Matrices

Matrices échelonnées et matrice échelonnées réduites :

Les matrices échelonnées et échelonnées réduites, sont une sorte d’extension des transformations de matrices élémentaires, soit dans le but de montrer qu’une matrice est inversible ou non, soit, simplement, dans un but de simplification de la matrice en question.

Il faut savoir que si en échelonnant une matrice quelconque, on arrive à la matrice identité, alors, la matrice en question est inversible, sinon, une matrice possède toujours une version échelonnée réduite, et cette matrice échelonnée réduite est unique.

Prenons un exemple de matrice échelonnée, en schématisant les valeurs non nulles par des étoiles, et les pivots (premier coefficient non nul d’une ligne) par des croix dans des ronds :

\begin{pmatrix} \oplus & * & * & * & * \\ 0 & 0 & \oplus & * & * \\ 0 & 0 & 0 & \oplus & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \oplus \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Voici maintenant ce qu’on appelle une matrice échelonnée réduite, qui est une matrice échelonnée, dans laquelle les pivots valent 1, et ou toutes les valeurs au dessus des pivots valent 0 :

\begin{pmatrix} 1 & * & 0 & * & * \\ 0 & 0 & 1 & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Prenons un exemple dans lequel nous allons tout d’abord échelonner une matrice, puis la transformer en sa version réduite :

Soit la matrice M=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}

Définissons notre objectif. On veut arriver à une matrice échelonnée, puis, une matrice échelonnée réduite. Pour cela, on veut se débarrasser des valeurs qui ne sont pas les pivots, mais avant de le faire, il faut définir ces pivots…
On choisit comme pivot le 2 de la première ligne, première colonne :

Tout d’abord, occupons-nous de la ligne 2. On va faire L_2 \leftarrow 2L_2-L_1 \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 6 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}

L_3 \leftarrow L_3-L_1 \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 6 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}

L_3 \leftarrow (-1)L_3 et L_2-4L_3 \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
On a donc comme pivot pour la deuxième ligne, le deuxième terme.

L_1 \leftarrow L_1-L_2 et \frac{L_1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

L_2 \leftarrow L_2-2L_3 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

L_2 \leftarrow L_2+2L_1 et \frac{L_3}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

L_1 \leftarrow L_1-L_2 et L_3 \leftarrow L_3-L_1 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Le pivot pour la dernière ligne est le dernier terme, et nous avons terminé…

Nous retombons sur la matrice identité, ce qui signifie que notre matrice M est inversible.

Qu’en est-il d’une matrice non inversible ? Peut on procéder de la même manière ?

Prenons une matrice non inversible :

Soit B= \begin{pmatrix} 5 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}

On va donc tenter de trouver la matrice échelonnée réduite de cette matrice.

\begin{pmatrix} 5 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} L_1 \leftarrow L_1-4L_3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & -6 \\ 3 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 0 & -6 \\ 3 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} L_3 \leftarrow L_3-L_1 \begin{pmatrix} 1 & 0 & -6 \\ 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 0 & -6 \\ 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} L_2 \leftarrow L_2-3L_1 \begin{pmatrix} 1 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & -14 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & -14 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} L_3 \leftarrow 2L_3+L_2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & -14 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & -14 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} L_2 \leftarrow \L_2 \cdot \frac{-1}{14} et L_1 \leftarrow L_1+6L_2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

Et pour finir,

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} L_3 \leftarrow L_3-2L_2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Par conséquent, la matrice échelonnée réduite n’étant pas la matrice identité, on peut facilement en déduire que la matrice B n’est pas inversible.