Matrices

Déterminant et matrice de Vandermonde :

Le moment est venu de parler des déterminants 🙂

Les déterminants sont une notion parfois un petit peu déroutante.

La première chose qu’il faut savoir sur les déterminants, c’est qu’ils n’existent que dans des matrices carrées.

Commençons par le cas le plus simple, le cas des matrices carrées 2 \times 2 :

Soit une matrice A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, alors :

det(A)=det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad-bc

La première application que l’on peut faire du déterminant quand n=2, c’est par exemple, calculer la surface d’un parallélogramme. En effet, le déterminant a des applications géométriques, et l’aire de ce parallélogramme est égal à la valeur absolue du déterminant. Regardons cela tout de suite :

On sait que l’aire d’un parallélogramme s’exprime comme Aire(parallelogramme)=b \times h.
Dans notre cas de figure, on a donc Aire(parallelogramme) =5 \times 3=15

Si on prend les deux vecteurs u et v de notre graphe, et qu’on forme une matrice B qui soit leur association, on a :

B= \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}

Maintenant, calculons le déterminant de cette matrice :

det(B)= det\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}=2 \times 0 - 5 \times 3=-15

On a dit plus haut que l’aire d’un parallélogramme est égal à la valeur absolue du déterminant associé à ce dernier, donc :

det(B) = \lvert-15 \rvert=15

Comment calcule t-on le déterminant d’une matrice 3 \times 3 et plus ?

Il existe deux techniques principales, la méthode de Sarrus, et la méthode qui consiste à barrer la ligne et la colonne qu’on choisi. Le problème de la méthode Sarrus, c’est qu’elle ne s’applique qu’aux matrices 3 \times 3, contrairement à l’autre méthode, qui fonctionne quelque soit la dimension de la matrice considérée.

Parlons de la seconde méthode, qui est la plus intéressante. Soit une matrice :

A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\  a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}  \\  a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}  \end{pmatrix}

Il faut savoir que dans cette matrice, il y a plusieurs moyens de calculer le déterminant.
La première est de prendre par exemple la première ligne, en barrant cette même ligne, et la première colonne. Le reste est un petit peu compliqué à expliquer sans vous montrer un exemple, alors faisons le :

Ecris autrement, on a :

det(A)= a_{1,1}\begin{pmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\  a_{3,2} & a_{3,3} \end{pmatrix}- a_{1,2}\begin{pmatrix} a_{2,1} & a_{2,3}  \\  a_{3,1} & a_{3,3} \end{pmatrix}+ a_{1,3}\begin{pmatrix} a_{2,1} & a_{2,2} \\  a_{3,1} & a_{3,2} \end{pmatrix}

Vous vous demandez surement ce que signifie cette formule insensée, c’est normal, pas de panique. Expliquons ce que nous venons de faire. En réalité, l’astuce, c’est de réduire notre déterminant de dimension 3 en une « somme » de déterminants de dimension 2. En choisissant la première ligne, on l’a barre, ainsi que la première colonne, et on multiplie chaque coefficient de notre ligne avec la matrice des coefficients qui restent non barrés.

Nous avons mis le mot somme entre guillemets, car il y des changements de signes, expliquons nous.
Si on choisis une ligne/colonne « impaire », la première par exemple, alors le signe devant le premier coefficient sera positif, le deuxième négatif, puis positif, etc…
Lorsqu’on choisis une ligne/colonne paire, alors le premier coefficient sera négatif, le deuxième positif, etc…

Schématisons cela en montrant comment tout ceci se défini dans une matrice 4 \times 4 :

\begin{pmatrix} + & - & + & - \\  - & + & - & +  \\  + & - & + & - \\ - & + & - & +  \end{pmatrix}

Prenons un autre exemple, peut être plus concret.

Soit B= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 2 \\  0 & 1 & 3 & 0  \\  4 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & 2  \end{pmatrix}

Calculons det(B), cette fois, en choisissant la deuxième ligne :

On a donc :

det(B)= 1 \times\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2\end{pmatrix}-3 \times \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2  \end{pmatrix}

On continue, cette fois, on prend la deuxième colonne de la première matrice et la deuxième colonne de la seconde :

det(B)=1 \times \left[ \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \right]-3\left[ \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \right]

On applique simplement notre déterminant aux matrice 2 \times 2, c’est à dire ad-bc :

det(B)=1 \times \left[ -2-(-4) \right]-3\left[ -(2)+(-2) \right]=14

Peut on définir une formule générale pour calculer le déterminant d’une matrice n \times n sans se soucier du choix de la colonne ou de la ligne que l’on choisis pour le calcul ?
La réponse est oui. Comment construisons-nous cette formule ?

Nous avons vu que le premier signe dépend de la ligne ou de la colonne qu’on choisis. On a vu également que l’on somme sur l’ensemble des coefficients de la ligne ou de la colonne, et dernièrement, qu’on multiplie chaque coefficient un à un, avec le déterminant de la matrice d’origine, moins la ligne choisie et la colonne correspondante au coefficient.
Compliqué tout cela ? Pas tant que cela, regardons ce que donne la formule, en développant selon la i-ème ligne d’une matrice A quelconque :

det(A)=(-1)^{i+1} a_{i,1}det(A_{i,1})+ (-1)^{i+2} a_{i,2} det(A_{i,2}) +...+ (-1)^{i+n} a_{i,n} det(A_{i,n})

On peut donc réécrire ceci :

det(A)=\displaystyle{\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{i,j} det(A_{i,j})}

Le terme (-1)^{i+j} définie le signe devant le coefficient, on voit que si on prend la première ligne par exemple, alors i=j=1 et le premier terme est donc positif.
Le deuxième terme et le coefficient.
Le terme det(A_{i,j}) est le déterminant de la matrice obtenue en rayant la i-ème ligne et la j-ième colonne, qu’on appelle le mineur du terme a_{i,j}

Voyons les différentes propriétés des déterminants maintenant, car il y en un certain nombre.