Notion de limite et de continuité

Opérations sur les limites et formes indéterminées :

Voici le tableau d’opérations sur les limites :

Toutes les propriétés de ces tableaux sont tout à fait logiques, nous ne pensons pas qu’il soit nécessaire de montrer des exemples.

Cependant, essayons d’expliquer les plus importantes :

  • \lambda + \infty= \infty, si et seulement si \lambda \neq -\infty. En effet, si la fonction tend vers +∞, lui ajouter une constante réelle ne changera rien, elle tendra toujours vers +∞.
  • \lambda \times \infty = \infty. Evidemment, si la fonction tend vers +∞, la multiplier par une constante positive ne changera pas le signe.
  • \lambda \times \infty = -\infty si \lambda < 0. A l’inverse si la limite d’une fonction est +∞, multiplier cette dernière par une constante négative changera le signe.
  • \frac{\lambda}{\infty}=0, si \lambda \pm \infty. Une constante divisée par l’infini, tend inéluctablement vers 0.
  • La limite d’une fonction composée : Prenons a, b et c, qui désignent soit des réels, soit + ou -∞. Si la limite de f(x) = b lorsque x tend vers a et que la limite de g(x) = c lorsque x tend vers b, alors la limite de g(f(x)) = c, lorsque x tend vers a.

Parfois, il est possible de trouver des résultats de limites plus compliqués, telle qu’une limite de la forme 0/0, or, on sait que 0 n’est pas divisible, et encore moins par lui même, ou encore, de la forme ∞/∞. Il existe un moyen de trouver un résultat à ce genre de limites, on appelle cette technique « lever l’indétermination ».

Nous allons lever cette indétermination avec un exemple. On veut calculer :

\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} (-4 x^3+3x^2-7x+1)

Si on décompose terme à terme, on voit que l’on a des sommes de limites tendant vers + l’infini, – l’infini etc… Comment définir alors vers quelle limite tend tout ce membre ?

Lorsqu’il s’agit d’un polynôme, ce que l’on peut faire pour commencer, c’est factoriser par le terme de plus haut degrés :

-4 x^3+3 x^2-7x+1=x^3(-4+\frac{3x^2}{x^3}-\frac{7x}{x^3}+\frac{1}{x^3})

Donc, si on simplifie :

x^3(-4 +\frac{3x^2}{x^3}-\frac{7x}{x^3}+\frac{1}{x^3})=x^3(-4 +\frac{3}{x}-\frac{7}{x^2}+\frac{1}{x^3})

En fait, ça y est, nous pouvons nous arrêter, pourquoi ? Car on connait les limites des fonctions de la forme \frac{1}{x}, \frac{1}{x^2} et \frac{1}{x^3}. Tout cela tend vers 0. Donc, la limite de toute la parenthèse tend vers -4. Par conséquent, on une limite de la forme -\lambda \times +\infty. Donc tout le polynôme tend vers -∞.

Autre exemple.