Matrices

Matrice inverse :

Vous rappelez vous que nous avions défini le produit de deux matrices comme étant non commutatif ? Il s’avère qu’il peut l’être, si les deux matrices en question sont dites « inversibles ».
Dans ce cas, si on a une matrice A d’ordre n et une matrice B d’ordre n \in M_n(K) qui sont inversibles, on dit que :
AB = BA = I_n.
On appelle la matrice B l’inverse de A, tel que B = A^{-1}.
Lorsqu’une matrice est inversible p fois, avec p \in N, on note :

A^{-p}=(A^{-1})^p= A^{-1}\cdot A^{-1}A^{-1} p fois.

On note l’ensemble des matrices M_n(K) inversibles GL_n(K). C’est une convention.

Passons à un exemple, car pour le moment, nous n’avons pas énoncé la méthode pour affirmer qu’une matrice est l’inverse d’une autre matrice. Nous allons prendre une matrice A, et chercher une matrice B, tels que AB = I_2 et BA = I_2 :

On va définir A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}. On va définir B, une matrice carrée de la forme B=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

Donc, AB = I_2, si et seulement si \begin{pmatrix} a+2c & b+2d \\ 3c & 3d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

On peut écrire ceci comme un système de quatre équations à quatre inconnues, qui n’est pas très compliqué à résoudre, en effet :

\begin{cases} a + 2c=1 \\ b+2d =0 \\ 3c=0 \\ 3d=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a =1 \\ b+2d =0 \\ c=0 \\ d=\frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a =1 \\ b =-\frac{2}{3} \\ c=0 \\ d=\frac{1}{3} \end{cases}

Il y a donc une unique solution :

B=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}

Pour prouver que B = A^{-1}, il faut aussi montrer l’égalité BA = I_2.

BA=I_2 si et seulement si \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

De manière analogue, on définit ceci comme un système d’équation :

\begin{cases} a =1 \\ 2a+3b =0 \\ c=0 \\ 2c+3d=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a =1 \\ 2+3b =0 \\ c=0 \\ d=\frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a =1 \\ b =-\frac{2}{3} \\ c=0 \\ d=\frac{1}{3} \end{cases}

On vient de démontre que AB = BA = I_2 et la matrice A est bien inversible :

Nous allons voir un exemple de matrice non inversible :

A= \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} n’est pas inversible. Pourquoi ? car si on prend B= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, alors on a :

BA=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3a+5b & 0 \\ 3c+5d & 0 \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Quelques exemples de matrices inversibles et non inversibles :

  • La matrice identité I_n est inversible car I_{n}^{-1} = I_n par l’égalité I_n \times I_n = I_n.
  • La matrice nulle 0_n, n’est pas inversible car :
    Pour tout B \in M_n(K), on a B \cdot 0_n = 0_n \neq I_n.

Il est une affirmation importante concernant l’inverse d’une matrice :
Si A est inversible, alors son inverse est unique. Il est possible de le démontrer algébriquement :

On suppose qu’il existe une matrice B_1, telle que A \times B_1 = B_1 \times A = I_n et une matrice B_2 telle que A \times B_2 = B_2 \times A = I_n.
On va servir de la propriété d’associativité des matrices et calculer B_2 \times (A \times B_1).  On sait que A \times B_1 = B_1 \times A = I_n et A \times B_2 = B_2 \times A = I_n.
D’une part, B_2 \times (A \times B_1) = B_2 \times I_n = B_2.
D’autre part, B_2 \times (A \times B_1) = (B_2 \times A) \times B_1 = I_n \times B_1 = B_1.
Donc, B_1 = B_2. Il y a unicité de la matrice inverse.

Quelques propriétés concernant les matrices inverses pour terminer :

  • Si A est une matrice inversible, alors A^{-1} est aussi inversible et (A^{-1})^{-1} = A.
  • Prenons A et B deux matrices de même taille, Alors si AB sont inversibles, alors :
    (AB)^{-1} = A^{-1} \times B^{-1}.
    On peut démontrer ceci en posant (A^{-1} \times B^{-1})(AB) = I_n.
    Alors (A^{-1} \times B^{-1})(AB) = B^{-1} \times (A \times A^{-1}) \times B = B^{-1} \times I_n \times B = I_n.
    De même, (AB)(A^{-1} \times B^{-1}) = A \times (B \times B^{-1}) \times A^{-1} = A \times A^{-1} = I_n.
    De façon analogue, si A_1, A_2, ... , A_m sont inversibles, on peut généraliser et écrire que :
    (A_1, A_2, ..., A_m)^{-1} = A_m^{-1} \times A_{m-1}^{-1} \times A_{m-2}^{-1} \times ... \times A_1^{-1}.
    *Attention, l’ordre s’inverse comme vous pouvez le voir, à ne pas oublier.
  • Pour finir, on rappelle que AB = BC n’implique pas que A = B, sauf si C est une matrice inversible :
    Soient A et B, deux matrices dans M_n(K). Si C est une matrice inversible de M_n(K), alors A = B, et on peut le démonter de cette manière :
    AC = BC \Rightarrow (AC)C^{-1} = (BC)C^{-1}.
    Alors, A(CC^{-1}) = B(CC^{-1}).
    Or, A \cdot I_n = B \cdot I_n, donc A = B.