Espaces Vectoriels

Théorème de la base incomplète et corollaire de la base extraite :

Il est possible, lorsqu’on a deux familles de vecteurs, l’une étant génératrice d’un espace vectoriel E, et l’autre libre dans E, de compléter l’une avec l’autre et de former une base de cet espace vectoriel.
Nous allons définir la manière de procéder et ensuite, nous prendrons un exemple. Il s’agit ici d’utiliser un « algorithme ».

Soient (g_1,g_2,..,g_n) une famille génératrice d’un espace vectoriel E, et (l_1,l_2,..,l_p) une famille libre.
L’algorithme consiste à incorporer un des vecteurs u_i aux vecteurs g_i, et de réitérer l’opération jusqu’à avoir une base de E.

Pour simplifier les écritures, on va appeler \textit{G} la famille des vecteurs g_i et \textit{L} la famille des l_i

La première étape consiste à regarder si \textit{L} est une famille génératrice de E. Bon, ce n’est pas très intéressant car si c’est le cas, on en a terminé puisque \textit{L} est une base de E.

A présent, si \textit{L} n’est pas une famille génératrice, alors il existe un vecteur de \textit{G} qui n’est pas combinaison linéaire des éléments de \textit{L}. On va alors poser \textit{L}\cup \{g_1\}. On va appeler cette famille \textit{L}_1.

On voit clairement que la famille \textit{L}_1 est strictement plus grande que la famille \textit{L}, et, si elle est libre, alors, on continue l’algorithme.

On réitère, en construisant \textit{L}_2 à partir de \textit{L}_1$ et d’un autre vecteur de \textit{G}, en prenant par exemple \textit{L}_1\cup \{g_2\}.

On pose donc \textit{L}_2= \textit{L}_1\cup \{g_2\}. On vérifie les même propriétés que précédemment. Evidemment, \textit{L}_2 est plus grand que \textit{L}_1.

Si la famille est encore libre, alors, on réitère le processus jusqu’à une certaine étape, disons k, alors, on a \textit{L}_k=\textit{L}\cup \textit{G} ou \textit{G}=(g_1,g_2,..,g_k)

Exemple :

Soient \{P_1=2\}, \{P_2=X+1\}, \{P_3=2X+2\}, \{P_4=1+X^4\} et \{P_5=2-X^4\} des vecteurs de la famille \textit{G}, qu’on va considérer comme une famille génératrice du sous espace E de l’espace vectoriel des polynômes réels.

On va construire une base à partir de ses polynômes. Pour se faire, on va considérer, pour commencer, l’ensemble vide, auquel, on va petit à petit, ajouter des éléments pour construire cette base. Soit notre famille L=\emptyset. On cherche une famille F \subset G, tel que F soit une base de E.

On voit bien que la famille incluant l’ensemble vide n’est pas génératrice, car L=\emptyset, on va donc continuer.

On pose alors L_1=\{P_1\}. P_1 est non nul, donc la famille est bien libre. On continue l’algorithme, pourquoi ? On voit clairement que L_1 n’est pas générateur… 

A présent, prenons L_2=\{P_1,P_2\}. La famille est elle libre? Oui, il est facile de démontrer que P_1 et P_2 sont linéairement indépendants. On continue donc.

Cette fois, on a L_3=\{P_1,P_2,P_3\}. Que voit-on ? La famille n’est pas libre, en effet, P_3=2P_2. On va donc exclure \{P_3\} et continuer avec d’autres vecteurs.

Prenons L_4=\{P_1,P_2,P_4\}. La famille est bien libre, il ne nous reste donc plus qu’un vecteur à considérer.

On pose pour finir L_5=\{P_1,P_2,P_4,P_5\}. un calcul rapide montre que -\frac{3}{2}P_1+P_4+P_5=0. La famille est donc liée. 

Que peut-on en conclure ? L’algorithme est terminé, en effet, la famille L_4=\{P_1,P_2,P_4\} est libre et génératrice de E. Donc, la famille L_4 est une base de E