Intégration

 

Introduction :

 

Bonjour, nous allons parler d’intégration et d’intégrales aujourd’hui. Nous vous conseillons vivement, au préalable, d’avoir consulté la page « Dérivation ».

Nous allons découper cette rubrique sur l’intégration en trois parties. Dans la première partie, nous discuterons des intégrales simples, des primitives usuelles ainsi que de calculs d’aires sous des courbes de fonctions. Dans la seconde, nous verrons les intégrales multiples (doubles et triples), l’intégration par partie, et l’intégration avec changement de variables. Dans la troisième et dernière partie, nous aborderons les notions d’intégrales curvilignes et d’intégrales impropres.

Commençons par contextualiser le concept d’un point de vue historique. L’histoire des mathématique elle même doit beaucoup au concept d’intégration, les premières méthodes intégrales datent de la Grèce antique. Bien qu’il ait fallut attendre le calcul infinitésimal pour qu’une première formalisation émerge, les athéniens évaluèrent les grandeurs de l’espace et en démontrèrent implicitement l’existence. Cependant, ce n’est qu’au XVII ème siècle que naissent les méthodes générales de « calcul de l’infini ». Leibniz ainsi que Newton fûrent à l’origine du fondement de la théorie de l’intégration. Cette notion de Leibniz/Newton est perpétuée aujourd’hui, et qui d’ailleurs lie intégration et dérivation dans le calcul différentiel/infinitésimal.

L’intégration, est le fait de calculer une intégrale. L’intégration est un outil fondamental, utilisé entre autres, pour la mesure de grandeurs telles que la longueur d’une courbe, son aire, son volume, son flux, etc… Le signe ou symbole, utilisé pour représenter une intégrale est . On l’appelle signe « somme », mais plus souvent « signe d’intégration » ou « signe intégral » (pour ne pas être confondu avec le signe sigma majuscule) et fût introduit par Leibniz. Ce signe peut être considéré comme une infinité de sommes, il est similaire au signe Σ (somme sigma), à la différence près que le signe d’intégration, sous entend un calcul infinitésimal, c’est à dire, une infinité de sommes, et ces sommes étant infiniment petites, tandis que le signe somme sigma fait souvent référence à une somme finie de n termes.

 

Généralités sur les intégrales :

Prenons une fonction réelle f, continue et qui prend ses valeurs dans un segment I = [a,b], alors , l’intégrale de f sur I est notée :  . Ceci est le calcul de l’aire d’une surface délimitée par la représentation graphique de f. Le dx est simplement une notation pour spécifier qu’il s’agit du calcul d’une intégrale. Le d de différentielle signifie qu’on se base sur un delta infinitésimal, et le x, qu’on intègre par rapport à x. Autrement dit, c’est comme si l’on choisissait de prendre un dx, arbitrairement petit, entre a et b, pour ensuite faire une somme arbitrairement grande de ces dx afin de calculer l’aire sous la courbe.

L’aire des surfaces calculées est toujours de signe positif, car une aire négative n’a pas de sens. On peut néanmoins traiter les fonctions négatives, en donnant un signe négatif aux portions situées sous l’axe des abscisses. On peut appeler f  la partie négative de f. On définit ensuite l’intégrale de f selon . Ici, nous avons remplacer les bornes de l’intervalle [a,b] par x. Exemple sur le schéma ci dessous, ou les zones bleues (partie positive) sont au dessus de l’axe des x et la zone jaune (partie négative) au dessous.

Le but du calcul intégral est bien évidemment, de calculer des intégrales, et pour cela, la principale méthode passe par la « primitive » d’une fonction. La primitive est l’opération, qui à partir d’une fonction f (petit f), donne une fonction F (grand f), dérivable et dont la dérivée est f : F'(x) = f(x). Nous pouvons montrer que toute fonction continue sur un segment [a,b], admet des primitives, et que l’intégrale de a à b est égale F(b) – F(a), et ceci, indépendamment de la primitive choisie de telle sorte que : {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)=\left[F(x)\right]_{a}^{b}}.

Une primitive est en quelque sorte la réciproque de la dérivée, dans le sens ou, si on décide de dériver une fonction, puis de la primitiver, nous obtiendrons de nouveau la fonction elle même. Par exemple, si on dérive f(x), on trouve f'(x), si à présent, nous primitivons f'(x), nous retrouvons f(x). Nous pouvons aussi dire que : Si F est une primitive d’une fonction intégrable f : [a,b] dans R, alors :

{\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x.}

Tout comme les dérivées, il existe des primitives usuelles, et qui sont tout autant importantes à connaître que ces dernières pour les mathématiciens et scientifiques :

Nous pouvons remarquer quelque chose dans la colonne de la primitive de chaque fonction, l’ajout d’une constante. En réalité, si une fonction admet une primitive sur un intervalle, elle en admet une infinité, qui diffèrent d’une constante c (qu’on peut aussi désigner par k, ou λ), qu’on appelle la constante d’intégration. Si F1 et F2 sont deux primitives de f, alors il existe un scalaire tel que F1 = F2 + c . Notons également que les termes ω (oméga minuscule), φ (phi minuscule) et n sont aussi des constantes.

Nous verrons plus en détails dans les chapitres adéquats, comment nous arrivons à ces résultats et comment nous pouvons les prouver.

Nous allons prendre un exemple simple, et intégrer une fonction, la fonction f(x) = x³ sur l’intervalle [a,b].

Qu’est ce que cela veut dire d’intégrer cette fonction sur l’intervalle [1,3] ? Il s’agit de calculer l’aire sous la courbe de cette fonction entre 1 et 3. Voyons ce que cela donne graphiquement :

Petit exercice donc. Écrivons l’intégrale de cette fonction à cet intervalle : . Comment allons nous procéder ? Il faut s’en tenir au tableau des primitives usuelles afin d’intégrer cette fonction. Selon ce dernier, voici la forme générique du calcul :

+ C avec n = 3.

Par conséquent .

A présent, si on applique l’énoncé {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)=\left[F(x)\right]_{a}^{b}}

Nous avons : 

Donc, + C

Si les intervalles étaient en centimètres, que nous voulions connaître l’aire sous la courbe de la fonction f(x) = x³ sur l’intervalle [1,3], nous aurions donc trouvé que l’aire de cette surface serait 20cm².

Tout comme les opérations de fonctions sur les dérivées, il existe un tableau d’opérations sur les primitives à connaître également :

  • u et v sont des fonctions.
  • C est un scalaire, et k, est la constante d’intégration.
  • Le signe rond est le signe de composition de fonctions. La composition de fonction est un procédé qui consiste à, à partir de deux fonctions, en créer une nouvelle.On définit une composée de f par g (deux fonctions quelconques), par  Nous voyons cette notion et ses propriétés plus en détails ici.
  • Encore une fois, u et v ne doivent pas être confondus avec des vecteurs.

 

Il existe des propriétés très importantes concernant les intégrales, la première que nous devons voir impérativement, est la relation de Chasles.

Soient f, une fonction continue sur un intervalle I, et a, b et c, trois réels de I.

  •  

 

  • Le premier point exprime une notion tout à fait intuitive, si nous prenons comme bornes d’intégration, l’intervalle [a,a], alors, l’aire sous la courbe, ou le résultat de l’intégrale, sera nul.
  • Le deuxième point signifie que le résultat d’une intégrale qui exprime la valeur de la grandeur de l’aire sous la courbe est toujours positive, quelque soit le signe devant l’intégrale.
  • Le troisième point est également intuitif, dans la même lignée que l’est le premier. Il dit que, si on prend une fonction continue, d’intervalle [a,c], et un point b dans cet intervalle, alors l’intégrale de a à c, est égale à l’intégrale de a à b + l’intégrale de b à c.

PS : La relation de Chasles est une relation importante dans les mathématiques, elle s’applique dans d’autre domaines tels que la géométrie vectorielle, l’analyse complexe, dans le calcul des angles orientés, etc…

La seconde propriété est une propriété aussi fondamentale que pratique, il s’agit de la linéarité.

Prenons tout d’abord l’exemple d’une fonction f, continue, avec a et b dans I.

  • {\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\int _{a}^{b}\lambda \,f(x)\,\mathrm {d} x=\lambda \,\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}

Il est dit ici, que si nous intégrons le produit d’une fonction et une constante λ, il est possible de sortir cette constante de l’intégrale. Cette propriété est très pratique, car elle nous donne la possibilité de calculer l’intégrale de manière indépendante, et ensuite, simplement effectuer le produit du résultat de l’intégrale avec la constante.

Deuxième exemple de linéarité. Prenons cette fois deux fonctions, f et g, également continues sur I, avec deux points a et b dans I.

Ceci est une sorte d’extension de la propriété de linéarité appliquée à deux fonctions. Nous pouvons constater que, lorsque l’on intègre la somme de deux fonctions, il est possible d’intégrer indépendamment la somme du résultat de l’intégrale des deux fonctions.

Une autre propriété importante, et qui se généralise à toute fonction f et g, continue sur I, avec a et b deux réels de I :

  • Si f(x) ≤ g(x) sur [a, b], alors

 

 

Intégrales multiples :

Intégrales doubles :

Quelle est la différence entre une intégrale simple et une intégrale double ? Le rôle principale du calcul d’une intégrale simple est le fait de calculer l’aire sous la courbe sur un intervalle défini (ou non) d’une fonction. Les intégrales doubles calculent principalement des volumes.

On sait que pour un calcul d’intégrale simple, on écrit {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}, et on sait également que pour une courbe quelconque, chaque point de x, sur l’intervalle [a;b] ou l’on souhaite calculer l’aire sous la courbe, est définit par y = f(x). Maintenant, qu’en est il d’une intégrale double ? On va définir une intégrale double, tel que z = f(x,y), ce qui veut dire, qu’en connaissant la valeur de x et y de la fonction dans le plan, on peut projeter et ainsi  connaître la valeur de z. Imaginons que nous ayons une feuille de papier, ondulée et en suspension dans l’air. Nous décidons de définir sur un repère orthonormé, les bornes de cette feuille. Nous décidons arbitrairement qu’une des arêtes sera l’origine du repère. On décide que le domaine de définition du plan, projeté par l’ombre suspendue de la feuille au dessus du repère, sera x[0;a] et y[0;b]. Traçons a présent les deux segments, projections respectives de x et de y au point a et b, de manière à avoir un rectangle, et donc, un plan (le plan n’est autre que l’ombre projeté sur le repère, qui est un rectangle).

Maintenant, choisissons arbitrairement un point sur y, entre 0 et b, et projetons un segment jusqu’à ce qu’il coupe le segment de la projection de a des x. De ce fait, nous nous trouverons dans une situation similaire à un calcul d’intégrale simple, on fixe un y, et on garde un x variable.

On voit bien que se positionnant selon l’axe y, on a a faire à une intégrale simple. Fixons maintenant une valeur de x sur cette « lamelle », et construisons y un rectangle, de base dx(infinitésimale). A présent, calculons l’aire de ce rectangle.  Sa hauteur est f(x,y) et sa base dx, donc, son aire est A = f(x,y)dx.

Pour calculer l’aire de toute la « lamelle » entre 0 et a maintenant ? Nous pouvons dire qu’il existe une infinité de rectangle bleus, c’est à dire d’aire A = f(x,y)dx, donc, on peut définir l’intégrale suivante : . Maintenant, qu’allons nous faire ? En fait, nous allons à présent donner une épaisseur à cette « lamelle » orange, une épaisseur dy.

Le volume de cette fine « lamelle » est . A présent, et pour finir, afin de calculer le volume totale se trouvant sous la feuille, nous allons additionner un nombre infini de ces lamelles, entre l’intervalle 0 et b. Donc, On définit le calcul de l’intégrale du volume de ce solide comme : .

Donnons à présent des définitions plus formelles aux doubles intégrales. Soit une fonction z = f(x,y) définie sur D, dans le plan x,y et dans lequel z est continue sur D. En divisant le domaine D en n carrés, et en nommant ΔAk chaque élément de l’aire des carrés inclus dans D, on a ΔAk = Δxk × Δyk, avec k, variant de 1 à n. En d’autres termes, ΔAk représente le nombres n de carrés d’aire du plan D, de surfaces infinitésimales. On va prendre pour chaque carré, Ak, son image en z, et en faisant la somme des k qui varient de 1 à n termes. On obtient ce qu’on appelle une somme de Riemann*, et qui correspond à une approximation du volume recherché :

Si on fait en sorte d’augmenter le nombre de divisions du domaine D (c’est à dire le nombre de n, carrés d’aire) jusqu’à ce qu’ils tendent vers l’infini, nous avons :

.

Si cette somme existe, on sait qu’une somme infinie n’est autre qu’une intégrale, on peut donc dire qu’elle est l’intégrale double de la fonction f(x,y) dans le domaine D, et sera notée:

Cela fait beaucoup de définitions d’un coup, comment pouvons nous interpréter ces dernières de façon simple ? On peut dire ceci : Soit ΔAk un élément de l’aire, sur le plan xy, et soit la fonction f(x,y), la hauteur de la fonction sur ce point. Le produit f(x,y).ΔAk, représente en fait le volume du prisme droit, inclus en ΔAk. Si on fait la somme du volume des n prismes, on obtient une approximation du volume du solide situé entre la fonction f(x,y) et le plan xy. Lorsque l’on fait cette somme de prismes infinis divisées en parties infinitésimales, l’erreur d’approche tend vers 0, ce qui veut dire que l’ont peut définir ce calcul comme ayant la précision que l’on veut.

Les intégrales doubles ont également des propriétés importantes, et, par chance, elles sont issues de celles d’intégrales simples.

  •                  Ici, c’est la mise en facteur, c’est à dire, sortir une constante de l’intégrale. Ce n’est pas sans rappeler la même propriété concernant les intégrales simples.

 

  •                   Ceci exprime la somme ou la soustraction de deux intégrales de fonctions. Il est possible de les isoler, calculer l’intégrale de chaque fonction indépendamment de l’autre, et ensuite de calculer la sommes de ces dernières.

 

  • Si on a f(x,y) ≥ g(x,y) sur le domaine D, alors on a :                                                                                                                                                   Ceci exprime logiquement une propriété intuitive.

 

  • Cette propriété est en quelque sorte une extension de la relation de Chasles pour les intégrales doubles.

 

Une dernière propriété importante des intégrales doubles est appelée théorème de Fubini. Parfois, les calculs d’intégrales doubles peuvent être compliqués, avec le théorème de Fubini, on peut exprimer une intégrale double en tant qu’intégrale itérée, c’est à dire, intégrer une valeur après l’autre, comme nous l’avons fait plus haut, dans l’application que nous avons accompagné de schémas et d’explications.

Le théorème de Fubini est le suivant : Supposons une fonction continue sur deux variables dans le rectangle [a,b] × [c,d].  On utilise la notation ou x reste fixé, et nous allons dire que f(x,y) est intégré par rapport à y, et y allant de c à d. Ce procédé est appelé une intégration partielle par rapport à y. (attention, ne pas confondre avec une intégration par partie). est une fonction qui dépend de la valeur de x, on peut donc, et nous avons le droit, de définir une fonction de x tel que :

Maintenant, et logiquement, si on intègre la fonction par rapport à x, on obtient :

.                                                                            Ceci est appelé intégrable itérée, en général, les parenthèses n’apparaissent pas, mais nous les avons mise ici pour faciliter la transition. Si on réécris cette formule plus simplement, on a :

                                                                  Nous avons intégré d’abord par rapport à y, et ensuite par rapport à x.

Il existe un terme plus général, qui exprime ce théorème, et qui résume bien les étapes précédentes. Si f est continue dans un rectangle R = {( x , y) | a x b , c y d}, alors :

 

Petit exercice d’application :

On va calculer l’intégrale double suivante :

La première étape est de se souvenir du théorème de Fubini, nous allons donc considérer x constant. Nous primitivons donc y, mais sans oublier d’inclure x, et cela donne :

Maintenant, en intégrant par rapport à x :

Donc, en réécrivant l’expression initiale, on a cette égalité :

 

 

 

Nous allons finir cette première partie sur une notion qui n’est pas forcément nécessaire en physique, mais qui peut être parfois utile, la valeur moyenne d’une fonction. Pour toute fonction continue, ou seulement continue par morceaux (nous verrons ce que cela veut dire algébriquement), sur un segment [a,b], avec a < b, la valeur moyenne de f sur [a,b] est le réel m défini par :

Cette notion généralise celle d’une moyenne d’un nombre fini de réels, l’applique à un nombre infini de valeurs prises par une fonction intégrable.

*Une somme de Riemann est une somme finie approchant des intégrales. Elles permettent de calculer numériquement des aires sous la courbe, évidemment, ce n’est pas infiniment précis, mais cela permet de d’approximer certaines valeurs. (Nous en parlerons probablement plus en détails lorsque nous aborderons les séries de Riemann dans le chapitre sur les séries).