Fonctions trigonométriques

Définition des fonctions cos, sin et tan :

Fonction cosinus :

A présent, voyons plus en détails chaque fonction trigonométrique et ses propriétés, avec leur courbe respectives appelées « sinusoïdes »  :

Ceci est la représentation graphique analytique de la fonction cosinus. Que peut on dire à son sujet ? D’une part, que c’est une fonction sinusoïdale, telle une onde, un signal, qui est sinusoïdal dans le temps. Cette fonction est périodique d’intervalle 2 \pi, c’est à dire que :

\forall x \in \mathbb{R}, \cos(x+2 \pi)=\cos(x).

En réalité, cette propriété découle directement du cercle unité, regardez comment la fonction cosinus se comporte à partir de ce dernier  :

Chaque fois qu’on effectue un tour de cercle, on effectue une rotation d’angle 2 \pi, ce qui veut dire qu’on revient au point de départ, donc, ajouter ou retirer 2 \pi ne change pas la valeur de x.

Que peut t’on dire d’autre ? La fonction cosinus est paire , c’est à dire que \cos (-x) = \cos (x).
Par exemple, on sait que cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2} , mais cos(\frac{\pi}{3})=cos(\frac{ 5\pi}{3})=cos(- \frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}, donc, \cos (-x) = \cos (x)

Fonction sinus :

Voici maintenant la représentation graphique de la fonction sinus. Contrairement à la fonction cosinus, la fonction sinus est impaire, c’est à dire que : \sin (- \alpha)= - \sin (\alpha), en revanche, tout comme le cosinus, elle est également périodique, et donc définie sur un intervalle de 2 \pi, et donc \sin ( \alpha + 2 \pi)= \sin (\alpha)

Au même titre que la fonction cosinus, il est possible de définir graphiquement la fonction sinus à partir du cercle unité :

Fonction tangente :

Contrairement à ses homologues, la fonction tangente est, certes périodique, mais, non seulement elle ne l’est pas sur 2 \pi mais uniquement sur \pi, mais en plus, elle n’est pas continue. Elle est continue seulement sur un intervalle de \pi, à chaque borne, sa limite n’est pas finie, elle tend soit vers + \infty soit vers - \infty. Autrement dit, elle présente ce qu’on appelle des asymptotes (*) verticales, aux valeurs \theta= \frac{\pi}{2} + k \pi (pour tout k entier) et s’annule pour tout multiple entier de \pi. On peut également exprimer les limites pour chaque asymptote :

\displaystyle{\lim_{\theta \to (\frac{\pi}{2})^-} \tan \theta}= - \infty  et  \displaystyle{\lim_{\theta \to (\frac{\pi}{2})^+} \tan \theta}= + \infty.

Propriétés d’opérations des fonctions cosinus, sinus et tangente :

Avant d’aborder les propriétés de dérivabilité et d’intégration des trois fonctions, voyons quelques propriétés qui concerne l’addition et la multiplication d’arcs de ces fonctions entre elles.

Les deux formules principales pour l’addition sont :


et

.

Si il s’agit de cos(A – B) ou sin(A – B) , le signe de l’autre côté de l’égalité serait simplement l’opposé, par exemple : cos(A – B) = cos A cos B + Sin A Sin B.

Pour la tangente, le résultat est moins évident, il faut développer l’expression :

On sait que \tan(A)=\frac{ \sin(A)}{\cos(A)}, donc :

\tan(A+B)=\frac{ \sin(A+B)}{\cos(A+B)}

on connait la formule de \cos(A+B) et \sin(A+B), on développe donc et on a :

\tan(A+B)=\frac{ \sin(A) \cos(B) + \cos(A) \sin(B)}{\cos(A) \cos(B) - \sin(A) \sin(B)}

On divise par \cos(A) et \cos(B) :

\tan(A+B)=\frac{ \tan(A) + \tan(B)}{1-\tan(A) \tan(B)}



Quelques propriétés supplémentaires : 

\cos(2a)=\cos(a+a)= \cos^2 a - \sin^2 a
On sait que \cos^2 + \sin^2 =1, donc \cos^2=1-\sin^2
On peut remplacer ceci dans la formule plus haut, pour avoir :
\cos(2a)=1-\sin^2-(\sin^2 a). Donc :
\cos(2a)=1-2 \sin^2 a

\sin(2a)=\sin(a+a)=\sin a \cos a + \sin a \cos a= 2 \sin a \cos a 

\tan(2a)=\frac{\tan a + \tan a}{1-\tan^2 a}=\frac{2 \tan a}{1-\tan^2 a}
Nous avons simplement repris le modèle de \tan(A+B)

\sin(3a)=\sin(2a+a)=\sin(2a) \cos a+ \cos(2a) \sin a
On connait \sin(2a) et \cos(2a) :
\sin(3a)=2 \sin a \cos a \times \cos a+ (1- 2 \sin^2 a) \times \sin a
On sait ce que vaut \cos^2, on remplace donc :
\sin(3a)=2 \sin a (1- \sin^2 a) +  (1- 2 \sin^2 a) \times \sin a
Donc :
\sin(3a)=2 \sin a -2 \sin^3 a - 2 \sin^3 a + \sin a=3 \sin a - 4 \sin^3 a

\cos(3a)=\cos(2a +a)= \cos(2a) \times \cos a- \sin(2a) \times \sin a.
\cos(3a)= (1-2 \sin^2 a) \times \cos a- 2 \sin a \cos a \times \sin a
\cos(3a)= (1-2 (1-\cos^2 a)) \times \cos a- 2 (1- \cos^2a) \times \cos a
\cos(3a)= (1-2+ 2\cos^2 a) \times \cos a- 2 (\cos a - \cos^3 a)
\cos(3a)= -\cos a+ 2 \cos^3 a- 2 \cos a + 2\cos^3 a
\cos(3a)=- 3 \cos a + 4 \cos^3 a

\tan(3a)=\tan(2a+a)=\displaystyle{\frac{ \tan(2a) + \tan(a)}{1-\tan(2a) \tan(a)}=\frac{ \frac{2 \tan a}{1-\tan^2 a} + \tan(a)}{1-\frac{2 \tan a}{1-\tan^2 a} \tan(a)}}

On simplifie en haut et en bas par (1 - \tan^2 a) :

\displaystyle{\tan(3a)=\frac{ 2 \tan a + (1-\tan^2 a) \tan a}{ (1-\tan^2 a)- 2 \tan a \tan(a)}}
\displaystyle{\tan(3a)=\frac{ 3 \tan a - \tan^3 a}{ 1- 3 \tan^2 a}}

Ces formules sont à retenir, bien qu’elles ne soient pas très intuitives, elles sont tout de même importantes.