Matrices

Matrices élémentaires :

Qu’est ce qu’une matrice élémentaire ? C’est très simple, une matrice élémentaire est une matrice obtenue en effectuant des transformations élémentaires sur la matrice identité.

Quelles sont ses transformations ? Elles sont les suivantes :

Permutation de lignes.
Par exemple, en permutant la ligne 1 et 2 :
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Dilatation (produit d’une ligne par un scalaire).
Par exemple, en multipliant la ligne 2 par 5 :
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Transvection (L_i+ \lambda L_j, avec \lambda \in \mathbb{K}).
Par exemple, la ligne 1 + 5 fois la ligne 3 :
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

A quoi cela sert-il pourriez vous vous demander ? En fait, il est plusieurs propriétés qu’il faut évoquer et pour lesquelles nous allons prendre des exemples.

La première, la plus importante, dit que la matrice obtenue en prenant une matrice quelconque A, et en la multipliant à gauche par une matrice élémentaire, sera équivalente à la transformation de la matrice identité par cette même matrice élémentaire, exemple :

Soit E_{i,j}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, qui est le résultat de L_2 \leftarrow 5L_2.

Soit également une matrice A=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{pmatrix} avec x_i,y_i,z_i \in \mathbb{K}

Alors E_{i,j} \cdot A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ 5y_1 & 5y_2 & 5y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{pmatrix}

On voit bien que le produit de E_{i,j} avec A revient à effectuer la même transformation que celle faite à la matrice identité I_{3,3}.
Attention, le produit des matrices n’étant généralement pas commutatif, cette conjecture est vraie pour E_{i,j}A mais pas pour A E_{i,j}.

Ceci étant dit, que se passe t-il lorsqu’on fait le produit dans l’autre sens ? Lorsqu’on fait le produit dans l’autre sens, ce n’est pas la deuxième ligne qui est transformée, mais la deuxième colonne. Faisons le :

A \cdot E_{i,j}=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & 5x_2 & x_3 \\ y_1 & 5y_2 & y_3 \\ z_1 & 5z_2 & z_3 \end{pmatrix}

Une autre propriété importante des matrices élémentaires, est qu’elles sont inversibles.
Par exemple, si on prend E_{i,j}^{-1}, alors :

E_{i,j} \cdot E_{i,j}^{-1} \cdot A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{pmatrix} = I_{3,3} \cdot A= A

Vous l’aurez compris, peu importe le type de transformation que vous faites de votre matrice identité, cette dernière sera inversible, et le produit à gauche d’une matrice quelconque avec la matrice transformée, sera comme si vous aviez fait la transformation en question, directement à la matrice quelconque.

Attention cependant, toutes les matrices n’étant pas inversibles, transformer une matrice non inversible ne servira à rien. Nous avons vu ce que cela donne dans l’exemple donné pour les matrices inverses. Il n’y a simplement pas de solution, ou une infinité.