Logarithme et exponentielle

Bonjour, aujourd’hui nous allons aborder deux fonctions incontournables dans le domaine des mathématiques et de la physique, la fonction logarithme et la fonction exponentielle.

Le logarithme fut découvert au XVIIème siècle par John Napier, qui inventa les premières tables logarithmiques qui servirent à faciliter les calculs astronomiques ainsi que les calculs avec produits et quotients.

Avant de présenter ces deux fonctions, nous allons parler du nombre e, qu’on appelle la constante de Néper, ou le nombre d’Euler. Ce nombre est ce qu’on appelle la base des logarithme naturels. Tout d’abord, on peut affirmer que e est, tout comme pi, un nombre irrationnel, Leonhard Euler démontra cette affirmation au XVIIIème siècle.

Selon Hervé Lehning, Euler aurait eu l’intuition géniale de définir d’écrire l’exponentielle de base a comme un polynôme de l’exposant, de sorte que :a^{x}=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+\cdots

Le résultat final qu’il trouva s’écrit de cette manière : {\mathrm e}=1+{\dfrac {1}{1!}}+{\dfrac {1}{2!}}+\cdots +{\dfrac {1}{k!}}+\cdots

Nous ne démontrerons et ne décomposerons en revanche pas le nombre d’Euler de la fonction exponentielle ici, nous verrons cela dans le chapitre dédié aux séries entières.

 

La fonction exponentielle : 

Qu’est ce que la fonction exponentielle ? La fonction exponentielle, qu’on note exp, est la fonction qui est sa propre dérivée et qui vaut 1 lorsque x = 0. On note cette fonction en 1, qu’on appelle e, et qui vaut 2.71828… La notation la plus pertinente est telle que : {\displaystyle \forall x\quad \exp(x)=\mathrm {e} ^{x}}.

La fonction exponentielle est unique, et remplie quelques propriétés qui lui sont propres : Elle est la seule fonction continue sur R qui transforme une somme en produit et qui prend comme valeur e en 1.

Il y a plusieurs manières de définir la fonction exponentielle, nous allons essayer de présenter ces manières le plus simplement possible, cependant, avant tout, regardons sur un graphe comment se comporte cette fonction exponentielle :

Parlons tout d’abord des limites, que pouvons nous dire, ou du moins, constater ? Lorsque x tend vers -∞, la fonction exponentielle tend vers 0, tandis que la fonction tend vers +∞ lorsque x tend également vers +∞. Autrement dit : on peut écrire ceci : \lim _{{x\to -\infty }}\exp(x)=0{\text{ et }}\lim _{{x\to +\infty }}\exp(x)=+\infty .

Ce n’est pas tout, la fonction exponentielle tend vers +∞ plus rapidement que n’importe quelle fonction polynomiale lorsque sa variable (x) tend vers +∞, de telle sorte que : \lim _{{x\to +\infty }}{\frac {\exp(x)}{x^{n}}}=+\infty . Ceci est une forme indéterminée, de forme +∞/+∞, on aurait tendance à dire que la limite n’est pas définissable, pourtant elle l’est. Il est possible de démontrer par comparaison que la fonction exponentielle « gagne » sur n’importe quelle fonction polynomiale, c’est à dire que sa limite l’emporte sur la limite d’autres fonctions.

Un exemple, calculons lim x –> +∞ (exp(x) + x)/(exp(x) – x²). Mais, ceci ne ressemble pas à une propriété que nous connaissons, alors nous allons modifier les termes, pour que nous puissions étudier cette expression avec une forme plus familière. Pour cela, mettons exp(x) en facteur en haut et en bas et divisons par exp(x). Donc (exp(x)(1 + x/exp(x))/(exp(x)(1 – x²/exp(x)). Les deux exp(x) s’annulent de telle sorte que (exp(x)(1 + x/exp(x))/(exp(x)(1 – x²/exp(x)). Il nous reste (1 + x/exp(x))/(1 – x²/exp(x)). Quel est la limite de x/exp(x) ? On sait que \lim _{{x\to +\infty }}{\frac {\exp(x)}{x^{n}}}=+\infty . Donc, si cela est vrai pour n’importe quelle fonction polynomiale, on peut en déduire que lim x–> +∞ exp(x)/x est également +∞. On sait également que l’exponentielle l’emporte toujours sur n’importe quelle fonction polynomiale, donc lim x–> +∞ x/exp(x) est 0. Comme on l’a vu plus haut, élever x au carré ne change rien, l’exponentielle l’emporte également, donc la limite de  x²/exp(x) est également 0. On peut en conclure que lim x –> +∞ (1 + x/exp(x))/(1 – x²/exp(x)) ou (exp(x) + x)/(exp(x) – x²) est égale à 1.

Il est possible de définir la fonction exponentielle de 4 manières différentes (nous n’en verrons ici que deux).  Par une équation différentielle, à partir de la fonction logarithme népérien, dont elle est la bijection réciproque, par sa caractérisation algébrique, et à travers la méthode des séries.

Nous n’avons pas encore vu la fonction logarithme, c’est pourquoi nous poserons quelques affirmations, mais discuterons des corrélations entre ces deux fonctions qu’à la fin de ce chapitre.

La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable de ℝ dans ℝ* qui transforme une somme en produit, en vérifiant l’équation suivante : \forall u,v\in \mathbb{R} ,~f(u+v)=f(u)f(v), autrement dit, pour tous réels x et yex + y = ex × ey. Exemple, pour tout réel a, on a exp(a + a) = exp(a) × exp(a), d’ou exp(2a) = (exp(a))². Cela nous amène aux propriétés de la fonction exponentielle, qui sont les suivantes :

  • ln(ex) = xen effet, la fonction exponentielle et le logarithme népérien étant bijections réciproques l’une de l’autre, lorsqu’elles sont « combinées », s’annulent.
  • eln(y) = yPour les mêmes raisons que la propriété ci-dessus.
  • ex = y ⇔ x = ln(y).

On peut déduire deux autres propriétés qui sont conséquences de la propriété algébrique fondamentalement de l’exponentielle ( ex + y = exey ), à savoir :

  • Pour tout réel a et b, {\displaystyle \exp(a-b)={\frac {\exp a}{\exp b}}}.
  • Pour tout réel et tout entier relatif .
  • Pour tout réel , exp( -x) = 1/exp(x)
  • Exp(a) = exp(b) si a = b.
  • Exp(a) <  exp(b) si a < b.
  • Pour tout réel , exp(x) est strictement positif si exp(x) > 0.

Toutes ces propriétés sont très importantes, elles doivent être à retenir pour ceux voulant comprendre plus aisément la physique, car la fonction exponentielle y est utilisée très souvent.

Parlons à présent de la dérivabilité de cette fonction. Il s’avère que la fonction exponentielle est très particulière et unique, en effet, elle est la seule fonction étant égale à sa dérivée. Autrement dit, exp'(x) = exp(x). Par exemple, si on dérive exp(x) = 3x + 2exp(x), on aura exp'(x) = 3 + 2 exp(x). Si on dérive encore, on aura exp »(x) = 2 exp(x).

A présent, comment dériver la fonction exponentielle non pas par rapport à une variable x, mais par rapport à une autre fonction ? Par exemple, prenons une fonction quelconque u, comment calculer exp'(u) ? Pour cela, il faut se baser sur une des propriétés de l’exponentielle : de telle sorte que , par exemple, {\displaystyle f:x\mapsto e^{x^{2}+2x+1}}, une fois dérivée, donne {\displaystyle x\in I,~f'(x)=2(x+1)\cdot e^{x^{2}+2x+1}}. En effet, si on dérive x², on obtient 2x, si on dérive 2x, on a 2, si on dérive 1 (une constante) on trouve 0. 

A présent, si on tombe quelque chose de la forme g(x) = x exp(3x) ? Comment pouvons nous dériver cela ? Eh bien, il faut se rappeler de la formule du produit de deux fonctions u et v que l’on veut dériver, tel que u × v = u’v + uv’. Donc, u = x, et v = exp(3x). Si on applique la formule, on aura donc g'(x) = 1 × exp(3x) + x × 3 × exp(3x)Si on simplifie ceci, en mettant exp(3x) en facteur, on a g'(x) = exp(3x)(3x + 1). 

En ce qui concerne les primitives de la fonction exponentielle maintenant. Nous savons que la dérivée de , nous pouvons deviner de manière analogue, ce que sera la primitive de u’exp(u), si f(x) = u’exp(u), alors F(x) = exp(u), tout simplement. En revanche, trouver la primitive d’une fonction exponentielle est un peu compliqué que de trouver sa dérivée, car il faut parfois trouver un coefficient qui multiplie l’exponentielle. Ce qu’il faut absolument savoir, c’est que lorsque qu’une fonction est de la forme exp(ax + b), l’une de ses primitive sera (1/a)exp(ax + b). Par exemple :

Si on prend f(x) = exp(x² + 1), que vaut F(x) ? Si on suit la formule F(x) = (1/a) × exp(ax + b) on a (1/1) × exp(1 × x² + 1), donc F(x) = exp(x² + 1) et donc f(x) = F(x).

Compliquons un peu les choses, si f(x) = 5x² + exp(2x + 5), que vaut F(x) ?SI on applique la formule, on a (1/2)exp(2x + 5), on dérive également 5x², et on a F(x) = 5x³/3 + 1/2 × exp(2x + 5).

Pour plus d’explications sur la fonction exponentielle et ses propriétés, voici une playlist détaillée concernant cette fonction.

 

 

Le Logarithme :

La définition formelle du logarithme est la suivante : Le logarithme est la base b d’un nombre réel strictement positif est la puissance à laquelle il faut élever la base b pour obtenir ce nombre.  Un exemple : le logarithme de 1000 en base 10 est 3, car : 10 × 10 × 10 = 10^3. On écrit ceci : log10(1000)= 3.

 

Propriétés :

Le logarithme, au delà d’être une fonction très utile et unique, est également un outil très puissant. Par exemple, il possède les propriétés de transformer des opérations :

  • un produit en somme :
  • un quotient en différence :
  • une puissance en produit :

Il existe trois logarithme remarquable : Le logarithme décimal (de base 10), le logarithme binaire (de base 2), et le logarithme naturel ou népérien (de base e, le plus utilisé, dont nous détaillerons les propriétés de manière exhaustive).

Voici un graphe des trois types de fonctions logarithme :

 

Le domaine de définition de la fonction logarithme est car la fonction n’est pas définie en 0 (sa limite tendant vers -∞) ni avant 0.

Le logarithme a également d’autres propriétés, qu’on peut généraliser à n’importe quelle base :

  • . Par exemple, log10(10) = 1 ou encore ln(exp) = 1
  • , valable pour n’importe quelle base. 
  •  pour tout entier naturel n, puis pour tout entier relatif n.
  •  pour tout rationnel r.

 

Le logarithme décimal est le plus pratique dans les calculs numériques manuels, il est noté log ou log10. Il est utilisé en physique et en chimie, respectivement pour le calcul de décibels et du pH. Il indique à quelle puissance il faut élever 10 pour retomber sur le nombre de départ. En d’autres termes, l’image d’un nombre par log, est l’entier relatif auquel il faut élever 10 pour obtenir l’antécédent. Exemples en base 10 :

On note {\displaystyle \log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}}, ln(x) étant le logarithme népérien que nous allons voir maintenant .

 

Le logarithme népérien, ou logarithme naturel, se note ln(). Le logarithme népérien est un cas particulier de la fonction logarithme qui transforme des produits en sommes. Le logarithme népérien d’un réel strictement positif a, est en réalité l’unique solution de l’équation ex(x) = a. Par exemple, l’unique solution de exp(3), est x = ln(3). Voici le schéma sur un graphe de la fonction logarithme népérien :

La fonction logarithme népérien est de base e, qui est la base des logarithme naturels, qu’on appelle aussi nombre d’Euler ou constante de Néper.  Cette base détermine que ln(e) = 1. Elle est également définit comme la puissance à laquelle il faut élever e pour obtenir x.

Quelles sont les limites ? la limite quand x tend vers +∞ est +∞. A l’inverse de la fonction exponentielle, la fonction logarithme tend TRÈS lentement vers +∞. Lorsque x tend vers 0, la limite tend vers -∞. Qu’en est t-il lorsque x tend vers -∞ ? Rien du tout, la fonction logarithme n’est définie que sur ]0 ; +∞[ dans R.

Nous avons dit plus haut que la fonction logarithme népérien, transforme un produit en somme, nous allons voir que les autres propriétés, qui sont propres à cette fonction, sont analogues à celles propres à la fonctions exponentielle :

  • ln(1) = 0.
  • ln (x × y) = ln(x) + ln(y). Par exemple, par souci de simplicité, si on veut calculer 80 × 126, on peut utiliser la fonction ln, de telle sorte que ln(80 × 126) devient ln(80) + ln(126).
  • ln(1/x) = – ln(x).
  • ln(x/y) = lx(x) – ln(y).
  • ln√x= 1/2ln(x).
  • ln(x)^n= n × ln(x), avec n entier relatif.
  • ln(x) = ln(y) si x = y.
  • ln(x) < ln(y) si x < y.

Comment se dérive le logarithme népérien ? La dérivée de ln(x) = 1/x, pourquoi ? Grace aux propriétés de la fonction exponentielle, on peut démontrer cette affirmation. On sait que exp(ln(x)) = x et (exp(x))’ = exp(x). On sait aussi que f(u(x))’ = u'(x) × f'(u(x)).   Posons (exp(ln(x)))’ = (x)’ = 1. Remplaçons maintenant : u'(x) × exp(u(x)) = 1. Donc, (ln(x))’ × exp(ln(x)) = 1. On en déduit que (ln(x))’ × x = 1. Par conséquent, (ln(x))’ = 1/x.

il existe un autre moyen possible de démontrer que ln'(x) = lim x –> 0, (ln(x + x0) – ln(x))/x0 = 1/x, qui s’appuie sur les propriétés de la définition par série de Taylor de la fonction exponentielle. Voici la vidéo qui démontre étape par étape ce procédé.

Il est intéressant de savoir démontrer les étapes de dérivation du logarithme népérien, mais pas nécessaire. Il suffit de connaître le résultat. Quelques exemples :

f(x) = ln(x)/x. Que vaut f'(x) ? Il faut se souvenir, comme pour beaucoup d’autres application, les propriétés de dérivation de fonctions usuelles, en l »occurrence, on a une fonction de la forme u/v, qui, si l’on veut dériver, donner u’v – uv’/v². Si on applique la formule, on aura f'(x) = (1/x × x – ln(x) × 1)/x², donc f'(x) = 1 – ln(x)/x².

Pour ce qui est de dériver ln(u), c’est un peu compliqué, il s’agit d’un type de dérivée, qu’on appelle la dérivée logarithmique, pour cela, cette notion est abordée dans la seconde partie du chapitre sur les dérivées.

 

Qu’en est il des primitives de ln(x) ? Malheureusement, la fonction logarithme népérien n’est pas aussi simple à définir et à décomposer que l’exponentielle. Par exemple, démontrer sa nature à travers les séries de Taylor est possible pour la fonction exponentielle, mais pas pour le logarithme, car le résultat est divergent, nous verrons cela dans le chapitre sur les séries. Pour ce qui est des primitives de ln(x), elles existent, mais sont démontrable à travers l’intégration par partie, que nous verrons dans la seconde partie du chapitre des intégrales (la notion étant plus compliquée). Ce qu’il faut savoir, c’est qu’un primitive de ln(x) = xln(x) – x + C.

 

Revenons sur les limites de la fonction logarithme. Nous allons étudier, comme nous l’avons fait pour la fonction exponentielle, les croissances comparées. On sait que ln(x) est strictement croissante sur ]0;+∞[  et tend vers +∞ quand x tend vers +∞, cependant, elle croit lentement. Par conséquent, que peut on intuitivement deviner de \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)}x ?

La fonction ln(x) devient négligeable devant x, pourquoi ? Nous allons expliquer ceci de cette manière, lisez attentivement car ce pourrait être légèrement long et compliqué. Prenons un t > 1. Si t > 1, alors t > √t . Par conséquent, 1/t > 1/√t. Jusqu’ici, pas bien compliqué. Maintenant, on sait que 1/t, est en fait la dérivée de ln(x). Qu’allons nous faire maintenant ? Si nous primitivons 1/t, cela donne l’intégrale de 1 à x, de dt/t. Mais, il faut aussi primitiver l’autre valeur. On sait que qu’une primitive de la forme 1/√x = 2√x + C.  Or, il nous suffit retirer la constante, nous n’en avons pas besoin, ici, nous essayons de délimiter par des bornes, afin de démontrer la croissance comparée du logarithme, de plus, nous cherchons les limites en +∞, ajouter ou retirer une constante ne changera pas grand chose. On sait que ln(x) = ∫dt/t. On sait aussi que ln(x) > 0, mais ln(x) < ∫dt/√t (nous venons de le démontrer). Donc, on peut dire que 0 < ln(x) < 2√x. A présent, divisons de part et d’autre par « x », de telle sorte que 0 < ln(x)/x < 2√x/x. Mais, on sait que que x tend plus rapidement vers +∞ que √x,  donc la limite de 2√x/x lorsque x tend vers +∞ est 0. Par conséquent, et par encadrement, nous venons de prouver que \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)}x = 0. On peut même extrapoler pour démontrer une autre propriété de croissance comparée de ln(x). On sait que x < x^n avec n > 0. Donc lim x –> +∞ ln(x)/x^n = 0. 

Qu’en est t-il de cette limite : {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)} qui est une autre propriété de croissance comparée de ln(x)? Ceci est une forme indéterminée du type ∞ × ∞, mais e la même manière que précédemment, on sait que x tend vers +∞ plus vite que ln(x). Si x tend vers 0, et croit plus vite que ln(x), alors {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)} = 0. De manière analogue, on peut dire que lim x –> 0 x^n × ln(x) = 0.

Voici les propriétés importantes concernant les relations entre le logarithme népérien et l’exponentielle :

  • x = ln(a) avec a > 0, si a = exp(x).
  • ln(exp) = 1.
  • ln(1/e) = -1.
  • Pour tout x, ln(exp(x)) = x.
  • Pour tout x strictement positif, exp(ln(x)) = x.

En effet, et nous terminerons ce chapitre en disant que le logarithme népérien est ce qu’on appelle la bijection réciproque de l’exponentielle, qu’on peut définir également comme étant, « l’application inverse », que l’on peut noter  » ƒ−1 « . Pour en savoir plus sur les bijections réciproques et autres applications, vous pouvez consulter le chapitre sur les « Ensembles et applications ».