Interaction Gravitationnelle

La gravitation de Newton

En 1665 sévit la peste à Londres. Un jeune étudiant de 23 ans se retrouve alors confiné chez lui en quarantaine. Pendant cette période où la distanciation sociale devait être respectée, le jeune Isaac Newton élaborait des théories physiques, mais également chimiques, et alchimiques sur le monde. Une vingtaine d’années plus tard en 1685, Edmund Hally rendit visite à Isaac. A ce moment là, dans la capitale, les scientifiques débattaient sur la gravitation. Halley demanda à son ami qu’elle serait la forme générale d’un corps soumis à une force centrale en l’inverse du carré de la distance. Newton répondit quasi instantanément : une ellipse, en fait plus généralement une conique, c’est-à-dire un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole. Halley lui demanda comment il le savait. Newton lui répondit qu’il l’avait démontré il y a une vingtaine d’années. Halley l’encouragea à publier ces travaux et ce sont les Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

Nous allons dans ce chapitre partir de l’hypothèse sur la force de gravitation, qui est une force :

  • centrale, qui s’exerce le long de la droite joignant deux corps considérés comme ponctuels
  • inversement proportionnelle au carré de la distance entre les deux corps
  • proportionnelle au produit des masses des deux corps
  • est attractive

\displaystyle\vec F = -G\frac{Mm}{r^2}\vec e_r

En effet, Newton connaissait l’accélération de la pesanteur : 9.81 m/s², ainsi que le rayon de la terre. En outre, il connaissait la distance terre-lune, ainsi que sa période de rotation, de sorte que l’accélération de la lune est calculable. Un calcul permet de voir que cette accélération correspond au rapport des distances au carré, ce qui donne une loi en l’inverse du carré de la distance.

Energie mécanique comme constante du mouvement

Ecrivons la loi de Newton pour faire apparaître la variation de la vitesse et faisons un produit scalaire avec un déplacement élémentaire \vec{dr} = \vec v dt = dr \vec e_r + rd\theta \vec e_\theta + r\sin\theta \vec e_\varphi. Dans la suite nous considérerons la composante \vec e_\varphi comme nul. Nous avons considéré un mouvement général, mais tout déplacement orthogonal à la direction de la force ne produit aucun effet puisqu’avec le produit scalaire ces composantes s’éliminent. Dit autrement, seul un déplacement le long de la direction de la force correspond au travail d’une force et produit une variation de l’énergie cinétique.

\displaystyle\vec F \cdot d\vec r = m \frac{d\vec v}{dt}\cdot \vec v dt = -G\frac{Mm}{r^2}dr

En intégrant l’on obtient :

\displaystyle\frac{1}{2}m \frac{d v^2}{dt} = -\frac{d}{dr}\left( G\frac{Mm}{r}\right)

En intégrant à gauche entre deux instants t_1 et t_2 où les vitesses sont respectivement v_1 et v_2, et à droite entre deux rayons r_1 et r_2 l’on obtient :

\displaystyle\frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 = - G\frac{Mm}{r_1} + G\frac{Mm}{r_2}

En regroupant les termes avec les mêmes indices, il se dégage une constante du mouvement qui est l’énergie mécanique que nous appellerons E_0.

\displaystyle E_0 = \frac{1}{2}mv^2 -G\frac{Mm}{r}

Le moment cinétique comme constante du mouvement

Dans la partie précédente, nous avons regardé ce que pouvait produire un mouvement infinitésimal et nous avons exhibé une constante du mouvement. Ecrivons l’accélération :

\displaystyle m\left[ (\ddot r -r\dot\theta^2) \vec e_r + \frac{1}{r}\left(r^2\dot\theta\right)\vec e_\theta\right] = -G\frac{Mm}{r^2}\vec e_r

Nous constatons que la composante orthoradiale est nulle, ce qui veut dire que ce qui est en dessous de la dérivation est une constante du mouvement, nous l’appellerons moment cinétique L_0 :

\vec L_0 = m r^2 \dot \theta \vec e_z

De manière générale, une force centrale (qui s’applique le long du vecteur radial) conserve le moment cinétique.

Lois de Kepler

Au début du XVIIème siècle, Johannes Kepler devient l’assistant de Tycho Brahe, au plus grand observatoire de l’époque. Tycho Brahe avait observé et enregistré la position des planètes pendant de longues années. Kepler a pu avoir accès à ces données, et a notamment travaillé sur le mouvement de la planète Mars. A cette époque le modèle accepté était celui d’Aristote, ou bien de Ptolémée II, qui était un un modèle géocentrique avec des épicycles, permettant notamment d’expliquer le mouvement rétrograde des planètes. Au départ, le modèle était très simple, avec des cercles concentriques autour de la terre, mais des anomalies apparaissaient et il fallait rajouter des épicycles, trajectoires sur lesquelles se déplacent les planètes dont le centre tourne sur le déférent, puis on remarqua que le mouvement des planètes n’étaient pas uniforme, alors il fallait rajouter la notion d’equant, la terre n’est plus au centre du cercle déférent.

Kepler a pu travailler sur les données précises de Tycho Brahe, et a pu en déduire plusieurs lois :

  1. Les planètes tournent autour du soleil sur des trajectoires elliptiques, et le soleil occupe l’un des foyers
  2. L’aire balayée par le segment joignant le soleil à la planète est constante pour des durées égales.
  3. Le rapport entre le carré de la période et le cube du demi grand-axe de l’ellipse est une constante pour toutes les planètes du système solaire.

Nous pouvons dès à présent démontrer la deuxième loi de Kepler pour tout champ à force centrale. En effet, puisque le moment cinétique est constante, écrivons l’aire balayée par le segment pendant une durée dt :

\displaystyle d\vec A = \frac{1}{2} \vec r \wedge \vec v dt = \frac{1}{2} r^2 \dot\theta \vec e_z dt = \frac{L_0}{2m}dt\vec e_z

Nous voyons donc que pendant la durée dt, ce segment balaie une aire constante, l’expression ne dépend pas du temps.

Solutions générales du mouvement

Après ces préliminaires, nous pouvons attaquer la solution générale du mouvement. Exprimons l’énergie mécanique du mouvement en développant entièrement la vitesse :

\displaystyle E_0 = \frac{1}{2}m(\dot r^2 + r^2 \dot\theta^2) -G\frac{Mm}{r}

Nous avons deux dimensions, donc deux paramètres, il est plus simple de remplacer une des variables dynamiques, et nous pouvons le faire parce qu’il y a une relation entre la variable \dot\theta et une autre constante du mouvement :

\displaystyle \dot\theta = \frac{L_0}{mr^2}

En remplaçant cette expression dans l’équation avec l’énergie mécanique nous obtenons :

\displaystyle E_0 = \frac{1}{2}m \left(\dot r^2 + \frac{L_0^2}{m^2 r^2}\right) -G\frac{Mm}{r}

Nous cherchons une équation de la trajectoire, c’est pourquoi nous cherchons une équation donnant la distance radiale r en fonction de l’angle polaire \theta. Nous pouvons par exemple exprimer le fait que la vitesse radiale soit une fonction de la vitesse angulaire en composant les dérivées, et de l’exprimer avec le moment cinétique, obtenant :

\displaystyle\dot r = \frac{dr}{d\theta}\cdot \frac{d\theta}{dt} = r' \cdot \frac{L_0}{mr^2}

où nous avons allégé la notation en prenant r' = dr/d\theta. Nous allons par la suite faire un changement de variable de Binet en remplaçant r = 1/u, la dérivée donne :

\displaystyle r' = \frac{dr}{d\theta} = \frac{d\left(\frac{1}{u}\right)}{d\theta} = -\frac{u'}{u^2}

Nous obtenons pour l’expression de la vitesse radiale :

\displaystyle\dot r = \frac{L_0}{m}u'

En retravaillant un peu l’expression de l’énergie mécanique nous obtenons alors :

\displaystyle\frac{2E_0}{m} = \frac{L_0^2}{m^2}u'^2 + \frac{L_0^2}{m^2}u^2 -2GMu

En multipliant par m^2 / L_0^2 et en isolant u' nous obtenons :

\displaystyle u'^2 = -u^2 + \frac{2GMm^2}{L_0^2}u + \frac{2mE_0}{L_0^2}

Nous pouvons retravailler le membre de droite pour faire apparaître un produit remarquable de sorte que :

\displaystyle u'^2 = -\left(u - \frac{GMm^2}{L_0^2} \right)^2 + \frac{2mE_0}{L_0^2} + \frac{G^2M^2m^4}{L_0^4}

En posant \displaystyle \alpha = \sqrt{\frac{2mE_0}{L_0^2} + \frac{G^2M^2m^4}{L_0^4}} et \displaystyle x = \frac{u}{\alpha} - \frac{GMm^2}{\alpha L_0^2}, et en prenant la racine carrée, nous obtenons :

\displaystyle\frac{dx}{d\theta} = \pm \sqrt{1-x^2}

Focalisons nous sur la forme négative de la solution, nous reconnaissons alors la dérivée de la fonction \arccos x obtenant :

\arccos x = \theta + \varphi_0

En revenant sur les variables initiales :

\displaystyle r(\theta) = \frac{\frac{L_0^2}{GMm^2}}{1 + \frac{\alpha L_0^2}{GMm^2}\cos(\theta + \varphi_0)}

En posant p = L_0^2/GMm^2 et e = \alpha L_0^/GMm^2, nous reconnaissons l’équation d’une conique de paramètre p et d’excentricité e :

\displaystyle r(\theta) = \frac{p}{1 + e\cos(\theta + \varphi_0)}

  • e=0, nous avons un cercle
  • 0<e<1, nous avons une ellipse
  • e=1, nous avons une parabole
  • e>1, nous avons une hyperbole

En calculant la trajectoire d’un corps soumis à une force centrale en l’inverse du carré de la distance, nous voyons que la 1ère loi de Kepler est un cas particulier de trajectoires bien plus générales.

Démonstration de la 3ème loi de Kepler

Dans le cas général d’une orbite elliptique, nous désirons établir la 3ème loi de Kepler. Nous remarquons
que l’aire balayée par la droite planète-corps central est l’aire de l’ellipse pendant une période, avec a est le demi grand axe et b est le demi petit axe :

\displaystyle \pi ab = \int_0^T \frac{dS}{dt}dt = \int_0^T \frac{1}{2}r^2 \dot \theta dt = \int_0^T \frac{L_0}{2m} dt = L_0 T / 2m

Nous pouvons écrire une relation entre le demi petit axe et le demi grand axe : \displaystyle b = \frac{L_0 T}{ 2\pi ma}

Une ellipse est l’ensemble des points M dont la somme des distances de ce point au deux foyers est constante F, F' soit FM + F'M = 2a. L’excentricité est définie par le rapport entre la distance aux foyers et le grand axe : e = FF' / 2a.

Pour le point M de l’ellipse se trouvant également sur la médiatrice des deux foyers, nous avons comme propriété géométrique : FM = a et : b^2 + (FF'/2)^2 = a^2 ou bien b^2 + e^2 a^2 = a^2. De plus le paramètre d’orbite est relié au demi grand axe par l’expression : a = p / (1-e^2). De sorte que :

p = a(1-e^2) = b^2/a

En revenant à l’expression nous obtenons :

\displaystyle \frac{b^2}{a} = \frac{L_0^2 T^2}{4\pi^2 m^2 a^3}

Obtenant :

\displaystyle {4\pi^2 m^2 p }{ L_0^2} = \frac{T^2 }{ a^3}

En remplaçant par l’expression du paramètre de la conique nous obtenons l’expression suivante :

\displaystyle \frac{T^2 }{ a^3} = \frac{4\pi^2 m^2 }{ L_0^2} \cdot \frac{L_0^2 }{ G M m^2} = \frac{4 \pi^2 }{ GM}

Nous reconnaissons la 3ème loi de Kepler, et nous obtenons même la valeur de la constante qui ne dépend que de la valeur de la masse centrale.

Problème à deux corps

Dans tout ce qui précède, nous avons considéré le mouvement d’un corps dans le champ d’une masse centrale immobile. Cependant, dans la vraie vie, ce corps est également influencé par le champ du corps considéré. Nous allons voir comment considérer ce cas général, et nous verrons que cela revient à traiter le problème que nous venons de considérer moyennant quelques modifications. Commençons par faire le bilan des forces. En effet, considérons deux corps, le corps A de masse m_A et le corps B, de masse m_B. Considérons également le centre de gravité G des deux corps, obtenant :

\displaystyle m_A \frac{d^2 \overrightarrow{GA}}{dt^2} = -G\frac{m_A m_B}{AB^3}\overrightarrow{AB}

\displaystyle m_B \frac{d^2 \overrightarrow{GB}}{dt^2} = -G\frac{m_A m_B}{AB^3}\overrightarrow{BA}

Divisons la première expression par m_A et la deuxième par m_B et faisons la différence, obtenant :

\displaystyle \frac{d^2 \overrightarrow{AB}}{dt^2} = -G\frac{m_A+ m_B}{AB^3}\overrightarrow{AB}

Posons \displaystyle \mu = m_A \cdot m_B / (m_A + m_B) obtenant :

\displaystyle\mu \frac{d^2 \overrightarrow{AB}}{dt^2} = -G\frac{m_A m_B}{AB^3}\overrightarrow{AB}

Cela revient donc à étudier le mouvement d’une masse fictive \mu, dont le mouvement est repéré par le point M tel que \overrightarrow{GM} = \overrightarrow{AB}. Ensuite pour retrouver le mouvement de A et de B, il suffit de faire la transformation :

\displaystyle \overrightarrow{GA} = -\frac{m_B}{m_A + m_B} \overrightarrow{GM}

\displaystyle \overrightarrow{GB} = \frac{m_A}{m_A + m_B} \overrightarrow{GM}

L’on rappelle que le barycentre s’est : m_A \overrightarrow{GA} + m_B \overrightarrow{GB} = \vec 0