Factorielle

Bonjour, dans ce court chapitre secondaire, nous allons vous expliquer ce qu’est la factorielle.

Cette notion est utile, surtout en analyse, mais elle est aussi présente en algèbre et en arithmétique, et vous croiserez forcément son chemin lors de certains chapitres de physique également.

Nous n’allons pas découper cet article en de nombreuses parties car il n’y a pas assez à dire sur cette notion, pour cela, nous allons donner sa définition maintenant :

La factorielle d’une entier naturel n est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. On note cette expression « n! », qui se dit « n factorielle », ou « factorielle n ». Par exemple, on peut exprimer en factorielle 10, le nombre de combinaisons possibles de placement de 10 convives autour d’une table. On dit qu’il y a n! façon de permuter n objets.

Sa définition mathématique maintenant : {\displaystyle n!=\prod _{1\leqslant i\leqslant n}i=1\times 2\times 3\times \ldots \times (n-1)\times n.}

Exemple : 8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × (n – 1) × 8.

Autre exemple, on va simplifier une fraction grâce aux factorielles : 10!/8! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1/8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 10 × 9/1 = 90.

 

Il y aurait d’autres choses à dire, tels que les différentes applications de la factorielle, comme la fonction Gamma d’Euler, l’expression de la fonction exponentielle en série entière, ainsi que la démonstration d’une approximation de la fonction factorielle avec la formule de Stirling, mais nous verrons pas cela ici. En revanche, un domaine dans lequel la factorielle est impérative, et que nous vous invitons à voir maintenant, c’est l’analyse combinatoire. Coefficients binomiaux, loi binomiale, formule et triangle de Pascal, Binôme de Newton, voici à quoi va nous servir la factorielle dans le prochain chapitre qui se trouve –> ICI