2d\theta\sin\theta d\varphi =\\ \displaystyle \frac{\partial (r^2F_r)}{\partial r}\sin\theta dr d\theta d\varphi\end{array}
Le flux à travers chaque surface orientée suivant \vec{e}_\theta s’écrit : \Phi_{\theta+d\theta} + \Phi_\theta = F_\theta(r,\theta+d\theta,\varphi) dr r\sin(\theta+d\theta)d\varphi - F_\theta(r,\theta,\varphi) dr r\sin\theta d\varphi = \displaystyle\frac{\partial (\sin\theta F_\theta)}{\partial \theta}r dr d\theta d\varphi
Le flux à travers chaque surface orientée suivant \vec{e}_\varphi s’écrit : \Phi_{\varphi+d\varphi} + \Phi_\varphi = F_\varphi(r,\theta,\varphi+d\varphi) dr rd\theta - F_\varphi(r,\theta,\varphi) dr rd\theta = \displaystyle\frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}r dr d\theta d\varphi

Expression de la divergence

L’expression de la divergence en coordonnées sphériques s’écrit :

\displaystyle\vec\nabla\cdot\vec{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial (\sin\theta F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}

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