Notion de limite et de continuité

Limites et inégalités :

  • Théorème de comparaison de fonction : Si on a deux fonctions, f et g, et que f(x)≥g(x), sur un intervalle quelconque de la forme [a,+∞[. Si la limite de g(x) = +∞, alors, la limite de f(x) = +∞.
    En effet, Si la limite de la fonction g(x) est +∞ et que sa limite est inférieure à celle de f(x), alors la limite de f(x) est forcément +∞ également.
    Par exemple, si on a f(x) = x³ et g(x) = x². On sait que la limite de g(x) lorsque x tend vers l’infini est ∞. On sait également que g(x)<f(x), alors, nécessairement, la limite de f(x) lorsque x tend vers l’infini est également +∞.
  • Théorème des gendarmes ou théorème du sandwich : On a trois fonctions, f, g et h. Si f(x)≤g(x)≤h(x), sur un intervalle quelconque de type [a,+∞[, et si, lim f(x) = l et lim h(x)= l, lorsque x tend vers +∞ (« l » étant une valeur quelconque), alors, lim g(x) = l également, lorsque x tend vers +∞. Il s’agit de considérer une fonction que nous prenons en « étau » via deux autres fonctions ayant la même limite, sur un graphe, on peut représenter ça par exemple comme :