Calcul différentiel et intégral

Définition d’une différentielle et retour sur les dérivées et les intégrales :

Notre approche ici va être la plus simple possible pour vous aider à appréhender plus facilement la notion de différentielle.

Lorsqu’on veut calculer par exemple, l’évolution d’un prix, supposons qu’on parle du kilos de chocolat, comment faisons nous ?

Le prix du chocolat est d’environ 10 euros le kilos, et il est majoritairement composé de cacao, mais le cacao n’est pas le seul paramètre susceptible d’influencer le prix du chocolat. Prenons le chocolat au lait par exemple. Un deuxième paramètre important dans le chocolat au lait, est évidemment le lait…

Maintenant, imaginons que le prix du lait au litre varie, eh bien si c’est le cas, le prix du chocolat va également varier.
Admettons qu’on prenne 100 kilos de chocolat, donc 1000 euros en tout. Ducoup, en choisissant une fonction de variation arbitraire, on pourrait par exemple écrire p=1000 \times x^2, avec p le prix de 100 euros de chocolat, 1000, le prix de 100 kilos de chocolat et x, le prix d’un litre de lait.

En temps normal, le litre de lait est à 1 euro, et donc p=1000, et dans notre cas de figure, p(1)=1000 puisque 1 est le prix du litre de lait.
Supposons maintenant que le prix varie de 1 centime, le prix du lait passerait de 1 euro à 1,01 euros.
Comment exprimerions nous alors la variation du prix des 100 kilos de chocolat ?

On passerait de p(1)=1000 à p(1,01)=1020,1 (en effet, p=1000 \times 1,01^2=1020,1) en prenant une calculette. Mais cela ne nous donnes pas la formule qui permet d’exprimer la variation du prix, cela nous donne seulement le prix total, après la variation du prix du litre de lait…

Que veux t-on ? On veut connaître la variation entre p(x) et p(x+dx), donc il nous suffit simplement de poser dp=p(x+dx)-p(x), autrement dit :

dp=1000 \times (x+dx)^2 - 1000 \times x^2

Mettons 1000 en facteur :

dp=1000 \times [(x+dx)-x^2)]

On utilise l’indentité remarquable (a+b)^2 et on développe :

dp=1000 \times [x^2+2x dx+dx^2-x^2]=1000 \times (2x dx +dx^2)

Que vaut dx^2 ? dx vaut 0.01, donc 2 dx vaut 0.02. et que vaut dx^2 ?
0.01 \times 0.01=0.0001. dx^2 est donc 100 fois plus petit que dx. Qu’est ce que cela implique ? Cela veut dire que plus dx est petit, plus le terme dx^2 devient négligeable.

Pour revenir à nos moutons, ce que l’on appelle différentielle et que l’on note « dx« , veut dire qu’en prenant une variation aussi petite que l’on veut, dans notre cas de figure, rend le terme dx^2 négligeable.
La première conséquence de ceci dans notre exemple, en oubliant les valeurs de dx que nous avons donnés au départ, est que le terme dx^2 devient tellement négligeable, qu’on peut se contenter de le simplifier. Ce n’est pas stricto sensu très rigoureux, mais nous ne cherchons pas à établir une précision parfaite, donc, dans notre exemple, on peut se le permettre. On réécris donc notre formule :

dp=1000 \times 2x \times dx.
Qu’est ce qu’on constate ? On constate que la variation du prix du chocolat est proportionnelle à la variation du prix du lait. Et mathématiquement parlant, on vient de mettre en lumière la dérivée. Lorsque vous avez une différentielle de la forme df= f'(x) \times dx, alors f'(x) est la dérivée de f.

Insistons bien sur quelque chose, f'(x) est la dérivée de f par rapport à x, en revanche df est la différentielle, c’est donc une valeur infinitésimale, au même titre que dx.

Graphiquement, qu’est ce que cela veut dire ? Essayons de représenter graphiquement notre fonction p :

On constate que l’augmentation de p est proportionnelle à l’augmentation de x. Donc dire que notre formule est valable, veut dire qu’on se restreint à un encadrement local de la courbe. Il faut donc évidemment prendre un dx le plus petit possible pour qu’on puisse associer la variation de la courbe à celle d’une droite, qui n’est autre que la tangente. Il est vrai aussi que si dx devient trop grand, la courbe ne peut plus être associée à la droite et notre formule devient fausse.

On peut réécrire cette formule autrement, en supposant qu’on parle d’incertitude, qui est un encadrement approximatif dans lequel la valeur que nous cherchons est le plus susceptible d’être. Appelons \Delta p l’encadrement infinitésimal de variation de p et \Delta x, l’encadrement infinitésimal de variation de x, donc :

\Delta p=p'(x) \cdot \Delta x

Alors attention, cette formule n’est pas complètement exacte, il manque quelque chose, car, si par exemple, on a une fonction de cette forme :

On voit que la dérivée est négative, que la valeur la plus haute de \Delta p correspond à la valeur la plus basse de \Delta x, et par conséquent, on aurait une valeur de \Delta p négative, mais ceci n’est pas possible puisqu’une longueur ne peut pas être négative, alors, pour s’assurer que la formule est bonne, on prend la valeur absolue :

\Delta p = \lvert p'(x) \rvert \cdot \Delta x

Maintenant, imaginons un autre problème. Imaginons qu’on ait une courbe, arbitraire, assez distordue, et qu’on veuille mesurer sa longueur. On aurait quelque chose de ce genre (Nous vous prions d’être indulgent avec le dessin ! :D) :

Que serions nous tenté de faire ici ? Nous serions tenté de prendre un double décimètre et d’essayer de mesurer la courbe en la découpant en plusieurs parties :

En mesurant la longueur de chaque segment, et en faisant la somme, on trouvera une valeur qui approche la longueur de la courbe, mais, ce n’est pas extrêmement précis. On peut toujours décider de réduire encore la longueur des segments, les diviser par deux, ou par 10, et autant de fois que l’on veut. Cela impliquerait une somme de valeurs de plus en plus nombreuses, mais également, une meilleure précision de la longueur globale.

En fait, ce procédé est le procédé menant à un calcul intégral, pourquoi ? Imaginons, qu’on prenne une longueur sur la courbe qu’on appelle dl, et qui est arbitrairement petite, infinitésimale. Supposons que A et B soit les deux extrémités de la courbe. Cette dernière étant continue, faire la somme de ces petits dl revient à faire une somme continue et infinie de longueurs infiniment petites.

Ceci revient à écrire :

\displaystyle {l= \int_{A}^{B} dl}

Prenons un exemple concret. Imaginons qu’on veuille calculer le volume d’un cylindre. Si vous avez vu notre chapitre sur la géométrie classique, vous avez du voir la formule qui définie le volume d’un cylindre. Ici, nous allons tenter de démontrer cette formule, en se servant du formalisme du calcul différentiel.

Rappelons la formule du volume d’un cylindre : V_c= \frac{1}{3} \pi r^2 h

Voici un cône :

Imaginons à présent qu’on découpe ce cône en la somme de disques superposés, comme ceci :

Veuillez nous excuser pour ce schéma approximatif, nous espérons que vous comprenez le raisonnement…
A présent, plaçons ce cône dans un repère, et notons les différentes propriétés de longueurs que nous connaissons :

Maintenant, considérons le disque du milieu, (Considérons r_0 le rayon du disque central et h_0 Son volume est donc : \pi r_0^2 h_0 Pourquoi ? Il s’agit simplement de prendre l’aire du disque et de le multiplier par sa hauteur pour avoir son volume.

Je ne sais pas si vous voyez, mais il y a quelque chose d’intéressant à faire, qui va nous faciliter grandement la tâche… Regardez :

On peut se servir d’un théorème fondamental que nous connaissons tous, qui dit que r_0 sur h_0 est proportionnel à R sur h. En effet, c’est le théorème de Thalès. Notons dh la hauteur du disque de rayon r_0 Donc :

r_0=\frac{R}{h} h_0

Alors, l’aire de disque de rayon r_0 est S= \pi \frac{R^2}{h^2} h_0^2

Quel est alors le volume du disque en question ? le volume dV du disque est :

dV=S dz = \pi \frac{R^2}{h^2} h_0^2 dz

Donc, si on intègre de 0 à h (puisque le cône est de hauteur h), on a :

V= \displaystyle{\int_{0}^{h} \pi \frac{R^2}{h^2} h_0^2 dz}

On peut aisément sortir les constantes :

V= \pi \frac{R^2}{h^2} \displaystyle{\int_{0}^{h} h_0^2 dz}

Donc :

V= \pi \frac{R^2}{h^2} [\frac{h_0^3}{3}]^h_0

Donc :

V= \pi \frac{R^2}{h^2} \frac{h^3}{3}

On simplifie les h, et on a :

V= \frac{1}{3} \pi R^2 h

On retrouve bien la formule du volume d’un cône.