Composition de fonctions

Bonjour, si vous avez suivi l’ordre recommandé de lecture de notre site, vous devriez avoir atteint cette page depuis la première partie du chapitre sur l’intégration, ou de la deuxième partie du chapitre sur la dérivation. Nous précisons que ceci n’est pas un chapitre en soit et ne sera abordé ici, que les propriétés des compositions de fonctions. A l’avenir, nous nous contenterons de discuter et d’expliquer les propriétés des notions connexes que nous verrons dans d’autres chapitres.

Le procédé de composition de fonctions est assez intuitif, il consiste à créer une fonction à partir deux fonctions quelconques f et g. On utilise alors, les images de la première fonction comme arguments pour la seconde (l’argument est la donnée numérique x, qu’il faut fournir à la fonction f, et qui retourne la valeur f(x)).

Prenons trois ensembles quelconques, que nous appellerons X, Y et Z. Prenons également deux fonctions, f : X -> Y et g : Y -> Z. Dès lors, on peut définir ce qu’on appelle la composée de f par g, notée  (g rond f) et dont la notation générique est :

\forall x\in X,\ (g\circ f)(x)=g(f(x)).  On applique f à l’argument x, ensuite, on applique g au résultat. La nouvelle fonction obtenue peut s’écrire g\circ f:X\to Z.

Les propriétés des compositions de fonctions :

  • f\circ g\neq g\circ f. On dit que la composition de fonctions est généralement non commutative. La commutativité est une loi de composition interne d’un ensemble (les nombres réels par exemple), et exprime la possibilité d’inverser un ordre opératoire. Par exemple, la multiplication de deux nombres réels est commutative, le produit de a par b peut aussi s’écrire, produit de b par a. En revanche, si on prend la soustraction par exemple, a – b ≠ b -a. La soustraction n’est pas commutative.
  •  La composition de fonction est associative. L’associativité est aussi une loi de composition interne sur un ensemble.  Par exemple, si la loi d’associativité est vrai, alors (x\star y)\star z=x\star (y\star z).  En revanche, on peut noter que la soustraction n’est pas associative, par exemple:  et  .
  •  Un autre propriété des composées de fonctions est qu’elle ne sont généralement pas distributive, c’est à dire qu’elles obéissent au terme  » le produit d’une somme est égal à la somme des produits « . Par exemple, 2 × (5 + 3) = (2×5) + (2×3). Le 2 est bien distribué à chacun des deux terme et l’égalité est donc bien vérifiée.
  • Si la fonction g est continue en en x0 (point arbitraire), et la fonction g(x0), alors   est continue en x0.
  • Lorsqu’on compose deux fonctions f et g strictement monotones (une fonction monotone est une fonction qui croit ou décroit strictement): Si f et g ont le même sens de variation, leur composée est strictement croissante, si les deux fonctions ont des sens de variations différents, leur composée sera strictement décroissante.
  • Il est possible de dériver une composée de fonction, et ceci s’écrit de cette manière : 
  • La réciproque* d’une composée de fonction  s’écrit 

La réciproque, ou bijection réciproque d’une fonction est l’application qui associe à chaque élément de l’ensemble d’arrivée un unique antécédent par f. On peut aussi l’appeler fonction inverse. Par exemple, si la fonction f est une bijection d’un ensemble X vers un ensemble Y, alors, tout élément y de Y, possède un unique antécédent par f. Il est possible de définir une application g, allant de Y vers X, et à qui y associe un seul et unique antécédent, comme par exemple ƒ(g(y)) = y. Un exemple connu dans les fonctions usuelles est le logarithme et l’exponentielle. Ces deux fonctions sont bijections réciproque l’une de l’autre, tel que exp(ln(x)) = x, ln(exp(x)) = x.