Matrices

Trace d’une matrice :

La trace d’une matrice est une notion relativement simple, mais dont les applications peuvent être plus compliquées…

Voyons la définition formelle :

Soit une matrice A dans M_{n,p}(\mathbb{K}).

La trace de la matrice A est un scalaire définit par la somme des termes de sa diagonale.

Exemple :

Si A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, alors :

Tr(A)=2+2+0=4

Autrement dit, on généralise la formule comme suit :

Tr(A)=\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_{i,i}}

Vous pourriez vous demander à quoi sert la trace d’une matrice.
La trace a plusieurs propriétés qui vont avoir des conséquences intéressantes dans plusieurs types d’applications :

  • Tout d’abord, une propriété concernant la trace d’une matrice identité :

    Tr(I_d)=\displaystyle{\sum_{i=0}^n a_{i,i}=n}

    En effet, par exemple, si on prend la matrice I_d \in M_3(\mathbb{K}), on voit immédiatement :

    Tr \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=1+1+1=3

  • Autre propriété concernant la transposée :

    \forall A \in M_{n,k}(\mathbb{K}), Tr(A)=Tr(A^T)

    Par exemple, prenons A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

    Alors A^T=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}

    On voit immédiatement que Tr(A)=Tr(A^T)$

  • Une autre propriété un peu plus « épineuse » :

    Soit A,B \in M_{n,p}(\mathbb{K}), alors Tr(AB)=Tr(BA)

    Prouvons cela immédiatement :

    Tr(AB)=\displaystyle{\sum_{i=1}^n(\sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,i})}

    Pour arriver à nos fins, nous allons utiliser quelques astuces. La première consiste à exploiter l’associativité de la somme, il est tout à fait possible d’échanger l’ordre de sommation, tel que :

    Tr(AB)=\displaystyle{\sum_{i=1}^n(\sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,i})=\sum_{k=1}^n(\sum_{i=1}^n a_{i,k} b_{k,i})}

    La prochain astuce est en même temps la plus astucieuse, et en même temps la plus surprenante. On va effectuer un changement d’indice, mais n’importe lequel. En effet, on va définir que i devient k, et que k devient i, et on a donc :

    Tr(AB)=\displaystyle{\sum_{k=1}^n(\sum_{i=1}^n a_{i,k} b_{k,i})=\sum_{i=1}^n(\sum_{k=1}^n a_{k,i} b_{i,k})}

    Il ne nous reste plus qu’à interchanger la place des a_{k,i} et des b_{i,k}, chose que nous avons le droit de faire, puisqu’on a vu dans le chapitre sur le produit de matrice que c’était tout à fait possible. Alors on a :

    Tr(AB)=\displaystyle{\sum_{i=1}^n(\sum_{k=1}^n a_{k,i} b_{i,k})=\sum_{i=1}^n(\sum_{k=1}^n b_{i,k} a_{k,i})}

    Par un procédé astucieux, on voit immédiatement que le terme à gauche n’est autre que :

    Tr(AB)=\displaystyle{\sum_{i=1}^n(\sum_{k=1}^n b_{i,k} a_{k,i})}=Tr(BA)

  • Autre propriété.
    Si