Notion de limite et de continuité

Comparaisons et limites de suites :

En ce qui concerne les suites, il existe différents types de limites de suites. Une suite peut avoir une limite convergente ou divergente. Qu’est ce que ces termes désignent ?

  • Une limite dite convergente, signifie que que la limite de la suite admet pour limite, un réel l, et s’écrit de telle manière :
    \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=l
    par exemple, la suite :

    Ou encore, la suite :

    On déduit d’après cette définition, que la limite est unique (les termes de la suite ne pouvant pas être dans deux intervalles disjoints). On peut également en déduire que toute suite convergente est bornée.
    Un exemple est la suite , définie par

    Cette dernière converge vers 0 lorsque n tend vers ±∞.
    Tout comme pour les fonctions, une suite encadrée par deux suites convergeant vers la même limite l converge aussi vers l (théorème des gendarmes).
  • Une limite divergente peut être par exemple infinie, et qu’on écrit :
     .
    On peut dire qu’une suite tend vers +∞, si tout intervalle de la forme ]A,+∞[, contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d’entre eux.  Par exemple, la suite 1²+2²+3²+4²+n² = +∞. Une suite ayant une limite divergente peut également signifier que la suite n’a pas de limite, comme la suite un = cos (Comme nous l’avons vu pour les fonctions, cosinus n’a pas de limite).