Fonctions trigonométriques

Mesure d’angles et radians :

Un triangle quelconque possède 6 parties. 3 cotés et 3 angles, il n’est pas nécessaire de connaître toutes ces parties pour construire ce triangle, par exemple, il suffirait de connaître la longueur de deux de ses côtés et l’angle entre ces côtés pour le compléter. En revanche, il est impossible de faire la même chose en ne connaissant que les trois angles, car il existe une infinité de triangle ayant les trois mêmes angles. La condition est donc de connaître 3 des parties du triangle, dont au moins un côté pour la construction de ce dernier.

Le but de la trigonométrie est de « résoudre » les triangles, les arcs de cercles ont pour centre un sommet du triangle, les arcs sont remplacés par les segments de droites dont ils dépendent, qu’on appelle les lignes trigonométriques. Ces lignes trigonométriques sont en fait les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente…). Des relations entre les côtés et certaines lignes liées aux arcs s’établissent de manière à ce qu’on puisse déterminer les lignes à partir de certains arcs, et réciproquement. Les conventions modernes oblige à considérer que les lignes trigonométriques étudiées, le sont sur un cercle de rayon 1, nous verrons pourquoi.

Voici un schéma de toutes les fonctions trigonométriques connues, nous rappelons que nous n’étudierons qu’en détails le sinus, le cosinus et la tangente. Attardez vous sur le triangle rectangle formé par cos, sin et 1, c’est une propriété importante, que nous détaillerons :

Les mesures des angles en trigonométrie sont en radians, et pour obtenir le radian, il faut faire le produit de l’angle en degré avec \pi, et diviser par 180. La formule exacte est :

\theta_{rad}= \theta_{deg} \times \frac{\pi}{180}.

avec \theta (theta), la valeur de l’angle considéré.

Nous avons vu sur la page « Géométrie et vecteurs » à quoi correspondait l’hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé dans un triangle rectangle, ainsi que le le sinus, cosinus et tangente par rapport à ces côtés, nous irons donc directement aux définitions des fonctions trigonométriques par rapport au cercle unité.

Le cercle trigonométrique permet de définir les fonctions trigonométriques pour tous les réels positifs ou négatifs et pas seulement pour des angles de mesure en radians compris entre 0 et \frac{\pi}{2}, en effet, [0,\frac{\pi}{2}] représente l’intervalle du cercle unité, nous partons de 0 lorsque nous sommes en « COS ». lorsque nous effectuons un demi tour du cercle, nous nous trouvons à l’angle de valeur \pi, si l’on continue pour faire à nouveau un demi tour, on se retrouve de nouveau au point de départ, autrement dit, nous avons parcouru 360°, donc un angle de 2 \pi. Attention, le sens trigonométrique est le sens inverse des aiguilles d’une montre, il est très important de se souvenir de cela.

A première vue, peut être est il difficile de comprendre ce schéma. Imaginez que nous soyons sur un repère orthonormé, que COS (cosinus) représente l’axe des x, et SIN (sinus) l’axe des y. Les segments de couleurs sont des projections des valeurs de cosinus et sinus sur le cercle trigonométrique. Les angles découlant de ces projections, sont notés à la fois en degrés et en radians. Notez que que les valeurs de sinus et cosinus ne varient uniquement qu’entre 0 et 1, le rayon du cercle unité valant 1. Que pouvons nous remarquer d’autre ? Nous pouvons remarquer que la circonférence du cercle en radians, est égale à 2 \pi, ce qui veut dire que lorsque nous ajoutons 2 \pi à n’importe quel angle ou valeur sur le cercle, nous retombons sur la même valeur, étant donné que nous en avons fait le tour complet. Prenons un autre exemple, que pouvons nous dire des valeurs de cosinus et sinus lorsque l’on prend un angle de \frac{\pi}{6} ? Il suffit de regarder la projection en pointillés de cet angle sur l’axe des cosinus et sinus. La valeur de cosinus en \frac{\pi}{6} est \frac{\sqrt{3}}{2}, et celle est sinus est \frac{1}{2}.

Nous savons que 2 \pi représente un tour complet du cercle, mais que se passerait-il si nous n’ajoutions que \pi au lieu de 2 \pi à l’angle que nous venons de voir ? Il suffirait simplement d’ajouter \pi à \frac{\pi}{6} et nous obtiendrions \frac{ 7\pi}{6} car \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7 \pi}{6} . Que se passe t-il alors sur le cercle ? Comme nous l’avons vu plus haut, en ajoutant \pi, on effectue un demi tour de cercle, par conséquent, on se retrouve à l’opposé de la droite sur le cercle, de même que si nous ajoutions \pi à l’angle \frac{\pi}{2}, nous nous retrouverions en \frac{3 \pi}{2} ou en \frac{- \pi}{2}. Pourquoi \frac{- \pi}{2} ? Il est tout à fait possible de considérer qu’un angle qui se trouve au dessous de l’axe du cosinus, peut être défini comme négatif, mais, pour faciliter la compréhension, nous laisserons ce formalisme de côté.

Il est important de se souvenir des valeurs de cosinus et sinus en fonction de l’angle auquel nous faisons référence, mais il va de soit qu’il est impossible d’apprendre par cœur une infinité de valeurs, en revanche, il est important de se rappeler de certaines valeurs remarquables :

Certaines valeurs sont très intuitives, il suffit d’observer le cercle, par exemple, lorsque l’angle est nul, qu’il vaut 0, la valeur de sinus est également 0. Il est facile de constater ceci, l’angle est nul, ce qui veut dire que la droite se confond avec l’axe du cosinus, et nous voyons bien que le sinus ne prend alors pas de valeur. Il en est de même lorsque l’angle vaut \frac{ \pi}{2} ou 90°, la même chose se passe mais cette fois, de manière opposée, la droite de l’angle est confondue avec celle de l’axe du sinus, ainsi, cosinus prend la valeur 0.

Revenons sur le premier schéma représentant les fonctions trigonométriques, et attardons nous sur le triangle rectangle formé par le cosinus, le sinus, et le côté valant 1, étant aussi le rayon du cercle. Nous remarquons la corrélation avec le théorème de Pythagore et également une propriété très importante : \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1.

Nous pouvons aller plus loin, grâce aux définitions des fonctions trigonométriques dans le triangle rectangle que nous avons vu dans la géométrie et les vecteurs, ainsi qu’au théorème de Pythagore, nous pouvons en déduire ceci :

\sin \theta = \frac{y}{1}=y, \cos \theta = \frac{x}{1}=x, \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}.

y étant l’axe des ordonnées, 1, la longueur de l’hypoténuse, x l’axe des abscisses.
On déduit immédiatement, grâce à l’équation du cercle unité (x^2+y^2=1), la formule \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1.