Matrices

Matrices symétriques et antisymétriques :

Une matrice symétrique est simplement une matrice qui est égale à sa transposée.

Soit A \in M_{n,p}(\mathbb{K}). On dit que A est une matrice symétrique si :

A=A^T. Autrement dit, a_{i,j}=a_{j,i} avec 1 \leq i,j \leq n

Une matrice antisymétrique est égale à l’opposée de sa transposée :

Soit A \in M_{n,p}(\mathbb{K}). On dit que A est une matrice antisymétrique si :

A=-A^T. Autrement dit, a_{i,j}=-a_{j,i} avec 1 \leq i,j \leq n

Prenons un exemple d’application :

Soit la matrice carrée A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 7 \\ 8 & 4 & 5 \\ 2 & 6 & -8 \end{pmatrix} \in M_{3,3}(\mathbb{K})

Essayons de calculer sa transposée et voir si elle est symétrique ou antisymétrique.

A^T=\begin{pmatrix} 1 & 8 & 2 \\ -2 & 4 & 6 \\ 7 & 5 & -8 \end{pmatrix}

On voit immédiatement que A^T \neq A et également A^T \neq -A

A^T n’est donc ni symétrique ni antisymétrique.

Prenons un second exemple.

Soit la matrice carrée B=\begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ f & g & h \end{pmatrix} \in M_{3,3}(\mathbb{K})

Calculons la transposée de B :

B^T=\begin{pmatrix} a & b & f \\ b & d & g \\ c & e & h \end{pmatrix}

On se pose la question suivante : Sous quelles conditions B est-elle symétrique ? Antisymétrique ?

On peut tout suite poser ceci :
Si la matrice B est symétrique, alors B^T=\begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ f & g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & f \\ b & d & g \\ c & e & h \end{pmatrix}

Tout simplement, on peut dire que pour que B=B^T, il faut que f=c et g=e.

Maintenant, à quelle condition B est antisymétrique ?

On voit qu’il faut que :

\left\{\begin{array}{l} a=-a \Rightarrow a=0 \\ b=-b \Rightarrow b=0 \\ c=-f \\ d=-d \Rightarrow d=0\\ e=-g \\ h=-h \Rightarrow h=0\\ \end{array}\right.

En effet, à ces conditions seulement, la matrice B serait antisymétrique.