Espaces Vectoriels

Bonjour joyeux lecteurs, aujourd’hui, nous allons aborder une notion fondamentale en physique, les espaces vectoriels.
Ce chapitre est relativement chargé, car il y a un nombre conséquent de notions à voir, mais nous allons y aller par étapes successives ainsi que détailler au maximum les calculs, les propriétés et les formules.

Ce chapitre nécessite d’avoir les prérequis suivants :

  • Vecteurs et opérations
  • Géométrie
  • Systèmes linéaires et Matrices (Première partie).
  • Fonctions usuelles.
  • Suites.
  • Polynômes.
  • Ensembles et applications.
  • Structures algébriques usuelles.

Voici comment nous allons partitionner ce chapitre (Nous ne parlerons que de notions en dimension finie dans la première partie) :

  • Définition et propriétés d’un espace vectoriel.
  • Espaces vectoriels de référence.
  • Démonstrations d’espaces vectoriels.
  • Sous espace vectoriel.
  • Familles de vecteurs.
  • Sous espace vectoriel engendré.
  • Théorème de la base incomplète et corollaire de la base extraite.
  • Dimension d’un espace vectoriel.
  • Sommes, sommes directes de sous espaces vectoriels et espaces supplémentaires.
  • Applications linéaires.
  • Projection, symétrie et rotation.

La seconde partie traitera de sujets plus compliqués, qui requiert des notions plus avancées, telles que des bases de topologie ou encore  :

  • Homomorphisme, forme linéaire et espace dual.
  • Hyperplan.
  • Dimension infinie.
  • Notion de norme et topologie d’espaces vectoriels normés.
  • Notion de complétude et de convergence dans un espace vectoriel.
  • Espace de Banach.
  • Espace Pré-Hilbertien.
  • Espace Pré-Hilbertien dual et espace bidual.
  • Espace de Hilbert.