Espaces Vectoriels

Sous espaces vectoriels :

Un espace vectoriel est un ensemble assez trivial, pas aussi complexe qu’un anneau ou un corps par exemple. Il existe donc un grand nombre de parties d’espaces vectoriels étant eux mêmes des espaces vectoriels. On appelle ça simplement des sous espaces vectoriels.

Le sous espace vectoriel d’un espace vectoriel E est un ensemble non vide de F dans E, qu’on dit stable par combinaison linéaire.

Nous allons prendre quelques exemples, démontrer pourquoi ils sont des sous espaces vectoriels, et quelques contre exemples. Commençons par des exemples :

  • L’espace nul, est le plus petit espace vectoriel de E, en effet, 0+0=0 et \lambda .0=0
  • L’ensemble des solutionsx=(x_1,x_2,...,x_n) d’une équation homogène de la forme a_1 x_1 + a_2 x_2 +...+a_n x_n=0 Par exemple, pour n =2 :
    3x+2y=0 est une équation homogène, et ses solutions forment un sous espace vectoriel de \mathbb{R}^2. Il y en a une infinité, mais on pourrait par exemple prendre x=(2,-3).
    On peut voir que la fonction nulle est également solution de l’équation, en effet, 3\times 0 + 2 \times 0 =0, donc l’ensemble est non vide.
    Le sous espace vectoriel est stable par combinaison linéaire, pourquoi ? Si (x,y)\in F et (x',y')\in F, autrement dit, qu’ils vérifient 3x+2y=0 et 3x'+2y'=0, alors :
    3x+2y+3x'+2y'=0 ce qui est évident.
    Est il stable par multiplication par un scalaire ? Soit F={3x+2y=0} et (x,y),(x',y')\in F, \lambda\in\mathbb{R} et qu’on fasse le produit suivant : \lambda(3x+2y)+(3x'+2y'). Ceci vérifie t-il 3x+2y=0 ?
    Eh bien forcément oui, \lambda\times 0+0=0
    Dans notre cas de figure, le sous espace vectoriel prend la forme d’une droite vectorielle du plan K^2
  • L’ensemble des fonctions continues et dérivables est un sous espace vectoriel des applications de \mathbb{R} dans \mathbb{R}/
    Soit E, l’ensemble des applications de \mathbb{R} dans \mathbb{R}. Soit F, une partie de E, qui est l’ensemble des fonctions continues et dérivables de E. Tout d’abord, on va montrer que la fonction nulle est dans F, et que F est non vide. Pour cela, il faut considérer la dérivée de la fonction nulle :
    On sait que la fonction nulle est dérivable, et sa dérivée est 0, donc, et tout simplement, F est non vide (puisqu’on sait qu’elle contient au moins la fonction nulle).
    A présent, on va montrer que deux fonctions \forall f,g\in F, f+g\in F. C’est très simple, être dans F signifie qu’il s’agit de deux fonctions dérivables. Comme nous l’avons déjà dit, la dérivée est une opération linéaire, donc f'+g'\in F, donc f+g\in F.
    Même chose pour la multiplication par un scalaire. Soit \lambda\in\mathbb{R}, est-ce que \lambda f+g est dérivable ? Oui, on le sait du cours sur la dérivation, si f est dérivable, alors \lambda f est dérivable. Par conséquent, le sous espace vectoriel des fonctions continues et dérivables de \mathbb{R} dans \mathbb{R} est stable par multiplication par un scalaire.
    En fait, et plus simplement, il suffit de considérer \lambda\in\mathbb{R}, et \mu\in\mathbb{R}, telle que si \lambda=\mu=0, alors nous avons l’élément neutre dans F. Si on prend \lambda=\mu=1, l’implication de toutes les autres propriétés est démontré, il y stabilité pour l’addition et même par multiplication par un scalaire.
  • Les applications de \mathbb{R} dans \mathbb{R} solutions d’une équation différentielle homogène. Le principe est le même que pour les équations homogènes standardes. Prenons un exemple, soit F le sous espace vectoriel des solutions de notre équation :
    y'(x)+a(x)y(x)=0
    On peut d’or et déjà dire que ça fonctionn pour la fonction nulle, en effet :
    0+a(x)0=0
    On sait que les solutions de cette équation différentielle linéaire homogène prennent la forme :
    y(x)=\lambda~e^{-A(x)}, A étant la primitive de a.
    Si on dérive de nouveau et qu’on remplace dans notre équation, on a bien :
    -a(x)~\lambda~e^{-A(x)}+ a(x)~\lambda~e^{-A(x)}=0
    La combinaison linéaire est-elle stable ? Eh bien, prenons y_1,y_2\in F, alors :
    y'_1+a(x)y_1(x)=0 et y'_2+a(x)y_2(x)=0
    Donc :
    (y_1+y_2)'+a(x)(y_1+y_2)=0
    y_1 et y_2 appartiennent donc bien à F, et l’addition est stable. La multiplication par un scalaire l’est elle également ? Fixons un \lambda\in\mathbb{R} telle que :
    (\lambda~y_1)'+a(x)(\lambda~y_1)=\lambda~y'_1+\lambda~a(x)y_1=\lambda(y'_1+a(x)y_1).
    Mais (y'_1+a(x)y_1)=0, donc \lambda(y'_1+a(x)y_1)=0
    Les applications de \mathbb{R} dans \mathbb{R} solutions d’une équation différentielle homogène sont bien des sous espaces vectoriels.
  • Dernier exemple, les polynômes à coefficients réels de degrès inférieur ou égal à 2 sont-ils des sous espaces vectoriels de l’espace vectoriel de référence des polynômes \mathbb{R}(X) ? Supposons donc E_1, un sous espace vectoriel de E=\mathbb{R}(X)
    On sait qu’un polynôme du second degrés s’écrit de la forme aX^2+bX+c
    Tout d’abord, est-ce que l’ensemble est vide ? Non, si tous les coefficients sont nuls, alors l’ensemble contient au moins le polynôme nul.
    Ensuite, et pour vérifier la stabilité par la loi d’addition, on va donc prendre (a,b,c),(a',b',c')\in E_1. On pose :
    aX^2+bX+c+a'X^2+b'X+c
    Donc :
    (a+a')X^2+(b+b')X+c+c'
    Si le coefficient du monôme dominant est nul, ou si a et a’ sont des symétriques (a=-a'), alors le polynôme résultant est de degré inférieur à 2.
    De même la multiplication par un scalaire est stable, pourquoi ? Car multiplier un polynôme par un scalaire revient à multiplier tous les monômes par le dit scalaire :
    \lambda P=\lambda(aX^2+bX+c)=\lambda aX^2+\lambda bX+\lambda c
    Le degré du polynôme ne change pas lorsqu’on multiplie par un scalaire, donc, les polynômes de degré inférieur ou égal à 2 sont des sous espaces vectoriel de \mathbb{R}(X)

Voyons quelque contre exemples de sous espaces vectoriels :

  • l’ensemble des solutions des équations linéaires non homogènes de type a_1 x_1+a_2 x_2+...+a_n x_n=b est t-il un sous espace vectoriel des applications de \mathbb{R} dans \mathbb{R} ? Non, pourquoi ? Car si b\ne 0 la fonction nulle ne peut pas faire partie de l’ensemble des solutions. Il est donc inutile d’avoir plus loin. L’ensemble des solutions des équations linéaires non homogènes n’est pas un sous espace vectoriel des applications de \mathbb{R} dans \mathbb{R}.
    On peut bien évidemment étendre ce principe aux équation différentielles linéaires non homogènes, la dérivée de la fonction nulle étant bien évidemment nulle également.
  • L’ensemble des polynômes de degré égal à deux est-il un sous espace vectoriel de l’espace vectoriel des polynômes à coefficient réel ? Nous serions au premier abord, tenté de dire oui, car nous avons déjà démontré que les polynômes de degré inférieur ou égal à deux étaient un sous espace vectoriel de K[X]. Alors est-ce le cas pour les polynômes de degré égal à deux ? Posons F, un supposé espace vectoriel de K[X]. On sait que le polynôme nul est dans F, lorsque tous les coefficients sont nuls. Voyons si c’est stable par addition. Si on a \alpha X^2+\beta X + c \in F et -\alpha X^2 + \gamma X+c \in F, alors on a \alpha X^2 - \alpha X^2 +\beta X+\gamma X+2c=\beta X+\gamma X+2c
    Que voit on ? On voit que le résultat est un polynôme de degré 1. Qu’est-ce que cela veut dire ? Cela veut dire que l’addition de deux éléments n’est pas stable, et que par conséquent, L’ensemble des polynômes de degré égal à deux n’est pas un sous espace vectoriel de K[X].