Matrices

Binôme de Newton pour les matrices :

Normalement, vous devriez savoir ce qu’est le binôme de Newton pour les nombres réels ou complexes (Sinon, dirigez vous vers le chapitre « Analyse combinatoire et dénombrement »), mais il faut savoir que cette formule s’applique également pour des matrices qui commutent…

Rappelons néanmoins la formule. Soient a,b \in \mathbb{R} ou \mathbb{C}, et n,k \in \mathbb{N} alors :

(a+b)^n=\displaystyle{\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^k b^{n-k}}
On peut aussi écrire (a+b)^n=\displaystyle{\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^{n-k} b^k} du fait de la commutativité du produit de réels ou de complexes.

Comme nous l’avons vu, le produit de matrices ne commutent en général pas, sauf si il s’agit de deux même matrices ou que les matrices sont inversibles. Néanmoins, si deux matrices compatibles A,B \in M_n(K), compatibles, alors la formule du binôme de Newton est :

(A+B)^n=\displaystyle{\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} A^k B^{n-k}}

Il était intéressant d’aborder le sujet, mais la preuve ayant été faite dans le chapitre de l’analyse combinatoire, et en vu du peu d’applications du binôme (ou multinôme) pour les matrices, nous nous arrêterons là.