Notion de limite et de continuité

Définition d’une limite et limites de fonctions usuelles :

La notion de limite est très importante en mathématiques. La limite d’une fonction ou d’une suite, est la valeur particulière dont la suite ou la fonction « s’approche » lorsque la variable s’approche du point en question. Par exemple, la limite de f(x) = x² lorsque x tend vers 0 est 0, et l’infini lorsque x tend vers l’infini, jusqu’ici, rien de bien compliqué.

Prenons un autre exemple, la fonction inverse (1/x) représentée sur un graphique :

Que pouvons nous constater ? Lorsque nous prenons un x de plus en plus grand, la fonction 1/x tend vers 0, il en est de même pour les valeurs de x négatives, plus nous prenons un x petit, plus la limite tend vers 0. Il faut préciser que la fonction tend vers 0, mais ne l’atteint jamais. Lorsque la limite d’une fonction n’est pas finie ou tend vers l’infini (positive ou négatif), elle n’atteint jamais cette valeur. Mathématiquement, et en l’occurrence, pour la fonction inverse, nous l’écrivons comme ceci :

\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\frac{1}{x}=0

En revanche la limite de 1/x en 0 n’existe pas car la fonction tend à la fois vers +∞ et -∞, mais nous pouvons l’exprimer de deux manière différente suivant l’intervalle que l’on considère :

\lim\limits_{x \rightarrow 0+}\frac{1}{x}=+\infty

\lim\limits_{x \rightarrow 0-}\frac{1}{x}=-\infty

Reprenons l’exemple de la fonction f(x) = x^2, cette fois, trouvons sa limite en un point, la valeur 3 par exemple, évidemment, f(3) = 3^2 = 9. Il s’avère que la limite est également 9 :

\lim\limits_{x \rightarrow 3} x^2=9

Autrement dit, la limite de x^2 lorsque x tend vers 3, est 9. Ici, la limite de la fonction est prise en un point, elle est donc finie, par conséquent, une limite finie est égale au résultat de l’image de la fonction en ce point.

Il existe un tableau de ce qu’on pourrait appeler les limites usuelles, souvent intuitives, cependant, il est important de les connaître :

Voyons un peu plus en détails ce que les termes de ce tableau signifient. Tout d’abord, il est important de réussir à visualiser ces fonctions sur un graphique. Nous avons vu dans d’autres chapitres, les fonctions x^2, x^3, et nous venons de voir la fonction \frac{1}{x}. Voyons les autres, et essayons de comprendre leurs limites.

Nous constatons que le domaine de définition de la fonction f(x)=\frac{1}{x^2} n’est pas le même que la fonction inverse, et les limites non plus. Par exemple, la limite de f(x)=\frac{1}{x^2} lorsque x tend vers 0 n’est plus soit -∞ soit +∞, mais uniquement +∞.

En revanche, la fonction f(x)=\frac{1}{x^3}, ressemble de très près à la fonction inverse, et possède les même propriétés de limites en l’infini que cette dernière :

Ensuite, vient la fonction racine carrée, f(x)=\sqrt{x} :

Il n’est pas forcément aisé de dire quelles sont les limites de cette fonction, entre autre, lorsque l’on prend un x de plus en plus grand, car on peut s’apercevoir que la fonction croit de moins en moins vite. Quoi qu’il en soit, la fonction croit, et cela indéfiniment, par conséquent, sa limite lorsque x tend vers l’infini, est l’infini, même si il faut considérer des valeurs de x de plus en plus grandes pour voir la fonction croître de manière significative. Qu’en est t’il des autres limites ? Par exemple, la limite de la fonction lorsque x tend vers -∞ ? Elle n’est simplement pas définissable, car la fonction n’est pas défini dans \mathbb{R}, mais dans \mathbb{R}_{+}. On voit bien qu’elle ne prend pas de valeurs de x négatives.

La fonction 1/√x est assez similaire à la fonction inverse (1/x), à la différence près que son domaine de définition se résume à \mathbb{R}_{+}^{*}, et non à \mathbb{R} entier.

Nous commençons à avoir l’habitude à présent, il n’est pas difficile de trouver les limites de cette fonction. Lorsque x tend vers l’infini, on constate aisément que la limite de la fonction tend vers 0. Lorsque que x tend vers 0, la fonction tend vers l’infini. Pour ce qui est de la limite en -∞, on peut voir qu’elle n’est pas définie.

Pour finir de détailler ces limites de fonctions usuelles, nous devons nous attarder sur deux fonctions un peu particulières, les fonctions cosinus et sinus. Ces fonctions sont des fonctions trigonométriques, et nous détaillerons leurs propriétés dans un chapitre leur étant dédié, pour le moment, analysons les simplement graphiquement, et essayons de trouver leurs limites, si ces limites existent.

Que voit on ici ? Quelles sont les limites lorsque x tend vers + ou – l’infini ? Eh bien, il n’y en a pas, la fonction est ondulatoire, continue, mais ni croissante, ni décroissante, et ne tend vers aucune limite. En revanche, on peut voir que lorsque x tend vers 0± (0± signifie que nous regardons 0 des deux côté de l’axe des abscisses. Le côté positif est noté 0+ et le côté négatif 0-), la fonction cosinus tend vers 1.

De même que pour la fonction cosinus,on constate que la fonction sinus n’a pas de limite lorsque x tend vers + ou – l’infini. En revanche, lorsque x tend vers 0, la fonction sinus ne tend pas cette fois vers 1, mais cette fois ci vers 0 comme nous le voyons sur le graphe.