Fonctions trigonométriques

Dérivabilité et Primitives des fonctions cosinus, sinus et tangente :

A présent que nous avons vu plus en détails les trois fonctions trigonométriques fondamentales, nous allons aborder l’intégration et la dérivation de ces fonctions. Si vous n’avez pas encore vu les pages dédiées à ces notions sur notre site (dérivation et intégration), il est préférable que vous les consultiez avant de continuer plus avant ici.

Dérivation :

Cosinus :

On connait la formule générale de dérivation :

f'(x)=\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}.

Si on remplace par le cosinus, on a :

\cos'(x)=\displaystyle{\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}}.

On connait la formule de la somme de deux angles du cosinus :

\cos'(x)=\displaystyle{\frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h-\cos(x)}{h}}.

On factorise par \cos x et \sin x :

\cos'(x)=\displaystyle{\cos x \frac{\cos h -1}{h}- \sin x \frac{\sin h}{h}}.

On sait que lorsque h tend vers 0, \frac{ \sin h}{h}=1 et \cos h=1 également, donc :

\cos'(x)=- \sin x.

Sinus :

\sin'(x)=\displaystyle{\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}}.

De manière analogue à \cos, on pose :

\sin'(x)=\displaystyle{\frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h -\sin(x)}{h}}.

On factorise par \sin x et \cos x :

\sin'(x)=\displaystyle{ \sin x \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \frac{\sin(h)}{h}}.

\frac{ \sin h}{h}=1, donc :

\sin'(x)=\cos x

Tangente :

Pour dériver la fonction tangente, il faut s’appuyer sur la formule de dérivation de deux fonctions de la forme f=\frac{u}{v} qui, lorsqu’on dérive, devient f'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.

On sait que \tan(x)=\frac{\sin x}{\cos x}

On définit alors u=\sin et v=\cos, donc :

\tan'(x)=\displaystyle{\frac{\cos^2(x)-(\sin(x)-\sin(x))}{\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}}

On peut également l’écrire autrement :

\tan'(x)= \displaystyle{\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=1+\frac{sin^2(x)}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)}

Intégration :

Voyons maintenant comment intégrer cosinus, sinus et tangente, en commençant par cosinus, comme d’habitude. Nous allons voir, qu’en se basant sur le cercle trigonométrique, il existe une méthode très simple pour trouver la primitive de cos et sin. Regardez le schéma ci dessous :

Cosinus :

Trouver la dérivée et la primitive de cosinus et sinus revient simplement à effectuer un quart de tour dans le sens que nous voulons et qui en rapport avec ce que nous cherchons, par exemple, on peut voir que la dérivée de \cos(x) est bien -\sin(x), que nous avions démontré algébriquement plus haut.
De même, on voit que la primitive de \cos(x)=\sin(x). N’oublions pas de rajouter la constante d’intégration. En détail, cela donne :

\displaystyle{\int \cos(x) \,dx} = \sin(x)+C

La preuve est directe. L’opération d’intégration est la réciproque de l’opération de dérivation.
On sait que \frac{d}{dx} \sin(x+C)=\cos(x). Par la propriété de la primitive :

\displaystyle{\int_{a}^b \frac{d}{dx} \sin(x) \,dx =  \int_{a}^b \cos(x)  \,dx  = \sin(x)+C}

La primitive étant anti-dérivative, on a bien que :

\displaystyle{\int \cos(x)  \,dx  = \sin(x)+C}

Sinus :

C’est le même procédé pour le sinus, on voit que si l’on se sert du cercle trigonométrique, on trouve que la primitive de \sin(x) = -\cos(x). Si on exprime cela algébriquement, cela donne :

\displaystyle{\int \sin(x)  \,dx  = -\cos(x)+C}

Tangente :

La tangente elle, est un peu plus compliquée car elle impose, une fois de plus, que nous utilisions un composée de fonctions. Nous savons que \tan(x) = \displaystyle{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}.
On sait également que :

\displaystyle{\int \frac{u'}{u} \,dx= \ln(u)+C}

Néanmoins, nous un petit problème. Si on pose u=\cos, alors u'=-\sin. Comment fait-on alors pour avoir le bon signe ? Nous allons utiliser une petite astuce, en effet, on sait qu’il est possible de sortir un signe d’une intégrale, alors, écrivons ceci :

\displaystyle{\int \frac{u'}{u} \,dx= \int  \frac{-\sin}{\cos} \,dx=  -\int  \frac{\sin}{\cos} \,dx}

Nous n’avons plus qu’à nous servir du résultat de cette intégration et nous trouvons :

\displaystyle{-\int  \frac{\sin}{\cos} \,dx=- \ln(\cos)+C}

Opérations usuelles de dérivées et de primitives de fonctions trigonométriques :

Dérivation :

Cosinus :

Imaginons qu’on veuille dériver le cosinus non pas d’une variable x, mais d’une fonction u?

En fait, lorsqu’on dérive le cosinus d’une variable x, on dérive le cosinus lui même, et la variable x, de sorte que :

\cos'(x)=1x^{1-1}(-\sin(x))=-\sin(x). On ne sert ici que de la formule de dérivation d’une variable x, tel que si f(x)=x^n, alors f'(x)=nx^{n-1}. Dans ce cas, n=1 et la fonction f n’est rien d’autre qu’une variable.

Qu’en est-il si on remplace x par une fonction dérivable quelconque u ?
Le suspens n’est pas très intense, car la réponse est : la même chose… En effet :

\cos'(u)=-u' \sin(u)

Si vous remplacez u par x, alors vous avez directement \cos'(x)=-\sin(x), mais prenons un autre exemple. Prenons u=2x^3+x^2 par exemple, alors :

\cos'(2x^3+x^2)=-(6x^2+2x) \sin( 2x^3+x^2 )

Sinus :

Le procédé est le même pour le sinus, et également le même pour la tangente que nous allons voir juste après, en effet :

\sin'(u)=u' \cos(u)

Ceci se démontre de la même manière que pour le cosinus.

Tangente :

\tan'(u)=\displaystyle{\frac{\sin'(u)}{\cos'(u)}=u' \frac{1}{\cos^2(u)}=\frac{u'}{\cos^2(u)}}

Primitives :

Les primitives du sinus, cosinus et tangente de fonctions sont plus difficilement définissables. En effet, la primitive de la tangente de u par exemple, u étant une fonction dérivable quelconque, dépend de cette dernière, il n’existe donc pas de formule générale.
En revanche, et cela va de soit, on connait les formules ci-dessous car nous les avons déjà dérivés ! :

\displaystyle{\int u' \cos(u) \,dx =\sin(u)+C}

\displaystyle{\int u' \sin(u) \,dx =- \cos(u)+C}

\displaystyle{\int u' \tan(u) \,dx =- \ln|\cos(u)|+C}

Exemple, pour trouver une primitive de u'\tan(u) :

\displaystyle{\int u' \tan(u) \,du =  \int \frac{du}{dx} \frac{sin(u)}{\cos(u)} \,dx}

Les \,dx se simplifient, et on fixe \cos(u)=t, -\sin(u) \,dx= \,dt

Alors :

\displaystyle{\int u' \tan(u) \,dx =  \int  \frac{1}{t} (-\,dt)=-\int  \frac{1}{t} \,dt}= -\ln|t|+C

On remplace de nouveau t par sa valeur et on trouve :

\displaystyle{\int u' \tan(u) \,dx} = = -\ln|\cos(u)|+C=\ln\left|\frac{1}{\cos(u)}\right|+C