Lois fondamentales du mouvement

Bonjour, dans ce chapitre très important, qui est aussi le premier à consulter dans le cadre de la mécanique, nous allons voir les trois lois fondamentales d’Isaac Newton, qui sont les principes de base de la mécanique classique et du mouvement des corps. De ces lois générales du mouvement fondées en particulier sur le principe de relativité des mouvements, Newton ajouta la loi universelle de la gravitation permettant d’expliquer aussi bien la chute des corps que les mouvements des planètes autour du soleil.

L’énoncé de la première loi est celui-ci : Tout corps, étant dans un état de repos, ou de mouvement rectiligne uniforme, restera dans cet état, à moins que quelque force n’agisse sur lui et ne le contraigne à changer d’état.

Dans un langage plus technique : Si aucune force ne s’applique sur un corps, ou si la somme des forces s’appliquant sur lui est égale au vecteur nul, la norme et la direction de sa vitesse sont constantes. Cela va à l’encontre de ce que pensait Aristote dans l’antiquité, qui disait qu’il était nécessaire d’appliquer une force continue sur un corps pour que ce dernier maintienne une vitesse constante (ce qui est vrai dans le cadre d’un système ou les forces de frottement ou gravitationnelles agissent, mais faux dans le vide).

Dans la description de cet énoncé, Newton considère le mouvement dans un espace mathématique abstrait, qu’il définit comme absolu, et qui simplifie un maximum la compréhension. Plus tard, la notion de cet espace donnera naissance à ce qu’on appelle, un référentiel galiléen, qui marquera petit à petit la fin de cette vision d’espace mathématique absolu et qui permettra une reformulation plus moderne de l’énoncé de la première loi : Dans un référentiel galiléen, le vecteur vitesse du centre d’inertie d’un système est constant, si et seulement si, la somme des vecteurs forces qui s’exercent sur le système est un vecteur nul.

Qu’est ce qu’un référentiel en physique ? C’est simplement un repère, un ensemble de point solides, fixes entres eux, qui déterminent une position ou un mouvement dans l’espace. Par exemple, le référentiel géocentrique, est le référentiel selon l’observation d’un humain sur Terre. Notre référentiel nous semble statique, et pourtant, la Terre tourne autour d’elle même, et également autour du soleil, notre référentiel n’est donc pas le même que le référentiel héliocentrique par exemple (référentiel du soleil), car il est impossible de dire quel mouvement est plus vrai que l’autre. D’un point de vue géocentrique, c’est le soleil qui tourne autour de nous, d’un point de vue héliocentrique, c’est la terre qui tourne autour du soleil.

L’énoncé de la première loi a longtemps été vue comme une définition circulaire. En disant cela, nous voulons dire que la première loi de Newton ne s’applique que dans un référentiel galiléen et un référentiel galiléen est un référentiel où la première loi de Newton s’applique… Pour palier à ce problème, la première loi de Newton fût réécrite sous sa forme inertielle telle qu’on la connait et qu’on l’utilise aujourd’hui : Il existe une famille de référentiels, appelés galiléens ou inertiels tels que par rapport à l’un de ces référentiels, tout point matériel pseudo-isolé (qui est soumis à des forces externes dont la somme est nulle), est soit au repos, soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme.

Dessin représentant Isaac Newton (1643-1727) (Crédit : PeopleImages)

Deuxième loi de Newton, ou principe fondamental de la dynamique de translation :

Voici l’énoncé initial de cette deuxième loi : Les changements arrivant dans le mouvement d’un corps sont proportionnels à la force motrice, et se font dans la ligne droite dans laquelle cette force a été exprimée.

Avant de détailler cette loi avec quelques calculs nécessaires, il est important si vous n’y êtes pas familiarisés, d’aller consulter les chapitres sur la dérivation, l’intégration, ainsi que celui sur la géométrie vectorielle car nous utiliserons très souvent ces formalismes dans ce chapitre ainsi que dans la majorité des chapitres de mécanique.

Lorsque Newton réalisa ses travaux sur ses lois physique du mouvement, il « créa » (En parallèle de Leibniz, qui d’ailleurs, revendique également ce formalisme) un type de calcul, que nous appelons le calcul différentiel et que nous voyons dans d’autres chapitres (Dérivation et Intégration). Le calcul différentiel permet, de découper par exemple par rapport à l’axe du temps, la distance parcourue par un objet lors de sa chute, schématisé sur un diagramme en découpant cette distance en une infinité d’intervalles de taille arbitrairement petites. Cela rappel un petit peu le calcul de la tangente et du taux d’accroissement pour les dérivées, lorsque nous décidons de rendre le Δx de plus en plus petit jusqu’à ce que sa valeur devienne infinitésimale. Le but est d’obtenir une approximation la plus précise possible, de la position à tout moment de cet objet.

Détaillons avec un peu de définitions mathématiques, cette loi, mais tout d’abord, explicitons des termes telles que la position, la vitesse, et l’accélération, qui sont , en physique, trois notions liées les unes aux autres.

En réalité, la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps, et s’écrit de cette manière :  =  . Ce signe un peu étrange est appelé « d rond », et ne doit pas être confondu avec delta minuscule. Ce symbole représente la dérivée partielle. En l’occurrence, dans ce cas simple, la dérivée partielle est égale à la dérivée totale, on peut donc dire que  =   = dx/dt. la flèche au dessus du v de vitesse, signifie qu’il s’agit d’un vecteur.

C’est Galilée qui en premier lieu, exprima la notion de vitesse en comparant la vitesse d’un corps pour définir qu’un allait plus vite que l’autre en comparant le rapport des distances parcourues par ces corps avec les temps correspondants. Newton est à l’origine de la découverte de l’accélération de la pesanteur terrestre, en revanche, c’est Galilée qui énonça que les corps chutent selon un mouvement uniforme accéléré et que d’autre part, quelque soit le corps, lourd, léger, petit, gros, la vitesse de chute est la même. A travers cela, il en tira comme conclusion, que l’accélération de la chute est une constante universelle.

La vitesse étant un concept assez intuitif, il faut néanmoins en différencier deux types :

  • La vitesse moyenne, qui se rapproche le plus de la définition élémentaire. On la calcule en divisant la distance parcourue, par le temps de parcours. Cette notion prend son sens sur une période donnée.
  • La vitesse instantanée. Il faut passer à la définition de limite de la vitesse. Définie à un instant précis, avec la notion de dérivation . En général, la vitesse instantanée n’est accessible que par le calcul de l’équation modélisant le déplacement, et non pas par une mesure physique. Par exemple en cinématique (étude du mouvement d’un corps sans se soucier de la cause), la vitesse est représentée par un vecteur qui est obtenu en dérivant les coordonnées cartésienne (coordonnées d’un plan dans un espace affine, allant de une dimension à trois) de la position par rapport au temps : {\vec {v}}={\frac {{\mathrm d}{\vec {r}}}{{\mathrm d}t}}={\begin{pmatrix}{\frac {{\mathrm d}x}{{\mathrm d}t}}\\{\frac {{\mathrm d}y}{{\mathrm d}t}}\\{\frac {{\mathrm d}z}{{\mathrm d}t}}\end{pmatrix}} . dr est le vecteur position, défini par ses valeurs en x, y et z, que l’on dérive par rapport au temps.

En ce qui concerne l’accélération, elle est en relation avec la vitesse, car elle est sa dérivée, par conséquent, elle est également la dérivée seconde de la position. Tout comme la vitesse, l’accélération est un vecteur, mais là ou la vitesse exprime une modification de la position en fonction du temps, l’accélération elle, énonce la modification de la vitesse en fonction du temps. La formule exprimant l’accélération est la suivante :  ou a est le vecteur accélération, r, le vecteur position et t le vecteur temps.

De manière plus développée, et cette fois, en fonction de la vitesse, on peut écrire : . De manière littérale, cela veut dire que l’accélération est égale à la dérivée de la vitesse par rapport au temps lorsque Δt tend vers 0.

L’accélération peut aussi être formulée en fonction de la vitesse de manière plus simple :

a = dv/dt.

Nous allons donner quelques propriétés de l’accélération dans différents domaines d’applications :

  • Dans le cas d’un mouvement rectiligne uniforme, si a =  0, alors la vitesse est constante, v = constante, et le mouvement du corps dans le référentiel est rectiligne uniforme. En revanche, si v = 0, alors le corps est immobile car il n’y a pas de variation de la position.
  • Pour un mouvement uniformément accéléré, on note a = constante, il y a variation de la vitesse mais l’accélération reste constante (C’est le cas par exemple, d’un objet dans un champ gravitationnel).
  • Troisième cas de figure, qui est le plus utile en physique, au même titre que l’accélération angulaire, le mouvement rectiligne uniformément accéléré.

Bien, avant de détailler cette loi avec quelques calculs nécessaires, il est important de se pencher plus en détails sur une notion que l’on appelle la « quantité de mouvement ».

Nommé principe fondamental de la dynamique dans sa version moderne (PFD), celà s’énonce ainsi : Dans un référentiel galiléen, la dérivé de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces extérieures qui s’exercent sur le solide.

La deuxième loi s’exprime mathématiquement de la manière suivante :

\vec F = m \vec a

Troisième loi de Newton : Principe de l’action et de la réaction, L’action est toujours égale à la réaction ; c’est-à-dire que les actions de deux corps l’un sur l’autre sont toujours égales et de sens contraires.