Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques inverses :

Attaquons nous à présent aux fonctions trigonométriques inverses. Tout simplement, les fonctions trigonométriques inverses sont les fonctions cos, sin et tan, lorsqu’on les inverse (qu’on leur applique la fonction 1/x).

La fonction sécante :

Elle est notée « sec » et est la fonction inverse de la fonction cosinus, autrement dit , sec(x) = 1/cos(x).

C’est également le rapport de la longueur de l’hypoténuse par rapport à la longueur du côté adjacent dans un triangle rectangle :
.

Voici la représentation graphique de la fonction sécante :

La fonction sécante est paire sec(-x) = sec(x), c’est logique, puisque la fonction l’est :  cos(-x)  = cos x.Elle est définie sur R, mais n’est pas continue. Elle possède des asymptotes verticales. On peut dire en revanche qu’elle est périodique, de périodicité 2π et renvoie des valeurs uniquement sur ]π/2;3π/2 + kπ[ avec k appartenant à Z.

La dérivée de la fonction sécante est sin(x)/cos²(x).
Il est possible de le démontrer. On pose sec'(x) = d/dx sec(x). On peut aussi poser d/dx sec(x) = d/dx (1/cos(x)). On va se servir des propriétés de dérivations de deux fonctions de la forme f/g, avec g = cos(x) et f = 1.
Donc, g’ = -sin(x) et f’ = 0. Si on applique la formule de la dérivée usuelle d’un quotient de deux fonctions (u’v – uv’/v²), on a :
(cos(x) × 0 – 1 (-sin(x)))/(cos(x))². Le cosinus du numérateur s’annule car multiplié par 0, et les deux « – » devant le sinus se transforme en « + », et on a :
1 × sin(x)/(cos(x))². Que voyons nous ? On voit que si on sépare en deux termes distincts cette fraction, on obtient deux termes pouvant se simplifier, en effet :
1/cos(x) × sin(x)/cos(x) = sec(x) × tan(x).
Donc, on a bien démontrer que sec'(x) = sec(x) × tan(x) ou sin(x)/cos²(x).

*Nous souhaiterions souligner qu’il existe plusieurs méthodes pour arriver au résultat, et ceci, pour toutes les démonstrations de dérivations et de calculs de primitives des fonctions trigonométriques que nous avons effectué sur cette page. Le choix concernant la méthode est arbitraire, car nous pensons à chaque fois qu’il s’agit de la plus simple, cependant, si vous ne partagez pas cet avis et que vous avez du mal à comprendre, une liste plus variée de vidéos démontrant ces calculs sera mise à disposition en fin de page.

Voici une vidéo qui démontre le calcul de cette dérivée (N’étant pas en mesure de trouver une vidéo en français montrant le calcul de la dérivée de la fonction sécante, nous nous excusons pour ceux n’étant pas familiers avec l’anglais…).

Le calcul de la primitive de la fonction sécante est également possible en faisant l’intégrale de la fonction 1/cos(x), le résultat est :

Oulà ! Mais qu’est ce que c’est que cette intégrale compliquée ! Les étapes pour en arriver au résultat ne sont pas si compliquées, allez, Démontrons le !
Nous allons (encore une fois), découper cette intégrale et par conséquent utiliser la notion d’intégration par parties. Ce procédé devrait normalement commencer à vous être familier.
On pose ∫sec(x) dx. Ce que nous allons faire ici, c’est poser cela sous forme de fraction sec(x)/1, et multiplier en haut et en bas, par la dérivée de sec(x) (que vous connaissez) :
∫sec(x) dx = ∫sec(x) × (sec(x) × tan(x))/sec(x) × tan(x) dx. Jusque là, rien de bien compliqué. Maintenant, nous allons développer :
∫sec(x) dx = ∫sec²(x) + sec(x) + tan(x)/sec(x) × tan(x) dx. A présent, que faisons nous ? Vous le savez ? On va substituer les termes de la fraction, tels que u = sec(x) × tan(x)et u’ = sec(x) × tan(x) + sec²(x) dx. (sec(x) tan(x)) étant la dérivé de sec(x), et sec²(x) étant la dérivée de tan(x). Etant donné la distributivité, en posant « dx (sec²(x) + sec(x) + tan(x)) » = dx (sec(x) × tan(x) + sec²(x)) on se retrouve donc avec une primitive à calculer qui est de la forme u’/u, donc : ∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C ou, si on remplace les termes, ∫1/cos(x) dx = ln|1/cos(x) + tan(x| + C.

Voici également une vidéo montrant les étapes : https://www.youtube.com/watch?v=qMUmvfIoTsI .

La fonction cosécante :

Elle est également une fonction inverse, mais du sinus cette fois, elle s’écrit donc cosec(x) = 1/sin(x). Tout comme la sécante, elle est aussi périodique 2π mais impaire comme la fonction sinus ; cosec(-x) = -cosec(x). La fonction cosécante est également de la longueur de l’hypoténuse par la longueur du côté opposé :
.

Voici le graphe de la fonction cosécante :

La dérivée de la cosécante est cosec'(x) = -(cos(x)/sin²(x)) ou -cosec(x) × cotan(x).

Peut on démontrer ceci ? Oui, et nous allons le faire maintenant :
On pose cosec'(x) = d/dx cosec(x) = d/dx (1/sin(x)). On va poser u = 1, v = sin(x), u’ = 0, et v’ = cos(x). On va se servir de la propriété de la dérivée d’un quotient, car nous avons une dérivée de la forme (u/v)’.
On remplace : sin(x) × 0 – 1 × cos(x)/(sin(x))². On a donc :
-cos(x)/sin²(x). Ce que nous allons faire maintenant, c’est séparer ce terme en deux fractions, et essayer de reconnaître une valeur :
-cos(x)/sin(x) × 1/sin(x). Tiens donc, que voit on ? -cos(x)/sin(x) = -cotan(x), et 1/sin(x) = cosec(x), donc :
cosec'(x) = -cotan(x) × cosec(x), ou  cosec'(x) = -cosec(x) × cotan(x).

Voici une vidéo (en anglais), détaillant le calcul de cette dérivée.

Une primitive de la fonction cosécante est : ∫cosec(x) dx ou ∫1/sin(x) dx = ln|tan(x/2)| + C.

Le calcul de la primitive de la cosécante est un petit peu plus compliqué que ce que nous avons vu jusqu’à présent, donc accrochez vous bien, nous détaillerons le plus possible les étapes.
Ce que nous allons faire, pour pouvoir opérer, c’est multiplier en haut et en bas par la dérivée de la cosécante, de telle sorte qu’on pose :
∫cosec(x) dx = ∫cosec(x) × (cosec(x) + cotan(x)/cosec(x) + cotan(x) dx. A présent, on va développer les termes :
∫cosec(x) dx = ∫cosec²(x) × (cosec(x) + cotan(x))/ cosec(x) + cotan(x) dx. Maintenant, on va poser u = cosec(x) + cotan(x), u’ = -cosec(x) + cotan(x) – cosec²(x) dx.
*
Remarque : Nous n’avons pas encore parlé de la dérivée de cotan(x), que nous avons implicitement marqué comme étant cosec²(x). Il est compliqué de savoir par quelle fonction commencer, car chacune fait apparaître des propriétés de l’autre lorsqu’on les dérive on qu’on les intègre. Continuons :
On a donc u et u’, maintenant, on va poser que dx (ou x’) = u’/-cosec(x) + cotan(x) – cosec²(x). Ici, on a simplement basculé les termes de l’équation u’ = -cosec(x) + cotan(x) – cosec²(x) dx pour exprimer cette dernière en fonction de dx, et nous permettre de remplacer dx dans l’intégrale :
∫cosec(x) dx = ∫cosec²(x) + cosec(x) × cotan(x)/u × u’/-cosec(x) × cotan(x) – cosec²(x). On a le droit de factoriser par un moins, donc :
∫cosec(x) dx = ∫cosec²(x) + cosec(x) × cotan(x)/u × u’/-(cosec(x) × cotan(x) + cosec²(x)). On fait sortir le moins de l’intégrale :
∫cosec(x) dx = -∫cosec²(x) + cosec(x) × cotan(x)/u × u’/(cosec(x) × cotan(x) + cosec²(x)). Mais deux termes s’annulent ici :
∫cosec(x) dx = -∫cosec²(x) + cosec(x) × cotan(x)/u × u’/(cosec(x) × cotan(x) + cosec²(x)).On réécrit ceci correctement et on a :
∫cosec(x) dx = -∫1/u du = -∫du/u. 
Evidemment on a une forme u’/u, donc :
∫cosec(x) dx = -ln|u| + C = -ln|cosec(x) + cotan(x)| + C.

Voici la vidéo du détail du calcul : https://www.youtube.com/watch?v=qe0l4G14h5w .

Le fonction cotangente :

Le principe est le même que pour la sécante et la cosécante, la cotangente est la fonction inverse de la tangente, c’est à dire cotan(x) = 1/tan(x), mais aussi cotan(x) = cos(x)/sin(x). Cette fonction est périodique et de période π, elle est impaire : cotan(-x) = -cotan(x). Son domaine de définition est ]0;π[

La fonction cotangente est dérivable en ]kπ ; (k + 1)π[ avec k .

Pour dériver cotan(x), il nous faut utiliser la dérivée usuelle de deux fonctions f'(u/v) = u’v – uv’/v², donc on a :
cotan'(x) = ((-sin(x)) × sin(x) – cos(x) × cos(x))/sin²(x). On développe, on a :
cotan'(x) = (-sin²(x) – cos²(x))/sin²(x). Si on met le moins en facteur au numérateur, on a :
cotan'(x) = -(sin²(x) + cos²(x))/sin²(x), on connait le numérateur, et on peut simplifier :
cotan'(x) = -1/sin²(x). On sait que la cosécante = 1/sin(x). Par conséquent :
cotan'(x) = -cosec²(x) ou cotan'(x) = -1/sin²(x).

Pouvons nous également intégrer cette fonction ? Oui, sa primitive est ∫cotan(x) = 1/tan(x) dx = ln|sin(x)| + C.
Nous allons poser l’intégrale : ∫cotan(x) = cos(x)/sin(x) dx. On va poser également u = sin(x) et u’ = cos(x) dx. On en déduit donc que dx = u’/cos(x).
Par conséquent, on a : ∫cotan(x) = cos(x)/sin(x) × u’/cos(x). Les cos(x) s’annulent, et on a : 
∫cotan(x) = 1/u du.
On sait que u’/u = ln|u|. Donc :
∫cotan(x) = ln|sin(x)| + C.

Voici la vidéo détaillant le calcul : https://www.youtube.com/watch?v=E_6u3xAu5IE .

Trigonométrie hyperbolique, fonctions hyperboliques et leurs inverses :

Voici la fin de ce chapitre sur les fonctions trigonométriques, si vous avez consulté les pages dérivation, intégration, vecteurs et géométrie et limites au préalable, nous vous conseillons pour la suite, d’aborder le chapitre sur les nombres complexes.

Illustration de Leonhard Euler (1707-1783), qui est à l’origine de l’analyse trigonométrique moderne, et de la formule portant son nom, la formule d’Euler, qui généralise l’analyse complexe et la trigonométrie que nous verrons plus en détails dans le chapitre consacré aux nombres complexes.