Systèmes de coordonnées

Rotationnel

Définition

Soit \vec{F} un champ de vecteur. Alors d’après le théorème de Stokes, il est possible de définir une quantité que l’on appelle rotationnel d’un vecteur, l’intégrale du vecteur \vec F le long d’une boucle fermée est égale au flux du rotationnel de ce même vecteur à travers la surface orientée décrite par cette boucle.
\displaystyle\oint_l\vec{F}\cdot\overrightarrow{dl} = \int\!\!\!\!\int_S (\vec\nabla\times \vec F)\cdot\overrightarrow{dS}

Expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes

Expression du flux

Soit la boucle dans le plan x=cste, les sommets du carré ont les coordonnées : (x,y,z), (x,y+dy,z), (x,y+dy,z+dz) et (x,y,z+dz). L’intégrale le long de cette boucle élémentaire s’écrit :
\begin{array}{l} B_y(x,y,z)dy + B_z(x,y+dy,z)dz - B_y(x,y+dy,z+dz)dy - B_z(x,y,z+dz)dz =\\ \left(-\displaystyle\frac{\partial B_y}{\partial z} + \frac{\partial B_z}{\partial y}\right)dy\;dz\end{array}
Les surfaces élémentaires des carrés sont dS = dy\;dz Soit donc :
\left(\vec\nabla\times\vec B\right)_x = \displaystyle\frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z}
De la même façon par permutation circulaire des coordonnées, l’on obtient les flux à travers les autres surfaces élémentaires.

Expression du rotationnel

L’on obtient :

\displaystyle\vec\nabla\times \vec B = \left(\frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z}\right)\vec{e}_x + \left(\frac{\partial B_x}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial x}\right)\vec{e}_y + \left(\frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y}\right)\vec{e}_z

Expression du rotationnel en coordonnées cylindriques

Expression du flux

Soit la boucle en r=cste, les sommets du carré ont les coordonnées : (r,\theta,z), (r,\theta+d\theta,z), (r,\theta+d\theta,z+dz) et (r,\theta,z+dz). L’intégrale le long de cette boucle élémentaire s’écrit :

\begin{array}{l} B_\theta(r,\theta,z)rd\theta + B_z(r,\theta+d\theta,z)dz - B_\theta(r,\theta + d\theta,z+dz)rd\theta - B_z(r,\theta,z+dz)dz =\\ \displaystyle \left(-r\frac{\partial B_\theta}{\partial z} + \frac{\partial B_z}{\partial \theta}\right)d\theta dz\end{array}

Les surfaces élémentaires des carrés sont dS = rd\theta dz. Soit donc :
\left(\vec\nabla\times\vec B\right)_r = \displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial B_z}{\partial \theta} - \frac{\partial B_\theta}{\partial z}

Nous allons procéder de la même façon avec la boucle en \theta=cste, les sommets du carré ont les coordonnées : (r,\theta,z), (r+dr,\theta,z), (r+dr,\theta,z+dz) et (r,\theta,z+dz), qui est orientée suivant -\vec e_\theta. L’intégrale le long de cette boucle élémentaire s’écrit :
\displaystyle \begin{array}{l} B_r(r,\theta,z)dr + B_z(r+dr,\theta,z)dz - B_r(r+dr,\theta,z+dz)dr - B_z(r,\theta,z+dz)dz =\\ \displaystyle \left(-\frac{\partial B_r}{\partial z} + \frac{\partial B_z}{\partial r}\right)dr dz\end{array}
Les surfaces élémentaires des carrés sont dS = dr dz. Soit donc :
\left(\vec\nabla\times\vec B\right)_\theta = \displaystyle \frac{\partial B_r}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial r}

Pour la boucle en z=cste, les sommets du carré ont les coordonnées : (r,\theta,z), (r+dr,\theta,z), (r+dr,\theta+d\theta,z) et (r,\theta+d\theta,z). L’intégrale le long de cette boucle élémentaire s’écrit :
\begin{array}{l} B_r(r,\theta,z)dr + B_\theta(r+dr,\theta,z)(r+dr)d\theta - B_r(r+dr,\theta+d\theta,z)dr - B_\theta(r,\theta+d\theta,z)rd\theta =\\ \displaystyle\left(-\frac{\partial B_r}{\partial \theta} + \frac{\partial (rB_\theta)}{\partial r}\right)dr d\theta\end{array}
Les surfaces élémentaires des carrés sont dS = r\;dr\; d\theta, soit donc :
\left(\vec\nabla\times\vec B\right)_z = \displaystyle\frac{1}{r}\left(\frac{\partial (rB_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial B_r}{\partial \theta}\right)

Expression du rotationnel

L’on en déduit de ce qui précède :
\vec\nabla\times\vec B = \displaystyle\left(\begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial B_z}{\partial \theta} - \frac{\partial B_\theta}{\partial z}\\ \displaystyle \frac{\partial B_r}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial r} \\ \displaystyle \frac{1}{r}\left(\frac{\partial (rB_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial B_r}{\partial \theta}\right) \end{array}\right)

\vec\nabla\times\vec B = \displaystyle  \left(\frac{1}{r}\frac{\partial B_z}{\partial \theta} - \frac{\partial B_\theta}{\partial z}\right) \vec e_r + \left( \frac{\partial B_r}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial r}\right) \vec e_\theta + \left( \frac{1}{r}\left(\frac{\partial (rB_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial B_r}{\partial \theta}\right)\right)\vec e_z

Coordonnées Sphériques

Expression du flux

Soit la boucle en r=cste, les sommets du carré ont les coordonnées : (r,\theta,\varphi), (r,\theta+d\theta,\varphi), (r,\theta+d\theta,\varphi+d\varphi) et (r,\theta,\varphi+d\varphi). L’intégrale le long de cette boucle élémentaire s’écrit :
\begin{array}{l} B_\theta(r,\theta,\varphi)rd\theta + B_\varphi(r,\theta+d\theta, \varphi)r\sin(\theta+d\theta)d\varphi\\ -B_\theta(r,\theta+d\theta,\varphi+d\varphi)rd\theta - B_\varphi(r,\theta,\varphi+d\varphi)r\sin\theta d\varphi =\\ \displaystyle\left(-\frac{\partial B_\theta}{\partial \varphi} + \frac{\partial (\sin\theta B_\varphi)}{\partial \theta}\right)rd\theta d\varphi\end{array}
Les surfaces élémentaires sont dS = r^2\sin\theta d\theta d\varphi, soit donc :
\left(\vec\nabla\times\vec B\right)_r = \displaystyle\frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial (\sin\theta B_\varphi)}{\partial \theta} - \frac{\partial B_\theta}{\partial \varphi}\right)

Soit la boucle en \theta=cste, les sommets du carré ont les coordonnées : (r,\theta,\varphi), (r+dr,\theta,\varphi), (r+dr,\theta,\varphi+d\varphi) et (r,\theta,\varphi+d\varphi). Cette surface élémentaire est orientée selon -\vec e_\theta. L’intégrale le long de cette boucle élémentaire s’écrit :
\begin{array}{l} B_r(r,\theta,\varphi)dr + B_\varphi(r+dr,\theta,\varphi)(r+dr)\sin\theta d\varphi \\ -B_r(r+dr,\theta,\varphi+d\varphi) dr - B_\varphi(r,\theta,\varphi+d\varphi)r\sin\theta d\varphi =\\ \left(-\displaystyle \frac{\partial B_r}{\partial \varphi} + \sin\theta\frac{\partial (rB_\varphi)}{\partial r}\right) dr d\varphi\end{array}
Les surfaces élémentaires des carrés sont dS = r\sin\theta dr d\varphi, soit donc :
\left(\vec\nabla\times\vec B\right)_\theta = \displaystyle \frac{1}{r}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial B_r}{\partial \varphi} - \frac{\partial (r B_\varphi)}{\partial r} \right)

Soit la boucle en \varphi=cste, les sommets du carré ont les coordonnées : (r,\theta,\varphi), (r+dr,\theta,\varphi), (r+dr,\theta+d\theta,\varphi) et (r,\theta+d\theta,\varphi). L’intégrale le long de cette boucle élémentaire s’écrit :
\begin{array}{l} B_r(r,\theta,\varphi)dr + B_\theta(r+dr,\theta,\varphi)(r+dr)d\theta\\ -B_r(r+dr,\theta+d\theta,\varphi)dr - B_\theta(r,\theta+d\theta,\varphi)r d\theta =\\ \displaystyle \left(-\frac{\partial B_r}{\partial \theta} + \frac{\partial (rB_\theta)}{\partial r}\right)dr d\theta \end{array}
Les surfaces élémentaires des carrés sont dS = r\sin\theta dr d\varphi, soit donc :
\left(\vec\nabla\times\vec B\right)_\varphi = \displaystyle \frac{1}{r}\left(\frac{\partial (r B_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial B_r}{\partial \theta}\right)

Expression du rotationnel

L’on en déduit de ce qui précède :
\vec\nabla\times\vec B = \displaystyle\frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial (\sin\theta B_\varphi)}{\partial \theta} - \frac{\partial B_\theta}{\partial \varphi}\right) \vec e_r + \displaystyle\frac{1}{r}\left( \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial B_r}{\partial \varphi}- \frac{\partial (r B_\varphi)}{\partial r}\right)\vec e_\theta + \displaystyle\frac{1}{r}\left(\frac{\partial (r B_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial B_r}{\partial \theta}\right)\vec e_\varphi

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