Dérivation

Bonjour.
Aujourd’hui, nous allons parler de notion de pente, de taux d’accroissement, et de dérivée. Ces notions sont primordiales pour bien débuter l’analyse et la physique.

Voici comment nous allons découper ce chapitre.

Première partie :

  • Pente d’une droite.
  • Taux d’accroissement.
  • Nombre dérivé.
  • Dérivées usuelles et règles de dérivation.
  • Opérations sur les dérivées.

Deuxième partie :

  • Théorème de Rolle.
  • Dérivées d’ordre n.
  • Dérivées partielles.

 

Le concept de dérivée remonte, selon nos connaissances actuelles, à l’antiquité, avec comme exemple de savant de l’époque l’ayant utilisé, Archimède, qui fût le premier à penser à la notion de calcul infinitésimal. Cependant, ce n’est qu’au 17ème siècle avec Newton et Leibniz, que son utilisation en est devenu populaire.
Les dérivées sont nées de calculs de pentes, de taux d’accroissements, dans le but de calculer au début, des aires ou des volumes.
Ensuite, nous nous sommes rendu compte qu’elles étaient des notions qui pouvaient être solutions de nombreux problèmes, tels que définir des limites de fonctions, leur croissance/décroissance, et trouvent donc des applications dans toutes les sciences ou presque.
Plus tard, c’est à Lagrange que nous devons la notation moderne f(x) pour désigner le nombre dérivé de f en x ainsi que l’utilisation du mot dérivée lui même.

Pente d’une droite :

Avant de parler de dérivées, il faut introduire un concept important, la pente d’une droite.
On définit cette dernière par ce qu’on appelle le coefficient angulaire, ou le coefficient directeur, qui est un nombre, et qui permet de décrire le sens de variation de la pente de la courbe, et la force de la pente.
Comment trouver la formule qui permet de faire cela ? Regardez ce graphique par exemple :

On voit clairement, sans avoir besoin de requérir à un calcul quelconque, que la droite monte, la pente va de gauche à droite, mais, comment connaître la « force » avec laquelle elle monte?
Considérons que nous sommes dans un repère cartésien, c’est à dire

 

 

 

En mathématique, la dérivée d’une fonction, mesure l’ampleur du changement de la valeur de « sortie » de la fonction par rapport à sa valeur « d’entrée ». Par exemple, la dérivée de la fonction f(x) par rapport à x est notée f'(x) ou \frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x} . Les « d », veulent dire « différentielle » et représentent ici en l’occurrence, une variation infiniment petite de la fonction f par rapport à l’axe des x, pour mieux comprendre, nous pouvons prendre comme exemple la fonction f(x) = x² sur un graphique :

A présent, nous décidons de choisir arbitrairement un intervalle de la fonction f sur l’axe des x, et de trouver sa dérivée en un point c.  Prenons l’intervalle [2;4] sur l’axe des x par exemple, et nous appellerons deux points de la fonction, le premier, a (d’abscisse 2) et b (d’abscisse 4). Calculer la dérivée du point c de la fonction sur cet intervalle, revient à calculer la pente, ou ce qu’on appelle le taux d’accroissement de la fonction sur l’intervalle choisit.

Maintenant que nous avons tracé la sécante du point a au point b de intervalle, petit à petit, nous rapprochons cette sécante du point a, jusqu’à atteindre la tangente de la fonction f(x) au point a.

Nous avons à présent « réduit » la distance des points a et b de manière infinitésimale, cela veut dire que Δx (delta x) se rapproche de 0.  Δx est la distance entre a et b, nous avons fait en sorte ici de lui donner une valeur qui tend vers 0, c’est à dire un intervalle presque nul. Autrement dit, la distance sur l’axe des x était auparavant la distance ab, à présent, on peut dire que la distance de l’intervalle est égale à a+Δx.  Exprimons maintenant le taux d’accroissement de la fonction en ce point, qui est aussi une expression de la pente.  Etant donné que la fonction est continue sur [a;b], que a≠b, et que la fonction est visiblement dérivable sur ]a;b[, il existe un point c, et ce point c, de la fonction f, est le taux de variation entre a et b.  Ceci est donné par la formule : .  Numériquement dans notre cas, cela donne f'(c) = 4² – 2²/4-2. Ce théorème est en réalité le théorème des accroissements finis, mais intuitivement, il est peut être plus simple de commencer par celui-ci pour comprendre le concept général.

Passons à la définition formelle de la dérivée. Changeons de fonction, ainsi que les noms des points que nous étudierons.

Cette fois,  c’est un petit peu plus compliqué, mais pas tant que ça. Tel que pour le théorème de l’accroissement fini, nous pouvons appliquer la formule d’une manière similaire : . Le « lim », signifie la limite, et que le calcul de la dérivée s’applique, lorsque la valeur h ici en l’occurrence, tend vers 0, tout en étant non nulle. Le f(x0+h) correspond au point f(b) dans l’exemple précédent, le f(x0), correspond lui, au point f(a) et le h, est le résultat de b-a.

On peut cependant l’écrire d’une autre manière, peut être plus simple et pour des cas plus généraux : f'(x_0) = \lim_{x \to x_0\atop x\ne x_0}{f(x)-f(x_0) \over x-x_0}.

On peut conclure qu’une fonction pour laquelle le taux d’accroissement en un point admet une limite finie (qui est le nombre de dérivé), est dite dérivable en ce point. Graphiquement et comme nous l’avons vu, ce calcul revient à chercher la pente de la tangente à la courbe en ce point, ainsi, le nombre dérivé d’une fonction en un point (si tenté qu’il existe, certaines fonctions ne sont pas dérivables, nous en donnerons quelques exemples), est égal à la pente de la tangente de la courbe de la fonction en ce point.

La dérivabilité est à priori une notion locale (en un point), mais à toute fonction  , il est possible d’associer sa fonction dérivée f’ (prononcée f prime) et donnée par .   est l’ensemble de définition de la fonction f et   est le domaine de dérivabilité de f. La seule fonction étant égale à sa dérivée est la fonction exponentielle de base e telle que f’ = f et en l’occurrence, f(x) = e(x) = f'(x) = e(x) 

Voici le tableau représentatif des dérivées usuelles. Ces « transformations » de fonctions en leur dérivée sont à connaître par cœur, car elles sont constamment utilisées en mathématiques, en physique, et en sciences de manière générale.

*Quelques explications concernant ce tableau :

  • L’intervalle de dérivabilité est l’ensemble dans lequel la fonction en question est dérivable, par exemple, R, constitue l’ensemble des nombres réels. R* est l’ensemble des réels, 0 exclus, R+ constitue l’ensemble des réels positifs, et R-, l’ensemble des réels négatifs.
  • Les « n », représentent des nombres ou des coefficients quelconques, par exemple, f(x) = x^4, alors f'(x) = 4x^4-1 ou 4x^3.
  • Pour f(x) = tan(x), l’intervalle de dérivabilité est compris entre π/2 + kπ ; π/2 + (k+1)π et signifie que la fonction est dérivable sur l’intervalle du cercle trigonométrique π/2 + kπ. k, est une constante, qui représente le nombre de fois ou la fonction est dérivable sur le quart de cercle en partant du point d’origine (π/2 étant un quart de cercle). Nous aborderons peut être quelques notions de trigonométrie dans un autre chapitre.

D’autres propriétés concernant les dérivées sont importantes, nous avons vu plus haut comment les valeurs d’une fonction se transposent en leur dérivée, maintenant, nous allons voir dans le tableau ci dessous les règles de dérivations des fonctions « entre elles » :

Les fonctions u et v sont des fonctions quelconques, nous aurions très bien pu les appeler f et g, ça n’a aucune importance. Attention, à ne pas confondre ces fonctions u et v avec des vecteurs, utilisant fréquemment ces mêmes notations.

Nous avons dit plus avant, que certaines fonctions ne sont pas dérivables. Une fonction est dérivable, si elle ne possède pas de rupture de pente, de « trou », « d’aspérité », ou de partie verticale. Si elle possède une de ces propriété en un point, alors elle n’est pas dérivable. Etant donné qu’un saut est effectué par la fonction à un moment donné, la tangente n’est pas définissable, la limite du taux de variation est infini, ayant une pente verticale. Par exemple, la fonction signe : à gauche de 0, sign(x) = -1, en 0, sign(0) = 0 et à droite de 0, sign(x) = 1. Si on fait (1-(-1)/h, la fonction tend vers +∞ lorsque h tend vers 0. En revanche, il est possible de définir une dérivée à gauche et une dérivée à droite de 0. Un autre exemple de fonction non dérivable sur son ensemble de définition est la fonction valeur absolue. Elle n’est pas dérivable en 0, à gauche, la pente vaut -1 et à droite, elle vaut +1. Un dernier exemple de fonction non dérivable est la fonction partie entière.

A défaut de trouver des fonctions non dérivables, Il est également possible de dériver « n » fois, une fonction. Par exemple, la dérivée seconde, est la dérivée de la dérivée de la fonction et s’écrit f’ ‘(x). De même, la dérivée troisième f’ ‘ ‘(x), est la dérivée de la dérivée seconde. Voici l’expression générale de dérivabilité par récurrence d’une fonction :

\frac{{\mathrm d} ^{n+1}f}{{\mathrm d} x^{n+1}}=\frac{{\mathrm d} }{{\mathrm d} x} \frac{{\mathrm d} ^n f}{{\mathrm d} x^n}.  également noté  .

 

 

Dans cette seconde partie de chapitre, nous allons aborder des notions plus avancées, telles que la dérivée logarithmique, la dérivée partielle et la dérivation de fonctions composées.

La dérivée logarithmique :

 

Si u est dérivable et non nulle sur un intervalle I, alors f est dérivable sur I, et sa dérivée est la dérivée logarithmique de u de telle sorte que f’ = u’/u. Par exemple, prenons f(x) = ln(x² + 1). Que vaut f'(x) ? On utilise donc u’/u, avec u = x² + 1 et u’ = 2x. Donc, f'(x) = 2x/x² + 1. Une autre propriété de la la dérivée logarithmique est que si l’on prend deux fonctions dérivables non nulles sur I, (uv)’/uv = u’/u + v’/v et (u/v)’/u/v = u’/u – v’/v.