Fonctions trigonométriques


Fonctions trigonométriques Réciproques :

Vous savez globalement ce qu’il y a à savoir sur les fonctions trigonométriques usuelles, nous allons donc parler à présent de leurs fonctions réciproques.
Autrement dit, les fonctions arctangente, arcsinus et arccosinus.

Les fonctions arc, telles que arccos, arcsin et arctan, sont les fonctions réciproques des fonctions cosinus, sinus et tangente. Qu’est ce que cela veut dire concrètement? Reprenons le cercle trigonométrique comme référence :

Lorsque nous projetons par exemple, la valeur \frac{\pi}{4}, et que nous voulons connaître son sinus, il suffit de lire sur le cercle trigonométrique pour avoir la réponse, en l’occurrence, \sin(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{(2/2)}


Qu’en est il si nous faisons les choses dans l’ordre inverse ? C’est à dire, essayer de trouver la valeur de l’angle, lorsque nous connaissons la valeur de son sinus, par exemple, que vaut \sin = \sqrt{(2/2)} ? Eh bien, que remarquons nous ? Plaçons nous au point \sqrt{(2/2)} du sinus. Effectivement, on voit que la valeur renvoie \frac{\pi}{4}, mais également l’angle \frac{3 \pi}{4} , alors comment pouvons savoir du quel il s’agit ?

La fonction arcsinus :

En fait, cette fonction prend la valeur du sinus, et renvoie l’angle theta auquel est associé ce sinus, mais, pas sur l’ensemble du cercle trigonométrique, seulement sur un demi cercle.
Vous devez vous demander comment savoir sur quel demi il faut regarder, et le choix fût en fait arbitraire. Les mathématiciens réfléchirent, et se mirent d’accord pour définir le domaine de définition de la fonction arcsinus comme étant la partie droite du cercle trigonométrique, c’est à dire, le domaine de définition [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]

La fonction arcsin, notée également \sin^{-1} , est en fait la bijection réciproque de la fonction sinus sur la restriction de l’intervalle [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] .

Analytiquement, la fonction arcsinus est la réflexion de la fonction sinus par rapport à la droite d’équation x=y :

La fonction arcsinus est donc une bijection de l’intervalle [-1;1] vers l’intervalle [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].

La dérivée de la fonction arcsin est :

\arcsin'(x)=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}

Comment démontrer ceci ?

Pour dériver arcsin, on va définir f = \sin(x), f'= \cos(x), et f^{-1}=\arcsin(x).
On sait que la dérivée d’une fonction réciproque s’écrit :

f'^{-1}(x)=\displaystyle{\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}}

On sait aussi que x=\sin(\arcsin(x)) puisque ces deux fonctions sont des bijections réciproques.

On peut donc poser \arcsin'(x)=\displaystyle{\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}= \frac{1}{cos(\arcsin(x))}}

Rappel : On sait que \cos^2(x)+\sin^2(x)=1.
Remplaçons x par \arcsin(x) :

\cos^2(\arcsin(x))+\sin^2(\arcsin(x))=1.

Donc :

\cos^2(\arcsin(x))=1-x^2 .

Or :

\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}.

On remplace donc \cos(\arcsin(x)) dans notre première équation et on trouve :

\arcsin'(x)=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}


Remarque : Lorsqu’on prend une racine carrée, en principe, on doit écrire les deux racines (positive et négative) :

\arctan'(x) = \displaystyle{\frac{1} {\sqrt{(1 - x^2)}}} ou \arctan'(x) = \displaystyle{\frac{1}{-\sqrt{(1 - x^2)}}}.

Pourquoi ce n’est pas le cas ? Ici, on restreint l’étude à l’intervalle [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}], dans lequel la fonction cosinus est toujours positive.

Il faut ajouter que la fonction arcsin est définie sur [-1;1] (intervalle fermé), mais dérivable uniquement sur l’intervalle ouvert ]-1;1[ car \frac{1}{\sqrt{(1 - x^2)}} n’est pas défini pour x = -1 ou x = 1.

Graphiquement, la fonction arcsinus, définie sur [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}] ressemble à ceci :

La fonction arcsinus est également intégrable, et sa primitive est :
.

On peut démontrer ceci grâce à une intégration par partie (accrochez vous un petit peu) :

On veut donc résoudre l’intégrale suivante :

\displaystyle{\int \arcsin(x) \,dx}
On va donc se servir du théorème de l’intégration par partie :

Le problème, c’est que nous n’avons qu’une seule fonction à intégrer… Ce n’est pas grave, nous allons faire comme si nous en avions deux, comment ?
On va poser u=\arcsin(x) et \,dv = 1 \times \,dx= \,dx.
Ceci va nous aider, mais remplacer les valeurs ne suffira pas, il va falloir redéfinir certaines variables.


On va réécrire notre équation, selon le théorème d’intégration par partie :

\displaystyle{\int u \,dv= uv -  \int v \,du}.
On sait que u=\arctan(x) et \displaystyle{\,du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx}.
Nous l’avions démontré plus haut. On sait également que \,dv=\,dx, alors on peut écrire v=x.
En effet, la primitive de 1, ou de n’importe quelle constante est x.
Ce que nous allons faire maintenant, c’est remplacer les termes dans l’équation initiale, en se servant du théorème de l’intégration par parties :

\displaystyle{\int \arcsin(x) \,dx= x \arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \,dx}

Il y a des choses à remarquer ici, ce n’est pas forcément évident. On devoir substituer de nouveaux des termes.
Pour ce faire, on va poser w=1-x^2.
Ensuite, calculer la dérivée de w :
\,dw=-2x \,dx
et donc
\displaystyle{\frac{\,dw}{-2x}=\,dx}

Réécrivons tout cela maintenant :

\displaystyle \int \arcsin(x) \,dx= x \arcsin(x)- \int {\frac{x}{\sqrt{w}} \frac{\,dw}{-2x}= x \arcsin(x)- \int \frac{1}{\sqrt{w}} \frac{\,dw}{-2}= x \arcsin(x)- \frac{1}{2} \int -\frac{\,dw}{\sqrt{w}}}

 

Ce calcul un peu laborieux touche presque à sa fin, nous allons à présent réécrire l’intégrale complète, en modifiant l’écriture de la racine :

\displaystyle{\int \arcsin(x) \,dx= x \arcsin(x)+ \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \,du}

Par conséquent :

\displaystyle{\int \arcsin(x) \,dx= x \arcsin(x)+ \frac{1}{2} \frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}=  x \arcsin(x) +u^{\frac{1}{2}}+C}

Remplaçons de nouveau u et réécrivons la racine normalement et nous avons finalement :

\displaystyle{\int \arcsin(x) \,dx= x \arcsin(x) +\sqrt{1-x^2}+C}

La fonction arccosinus :

Le procédé est le même que pour la fonction arcsinus, il s’agit de choisir l’intervalle adéquate, et de démontrer qu’elle est la réciproque de la fonction cosinus sur cet intervalle, en l’occurrence, [0;\pi]. En effet, si on regarde ce que cela donne graphiquement :

On constate que, tout comme la fonction arcsin, la fonction arccos est définie sur un intervalle finie, en l’occurrence [0;\pi].
Elle est dérivable en ]-1;1[, comme la fonction arcsinus.

Image dans Infobox.

Elle aussi, prend une valeur de cosinus, et renvoie son angle, cependant, le problème est le même que pour la fonction arcsinus, comment décider de cet angle ?
Lorsque nous avons par exemple une valeur de \cos(x) = \frac{1}{2}, cela nous renvoie deux angles sur le cercle trigonométrique, \frac{\pi}{3} ou -\frac{\pi}{3}. Par conséquent, un choix arbitraire fût également fait par les mathématiciens, et l’intervalle choisit fût [0;\pi] :

La fonction arccosinus n’est définie que sur la partie supérieur du cercle trigonométrique (partie grisée sur le schéma). Sa dérivée est très similaire à celle de l’arcsinus, seul le signe change :

La démonstration est similaire à celle de l’arcsinus. On pose \cos(x)=f(x), \arccos(x)=f^{-1}(x) et f'(x)=-\sin(x).
Par la dérivée d’une fonction composée , on peut poser :
\arccos'(x)=\displaystyle{\frac{1}{-\sin[\arccos(x)]}}

On reprend notre formule \cos^2 X+\sin^2 X=1

On fixe X=\arccos(x), alors :

x^2+\sin^2[ \arccos(x)]=1, donc :

\sin^2[ \arccos(x)]=1-x^2, et :

\sin[ \arccos(x)]=\sqrt{1-x^2}

On remplace ce que nous trouvons dans notre premier calcul et on trouve :

\arccos'(x)=\displaystyle{\frac{1}{-\sqrt{1-x^2}}}

Tout comme l’arcsinus, la fonction arcosinus est également intégrable et sa primitive est :

\displaystyle{\int \arccos(x) \,dx=x  \arccos(x) - \sqrt{1-x^2} +C}

Démontrons ceci avec une intégration par parties, comme pour la fonction arcsinus. On pose donc :

u=\arccos(x), \,du= \displaystyle{\frac{1}{-\sqrt{1-x^2}} \,dx},v=x,\,dv=\,dx

On remplace alors :

\displaystyle{\int \arccos(x) \,dx=x \arccos(x)- \int x \times \frac{1}{-\sqrt{1-x^2}} \,dx= x \arccos(x)- \int \frac{x}{-\sqrt{1-x^2}} \,dx }

On pose w=1-x^2, \,dw=-2x \,dx

Par conséquent :

\displaystyle{\int \arccos(x) \,dx=x \arccos(x)- \int \frac{x}{-\sqrt{w}} \frac{,dw}{-2x}}

On sort maintenant le \frac{1}{2}, et les x se simplifient :

\displaystyle{\int \arccos(x) \,dx=x \arccos(x)+ \frac{1}{2} \int \frac{1}{-\sqrt{w}} \,dw}

On sort le moins de l’intégrale et on intègre, on trouve :

\displaystyle{\int \arccos(x) \,dx=x \arccos(x)- \frac{1}{2} \frac{w^{-\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}= x \arccos(x) -\sqrt{w}+C }

En remplaçant de nouveau w :

\displaystyle{\int \arccos(x) \,dx = x \arccos(x) -\sqrt{1-x^2}+C}


La fonction arctangente :

Comme nous pouvons à présent le deviner, la fonction arctangente est la fonction réciproque de la fonction tangente. Tout comme ses homologues, elle se définie sur un intervalle fini, \displaystyle{[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]} et \arctan(x)=y si et seulement si \tan(y)=x avec x,y \in \displaystyle{[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]}

On définit l’arctangente d’un nombre réel comme étant la valeur d’un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre. Si on trace la courbe x=y, on remarque bien que les deux fonctions tangente et arctangente sont réciproques l’une de l’autre :

Que peut on dire d’autre sur la fonction arctangente ? Elle est impaire, c’est à dire que :

\arctan(-x)=-\arctan(x).

La fonction arctangente est dérivable sur \mathbb{R}, contrairement à ses cousines, qui ne le sont que sur des intervalles finis.
C’est tout à fait logique, si on résonne par l’absurde, on sait que les fonctions sinus et cosinus sont définies sur \mathbb{R}, mais leurs réciproques ne le sont pas. C’est normal, puisque les fonctions sinus et cosinus sont bornées entre -1 et 1.

On sait en revanche que la tangente n’est pas définie sur \mathbb{R}, mais sur \displaystyle{[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]} sa réciproque, l’est donc évidemment.
Si on regarde le graphe de la fonction, on voit bien qu’elle est continue sur l’axe des abscisses :

La fonction tend vers \displaystyle{-\frac{\pi}{2}} lorsque x tend vers -\infty et \displaystyle{\frac{\pi}{2}} lorsque x tend vers +\infty.

En ce qui concerne sa dérivée :

\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}

Prouvons le :

Démontrons de nouveau que ceci est vrai :
Prenons f = tan(x) et f^-1(x) = arctan(x).  On sait que [tan(arctan(x))] = (x) et donc [tan(arctan(x))]’ = (x)’
On va dériver, grâce à la formule de dérivée de fonctions réciproques :

Si on applique cette formule à notre équation, on a :arctan'(x) = 1/tan'(x) × arctan(x). On sait que tan'(x) = 1 + tan²(x).
Donc, on a le droit d’écrire (termes du dénominateur) : tan'(arctan(x)) = 1 + tan(arctan(x))². Or, tan(arctan(x)) = x. Donc ;
arctan'(x) = 1/1 + x².

La fonction arctangente est évidemment intégrable, et sa primitive est :

Voici encore une vidéo détaillant le procédé : https://www.youtube.com/watch?v=PrvJrUvj5Pk .