Interaction Gravitationnelle

Mesure de distances

A partir des lois de Kepler, et de l’observation de la période des planètes, il est possible d’en déduire leur distance, du moins la valeur du demi grand axe par rapport à la distance terre-soleil, qui est l’Unité Astronomique (UA). Prenons comme système d’unité de temps, de sorte que leur rapport fait toujours 1 :

a^3 / T^2 = cste = 1 \cdot UA^3/an^2

Depuis la terre, nous observons la période synodique des planètes T_{syn}, c’est la période au bout de laquelle la terre, la planète et le soleil sont dans la même configuration. On peut par exemple repérer un transit ou une conjonction avec le soleil pour les planètes intérieures, ou bien une opposition avec le soleil. Pour calculer la relation reliant période synodique à la période orbitale, prenons \omega_0 la vitesse angulaire de la terre, et $latex\omega_p $ la vitesse angulaire d’une planète intérieure. Au bout d’une période synodique, la planète intérieure a fait un tour et un certain angle, pendant que la terre a fait juste ce petit angle. Cette relation s’écrit :

\omega_p T_{syn} - 2\pi = \omega_0 T_{syn}

Dans l’expression, la seule inconnue est \omega_p. Après résolution nous obtenons :

\omega_p = 2\pi/T_{syn} + \omega_0

La période orbitale de la planète T_p est donnée par :

T_p = 1 / (1/T_{syn} + 1/T_0) = T_0\cdot T_{syn} / (T_0 + T_{syn})

Pour une planète extérieure à la terre, nous avons le même genre d’expression, sauf que cette fois-ci c’est la terre qui fait un tour alors que l’autre planète a fait un moins d’un tour : \omega_0 T_{syn} - 2\pi = \omega_p T_{syn}, obtenant pour période orbitale pour la planète en question :

T_p = T_{syn} \cdot T_0 / (T_{syn} - T_0)

Une fois que l’on a la période synodique, grâce à la 3ème loi de Kepler T_0^2 / a_0^3 = T_p^2 / a_p^3, l’on en déduit le demi grand axe :

a_p = a_0 \sqrt[3]{T_p^2/T_0^3}

Voici un tableau regroupant les mesures de période synodique et les périodes et demi grand axe déduits :

planètesTsyn (jours)Tp (jours)demi grand
axe (UA)
Mercure115,85988,00,39
Vénus583,837224,70,72
Terre365,31,00
Mars779,804687,11,52
Jupiter398,8224339,05,21
Saturne378,03910796,79,56
Uranus369,59731054,819,34
Neptune367,42961589,530,52
Période synodique mesurée, et calcul des périodes orbitales et demi grand axe

Etant donné l’orbite de la terre n’est pas un cercle, ni celui des autres planètes, cette méthode reste imprécise, et il faudra attendre la détermination précise des trajectoires pour connaître ces valeurs avec plus de précision.

Pour avoir les distances en km, il faudra attendre Huyghens et Cassini, qui mesureront l’unité astronomique, c’est-à-dire la distance Terre-Soleil grâce à la méthode de la parallaxe de Mars (entre deux points éloignés du globe) ou grâce à la méthode de transit de Vénus (entre deux points éloignés du globe).

Mesure de la constante de gravitation

Dans tout ce qui précède, nous n’avons jamais eu accès à la valeur de la masse de la terre, ou du soleil. En effet, dans le cas de l’orbite de la lune autour de la terre, nous connaissons la distance terre-lune grâce à Aristarque de Samos. Dans les équations, la masse de la lune n’intervient pas dans l’hypothèse où l’on suppose la terre immobile par rapport à la lune. De fait, nous n’avons accès qu’au produit GM, car la troisième loi de Kepler permet d’avoir accès à cette valeur en mesurant la période orbitale, et le rayon de l’orbite.

De même, en observant les corps du système solaire, il fallait pouvoir mesurer l’unité astronomique et la constante de gravitation avant d’avoir accès à la masse du soleil. Dans la suite, nous allons décrire la méthode expérimentale pour mesurer la constante de gravitation G.

Balance de torsion utilisée par Henry Cavendish

Le procédé utilise deux masses dont on connait la masse m tenue par une barre dont on néglige la masse. Cette barre est tenue par un fil caractérisée par un couple de rappel C, et nous cherchons à mesurer l’angle d’équilibre \alpha. Nous adjoignons des masses immobiles M, de sorte que le bilan des forces s’écrit de la manière suivante :

C\alpha_0 = GMm/d^2

En mesurant l’angle d’équilibre, et en connaissant tous les autres paramètres, nous avons alors accès à la constante de Gravitation :

G = C\alpha_0 d^2/Mm

La constante de raideur se détermine avec juste les masses seules et en mesurant la période d’oscillation, car en appliquant le théorème du moment cinétique, nous pouvons écrire l’équation suivante :

I\ddot \alpha + C\alpha = 0

I=mr^2 est le moment d’inertie de la barre, qui correspond au produit de la masse m de la masse accrochée à l’extrémité, et du carré de la distance r séparant les deux masses. Pour mesurer la constante de raideur, il est possible de mesurer la période d’oscillation de la balance de torsion, donnée par T = 2\pi/\omega avec \omega^2 = C/I, ainsi la constante de raideur est donnée par :

C = 4\pi^2 mr^2/T^2

Cavendish trouva la valeur G = 6.6\cdot 10^{-11} kg^{-1}m^3 s^{-2}

La mesure est très difficile en raison de la faiblesse du champ de gravitation, et des sources de perturbation, que ce soit les vibrations de l’environnement, les murs du laboratoire, les charges électrostatiques.

Une fois la constante mesurée, nous pouvons par exemple calculer la masse de la terre grâce à l’accélération de la pesanteur qui est mesurée :

M_{terre} = g R_{terre}^2 / G = 6\cdot 10^{24} kg

La mesure de g à nos latitudes ne permet pas d’atteindre une grande précision sauf qu’il faudra prendre en compte l’aplatissement de la terre et la force centrifuge pour obtenir plus de précision sur la masse de la terre, ainsi que des anomalies locales dans la composition des roches. Nous pouvons améliorer le résultat en mesurant g par exemple en utilisant un pendule oscillant dont le mouvement est modélisé par l’équation suivante :

\ddot \theta + \omega^2 \theta =0

Avec \omega^2 = g / L où L est la longueur du pendule et g l’accélération de la peseanteur, de sorte que la mesure de la période nous donne la valeur de g : g = 4\pi^2 L / T.

Etant donné que cette valeur est mesurée à une certaine latitude \lambda, l’accélérateur de la pesanteur ne correspond pas à la valeur en ce point, il faut le corriger du terme centrifuge, de sorte que :

g = g_0 - R\omega_0^2 \cos\lambda

g est l’accélération de la pesanteur que l’on sait mesurer avec notre pendule, g_0 est l’accélération de la pesanteur à la latitude \lambda considérée, et \omega_0 est la vitesse angulaire de la rotation journalière de la terre, ainsi la valeur de l’accélération de la pesanteur corrigée permet ensuite d’affiner la masse de la terre :

g_0 = 4\pi^2 L / T^2 + R\omega_0^2 \cos\lambda

Pour calculer la masse du soleil, l’on peut utiliser la 3ème loi de Kepler T^2 / a^3 = 4\pi^2/GM_{soleil}, puisqu’en mesurant précisément la durée de l’année, et l’unité astronomique, nous pouvons calculer la masse du soleil de la manière suivante :

M_{soleil} = 4\pi^2 a^3/GT^2 = 2\cdot 10^{30}kg

Mesure de la masse de Sagittarius A*

Après la seconde guerre mondiale, l’effort de guerre a permis de développer de nouvelles technologies, comme par exemple le radar qui a permis à la Royal Air Force d’avoir une supériorité aérienne vis-à-vis des bombardiers de la Luftwaffe. A chaque fois que les avions du régime Nazis approchaient des côtes anglaises, ces derniers se faisaient intercepter par les chasseurs britanniques. Ceux-ci ont bénéficié de la technologie radar, qui sont des ondes électromagnétiques avec une fréquence de l’ordre du GHz, émises par une tour de contrôle ou embarqué par la suite dans les avions, la réflexion de l’onde que l’on appelle écho radar permet de localiser la cible avant de l’avant en contact visuel.

Par la suite, la recherche en physique a commencé à fabriquer des antennes de plus en plus grandes comme Parkes, Greenbank, Arecibo (immortalisé par le film de James Bond Golden Eye), ou les réseaux d’interférométrie moderne tel que le VLA ou ALMA. Ces antennes ont permis d’explorer le ciel en onde radio, donnant ainsi naissance à une nouvelle fenêtre sur l’astronomie, qui est la radioastronomie. Rapidement, les astronomes ont commencé à cartographier le ciel pour localiser les sources d’onde radio. Contrairement à ce que l’on pourrait penser, le soleil pourtant très proche n’est pas la source la plus brillante du ciel en ondes radio, mais une source quasi ponctuelle dans la constellation du Sagittaire appelée Sagittarius A*, zone coïncidant avec le centre de la Voie Lactée.

Dans les années 1990, avec les instruments X ? ou radio ? par interférométrie ? Les astronomes ont été capables de suivre la trajectoire de plusieurs étoiles sur des dizaines d’années obtenant leur trajectoire. Le souci ici est que nous ne connaissons pas l’inclinaison de l’orbite par rapport à la ligne d’observation, de sorte que nous ne pouvons avoir que des estimations inférieures de la masse de l’objet compact.

Orbites des étoiles gravitant autour de notre trou noir galactique central
Trajectographie des étoiles orbitant autour de Sagittarius A*

Il est alors possible de déduire approximativement grâce à la distance de Sagittarius A*, la distance du demi grand axe, et encore une fois grâce à la loi 3ème loi de Kepler, nous pouvons estimer la masse de l’astre central par la relation suivante :

M = 4\pi^2 a^3 / G T^2

https://www.wikiwand.com/fr/Sagittarius_A*

Les observations suggèrent l’existence d’un objet d’environ 4 millions de masses solaires concentré dans une dimension de la taille du système solaire.

Détection des exo planètes par la méthode de la vitesse radiale

Cela fait plus de 20 ans que l’on détecte des exoplanètes, ce sont des planètes qui tournent autour d’étoiles autre que le soleil. Il existe plusieurs méthodes. La première méthode utilisée est la méthode du transit, lorsque la planète passe entre la ligne de visée et l’étoile, celle-ci provoque une diminution de l’éclat de l’étoile de manière symétrique. Cette méthode présente comme inconvénient de ne pouvoir détecter que peu de systèmes puisqu’il faut que la terre se trouve dans le plan de la trajectoire décrite par la planète autour de son étoile. Nous ne parlerons pas de cette méthode ici.

Il existe une autre méthode qui est de voir le mouvement de l’étoile par effet Doppler. En effet, dans le problème à deux corps, nous savons que l’étoile est perturbée par la planète, et c’est cette perturbation que nous pouvons observer. C’est ce que l’on appelle la méthode de la vitesse radiale. Le seul problème est que l’on ne peut pas connaître exactement l’inclinaison de l’orbite. Nous observons seulement pour une fréquence particulière, disons H_\alpha tantôt un décalage de fréquence \Delta \nu vers le bleu, tantôt un décalage de même amplitude vers le rouge. C’est ce que l’on appelle la méthode des vitesses radiales, c’est la deuxième méthode en taux de découverte d’exoplanètes.

Répartition des méthodes de découverte des exoplanètes

Rappels théoriques

Pour une exoplanète en rotation autour d’une étoile, la planète ne renvoie pas assez de lumière pour être directement détectable, ou du moins, la lumière diffusée par cette étoile est diluée dans la luminosité de l’étoile. Cependant nous savons que dans un problème à deux corps, la planète perturbe aussi le mouvement de l’étoile, l’ensemble tournant autour de son centre de gravité commun. Appelons E l’étoile, et P la planète, alors le vecteur joignant les deux est décrit par l’équation suivante :

\mu \frac{d^2 \overrightarrow{EP}}{dt^2} = -G\frac{m_E m_P}{EP^3}\overrightarrow{EP}

Avec \mu = m_E\cdot m_P / (m_E + m_P)
De manière générale, m_E \gg m_P et donc \mu = m_P / (1 + m_P/m_E) \simeq m_P.

Dans le cas général, nous pouvons remplacer le mouvement des deux astres par un astre fictif, dont la position est repéré par le point M, de masse \mu soumis à la même force que les deux astres. La solution générale est une conique, et donc dans un système lié c’est une ellipse. Ensuite pour retrouver le mouvement de l’étoile, il faut appliquer une homothétie au point M. En effet, le point est repéré par rapport au centre de gravité de l’ensemble, avec :

m_E \overrightarrow{GE} + m_P \overrightarrow{GP} = \vec 0

La position de l’étoile est donnée par : \overrightarrow{GE} = - m_P/(m_E+m_P) \overrightarrow{EP} = - m_P/(m_E+m_P) \overrightarrow{GM}

Doppler Shift vs Time.png
Exemple de relevé spectroscopique de la lumière d’une étoile

L’analyse du spectre de l’étoile permet déjà de classer l’étoile selon son type spectral dans le diagramme de Hertzsprung-Russel, ce qui permet d’obtenir sa masse. Nous voyons dans cette analyse que la lumière de l’étoile présente une perturbation périodique, ce qui suggère l’existence d’un compagnon sombre. Il est alors aisé de relever la période du signal T. Cette période permet d’obtenir le demi grand axe de l’objet en rotation par la 3ème loi de Kepler :

a = \sqrt[3]{4\pi^2 T^2/GM}

Nous supposerons un mouvement circulaire, de sorte que le demi grand axe devient le rayon de l’orbite, ce qui permet de connaître la vitesse de la planète : v_P = \sqrt{GM/a}.

La vitesse de l’étoile est donnée par l’effet Doppler, c’est-à-dire que pour une vitesse donnée, le rapport des longueur d’onde est :

\lambda' / \lambda = 1 / (1\mp v/c)

Avec une source qui s’éloigne, la longueur d’onde est plus grande car décalée vers le rouge. Ainsi en observant l’écart de longueur d’onde, il est possible de remonter à la vitesse :

v = c|\lambda / \lambda' - 1|

Il y a un paramètre à prendre en compte, l’inclinaison de l’orbite. En effet, si nous sommes orthogonal au plan de révolution de la planète, nous ne verrons pas d’effet Doppler. Si nous nous trouvons dans le plan, nous verrons un effet Doppler maximal. La plupart du temps, nous nous trouvons entre les deux, disons avec un angle \theta, avec 0 dans le plan et \pi/2 dans le cas orthogonal, alors la vitesse radiale est donnée par cette expression :

v = v_* \cos\theta < v_*

Ainsi l’on peut remonter à la masse de la planète avec la relation suivante (avec v_E = v_* car nous n’avons pas accès à la vitesse de l’étoile, mais seulement à sa vitesse radiale, i.e. la projection de sa vitesse sur notre axe de visée) :

m_P = m_E v_E / v_P

La masse de la planète est toujours un peu sous-estimée. Notons que la précision des mesures est liées à la précision des mesures de spectroscopie, i.e. d’effet Doppler. Nous constatons simplement que nous pouvons confirmer la présence d’une planète que si nous avons observé au moins une période, ce qui est limitée par la durée de l’observation. Ensuite l’amplitude de variation de l’effet Doppler est liée au rapport de masse entre l’étoile et la planète et la période de révolution.

Ceci explique pourquoi l’on a tout d’abord observé des Jupiter chauds, puis lorsque les précisions de mesure ont augmenté, l’on a commencé à trouver des exoplanètes plus éloignées de leurs étoiles, et de moins en moins massifs, ce qui ouvrent des perspectives sur la détection de planètes semblables à la terre. Mettons-nous à la place d’une civilisation extraterrestre, qui détecterait les variations de mouvement du soleil. Les différentes perturbations sont résumées dans ce tableau :

 masse (kg)a (m)v (m/s)v_soleil (m/s)
Mercure3,00E+235,80E+1047958,315237,19E-03
Vénus5,00E+241,08E+1135145,201458,79E-02
Terre6,00E+241,50E+1129871,519758,96E-02
Mars6,00E+232,28E+132418,8586557,26E-04
Jupiter2,00E+277,78E+1113094,475771,31E+01
Saturne6,00E+261,40E+129761,4401752,93E+00
Uranus9,00E+252,90E+126782,3299833,05E-01
Neptune1,00E+264,50E+125444,6711972,72E-01
Tableau récapitulant les perturbations des planètes sur le soleil

Nous pouvons voir que la plus grande contribution est Jupiter, de l’ordre de 10 km/s, ensuite c’est Saturne, avec 3 m/s. Ensuite les autres perturbations importantes sont les géantes de glace Uranus et Neptune, qui perturbent le soleil à hauteur de 37 ou 30 cm/s.

Enfin, la perturbation due à la terre est de l’ordre de 8 cm/s. Pour l’heure les perturbations que l’on sait détecter sont de l’ordre du m/s. Pour détecter des planètes comme la terre, il faut viser des étoiles moins massives ce qui explique les cibles de Kepler : les naines rouges.

Vitesses orbitales et de libération

Pour un corps central donné, nous pouvons nous demander la vitesse minimale nécessaire pour mettre un objet en orbite. Il suffit par exemple de considérer une orbite circulaire où la vitesse radiale est nulle, de sorte que :

-G\frac{Mm}{r^2} = - r\dot\theta^2

Sachant que v = r \dot\theta, l’on arrive à l’expression suivante :

v = \sqrt{GM/r}

Pour la terre, un calcul montre que c’est 8 km/s, c’est ce que l’on appelle la première vitesse cosmique.

Considérons ensuite l’expression de l’énergie mécanique :

E_0 = 1/2 mv^2 - GMm/r

Si nous voulons qu’un corps en interaction gravitationnel puisse aller où il veut, r de valeur quelconque, donc non borné, il faut que E_0 \geq 0, pour cela il existe une vitesse minimale que l’objet doit acquérir depuis la surface d’un astre :

v = \sqrt{2GM/r}

Cette vitesse vaut 11 km/s pour la terre, et s’appelle la deuxième vitesse cosmique, c’est la vitesse que l’on doit imprimer à un corps à partir de la surface de la terre pour s’en échapper. Remarquons que c’est 41% de plus que la première vitesse cosmique.

Astres occlus

A la fin du XVIIIème siècle, John Michell et Pierre-Simon de Laplace considérèrent la possibilité de certains astres d’avoir un rayon si faible que la vitesse de libération serait supérieure à la vitesse de la lumière. Ces astres seraient sombres puisque même la lumière ne pourrait s’en échapper :

R = 2GM/c^2

Ainsi pour le soleil une application numérique montre que pour le soleil il faudrait comprimer toute sa masse dans une sphère d’un rayon de 3 km. Nous verrons par la suite que cette valeur coïncide exactement avec la valeur calculer dans une solution de la relativité générale, et la possibilité d’existence de ce genre d’astre sera considérée très sérieusement dans la seconde moitié du XXème siècle.

Orbite géostationnaire

Définition

En télécommunication, il est souvent intéressant d’envoyer un satellite en orbite dite géostationnaire, ce qui veut dire que le satellite fait une révolution durant une période correspondant à un jour. Il faut considérer un jour sidéral (quand la terre fait un tour complet sur lui-même par rapport aux étoiles lointaines) et non pas un jour solaire, car durant le jour solaire, la terre doit faire un peu plus d’un tour pour avoir le soleil exactement au même endroit, car pendant l’espace d’un jour, la terre se déplace un peu sur son orbite décalant la position du soleil d’un degré environ. Grosso modo un jour sidéral correspond à 366.25 rotations de la terre pendant un an, alors qu’il y a 365.25 jours, ce qui donne : 23h56min4s (cela correspond à 365.25/366.25 * 24h),, soit : 86164 secondes et non 86400 secondes.

Calcul des caractéristiques orbitales pour l’orbite géosynchrone

Etant donné que la vitesse orbitale est donnée par :

v = \displaystyle\sqrt{\frac{GM}{r}}

Sur l’orbite de rayon r, l’objet parcourt la circonférence 2\pi r à la vitesse v obtenant :

T = \displaystyle\frac{2\pi r}{v} = \displaystyle 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}

A mesure que le rayon de l’orbite augmente, la période orbitale augmente également, mais à la puissance 3/2.

L’orbite correspondant est donnée par :

r = \displaystyle \sqrt[3]{\frac{GM T^2}{4\pi^2}}

L’application numérique donne pour la terre r=42 224 km, soit une altitude de 35 854 km.

Si nous avions utilisé la mauvaise période, nous aurions placé le satellite à 35 931 km et aurions à corriger une dérive d’1° par jour.

Changement d’orbites ou orbites de transfert de Hohmann

En mécanique spatiale, lors d’un lancement de fusée par exemple, nous lançons un objet à la bonne vitesse orbitale une fois sorti de l’atmosphère terrestre, autour de 200 km d’altitude. Ensuite comment faisons nous pour placer l’objet par exemple en orbite de transfert géosychrone ? à 36 000 km d’altitude, ou bien pour une sonde interplanètaire, comment nous faisons pour envoyer une sonde sur une orbite qui la placera dans les parages de Mars ?

Considérons un corps en orbite elliptique autour du corps central, dont les distances extrémales sont r_1 par exemple pour le périastre (distance la plus proche de l’astre central) où la vitesse est v_1 et r_2 par exemple pour l’apoastre (distance la plus éloignée de l’astre central) où la vitesse est v_2. L’énergie mécanique s’écrit :

E = \displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GMm}{r_1} = \displaystyle\frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GMm}{r_2}

Nous pouvons également exprimer le moment cinétique qui est une constante du mouvement :

L_0 = mv_1 r_1 = mv_2 r_2

Nous obtenons une relation liant les deux vitesses v_1 = \displaystyle v_2 \frac{r_2}{r_1}, en injectant cette relation dans la relation précédente, nous obtenons :

\displaystyle v_1^2 - \frac{2GM}{r_1} = \displaystyle v_1^2 \frac{r_2^2}{r_1^2} - \frac{2GM}{r_2}

Après quelques réarrangements des termes nous obtenons :

v_1 = \displaystyle\sqrt{\frac{r_2}{r_1}\frac{2GM}{r_1 + r_2}}

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Orbite de transfert dite de Hohamnn

Lorsque nous effectuons une poussée (première poussée), nous quittons la première orbite verte et nous rejoignons l’orbite de transfert jaune. Tout en gagnant de l’altitude, la vitesse diminue jusqu’à atteindre l’altitude maximale au point opposé qui est l’orbite désirée, mais la vitesse est insuffisante pour rester sur cette orbite. Une deuxième poussée est alors nécessaire pour circulariser l’orbite.

Application à l’orbite terrestre

périastre (km)apoastre (km)v périastre (m/s)v apoastre (m/s)demi grand axe (km)période (h)
circulaire2002007806780665701,469
Hohmann2004007864763266701,503
circulaire4004007690769067701,537
Hohmann20010008027715569701,605
circulaire100010007370737073701,745
Hohmann2002200099472304174706,370
circulaire2200022000375637562837013,181
Hohmann2003585510269159824397,342510,512
circulaire35855358553079307942224,68523,934

Dans ce tableau nous voyons par exemple que la vitesse orbitale à 200 km d’altitude est de 7.8 km/s, la période orbitale est d’u peu moins d’1h30. Pour la station internationale qui vogue entre 400 et 500 km d’altitude, la période orbitale est un peu plus d’1h30. Pour envoyer un objet sur une orbite de transfert à :
– 400 km d’altitude, il faut rajouter 0.06 km/s, puis arriver à la bonne altitude la vitesse se réduit à 7.632 km/s et il faut rajouter 0.06 km/s pour circulariser l’orbite
– 35855 km (orbite géosynchrone), il faut rajouter 2.46 km/s une fois arrivé sur l’orbite, la vitesse n’est plus que de 1.598 km/s, il faut alors ajouter 1.481 km/s pour circulariser l’orbite

Application au système solaire

Dans le tableau suivant, nous considérons que le demi grand axe, et donc une vitesse moyenne pour la planète visée. Il est clair que pour envoyer une sonde, il faut prendre en compte l’excentricité de l’orbite, mais également le plan de l’orbite.

perihélie (UA)aphélie (UA)v perihelie (km/s)v aphelie (km/s)demi grand axe (UA)période (ans)
terre1129,8329,831,0001,000
Mercure0,3870,38747,9447,940,3870,241
terre Mercure0,387157,5722,280,6940,578
Vénus0,7230,72335,0835,080,7230,615
terre Vénus0,723137,7927,320,8620,800
Mars1,5231,52324,1724,171,5231,880
terre Mars11,52332,7721,521,2621,417
Jupiter5,2025,20213,0813,085,20211,865
terre Jupiter15,20238,637,433,1015,461
Saturne9,5369,5369,669,669,53629,448
terre Saturne19,53640,134,215,26812,091
Uranus19,18919,1896,816,8119,18984,058
terre Uranus119,18941,122,1410,09532,072
Neptune30,0730,075,445,4430,070164,892
terre Neptune130,0741,501,3815,53561,230
Pluton39,44539,4454,754,7539,445247,735
terre Pluton139,44541,661,0620,22390,939

Nous voyons par exemple ici que pour aller dans le système solaire interne ou externe, il faut dépenser beaucoup d’énergie, d’où la difficulté de la mission bepi colombo par exemple.

Pour des missions vers Mars il faut gagner 2.95 km/s, arrivé à l’orbite, il faut regagner 2.65 km/s. Mais il y a également une fenêtre de tir à respecter. En effet, la période de l’orbite de transfert est de 1.417 années, ce qui veut dire que la demi période est de 0.7 année, soit 8 mois et demi. Ceci veut dire que la fenêtre de tir s’ouvre quand Mars est à 8.5 mois du point à l’opposé de l’orbite de la terre, au moment du lancement, ce qui veut dire que l’angle Terre-Soleil-Mars est de 135°, ou bien dit autrement, il faut que Mars soit à 44° du point opposé où se trouve la terre.