Notion de limite et de continuité

Compléments sur les intervalles de R et théorème des valeurs intermédiaires :

Voyons quelques compléments sur les réels ainsi que le théorème des valeurs intermédiaires.

Tout d’abord, revenons sur quelques notions que vous connaissez peut être, mais que nous allons tout de même évoquer à nouveau.

Majorant et minorant :

Nous allons aborder ces deux notions en prenant l’exemple d’une fonction, dont nous allons étudier les limites. On va prendre :

Que peut on dire de cette fonction, quel est son domaine de définition ?
Son domaine de définition est ]-∞;0[ ∪ ]0;+∞[.
En revanche, on peut d’ors et déjà affirmer que cette fonction n’est pas est bornée, pourquoi ? Lorsque x tend vers 0, f(x) tend vers ±∞, elle n’a donc ni majorant, ni minorant.

De manière plus simpliste, on peut dire qu’un majorant est une valeur de y (ou f(x)), à partir de laquelle il est possible de tracer un segment, au dessus duquel la fonction n’est plus définie. Un minorant, de manière analogue, est une valeur de y, à partir de laquelle on peut tracer un segment en dessous duquel la fonction n’est plus définie.
Lorsqu’on dit qu’une fonction est bornée, cela signifie qu’il nous est possible d’encadrer cette fonction de manière à ce que la dite fonction ne soit définie uniquement qu’entre ses bornes (son majorant et son minorant).
Prenons un autre exemple, prenons la fonction sin(x) :

Si vous avez vu le chapitre sur les fonctions trigonométriques, vous savez qu’on définit le domaine de définition des fonctions trigonométriques sur l’axe x à travers l’unité de radians.
La fonction est périodique et de période 2π, ce qui veut dire qu’on peut restreindre le domaine de définition de cette fonction sinus à [0;2π] tout en étant capable de généraliser les propriétés sur cet intervalle à tout son domaine de définition.
La plus grande valeur que peut prendre la fonction sinus sur cet intervalle est sin(π/2) = 1. La plus petite est sin(-π/2) ou sin(3π/2) = -1. Par conséquent, sin(π/2) est le majorant de la fonction sinus et sin(-π/2) est le minorant.
La fonction ayant à la fois un majorant et un minorant, la fonction est donc bornée.

Maintenant que vous comprenez ces deux notions , en voici la définition exacte :
Supposons un ensemble A. Un majorant de A est alors un élément M quelconque, supérieur ou égal à tous les éléments de l’ensemble A.
Dans notre cas de figure, on définit l’ensemble comme étant la fonction sinus, un majorant de notre fonction est tout élément supérieur ou égal à 1.
A l’inverse du majorant, le minorant est un élément b, tel que pour tout élément d’un ensemble B, b soit inférieur ou égal à tout élément de cet ensemble B.
Dans notre cas de figure, le minorant de notre fonction est une valeur inférieure ou égale à -1.

Les définitions de majorant et de minorant sont assez vague, en effet, on parle « d’un majorant » et d »un minorant », pourquoi un ?
En fait, tout simplement car, dans notre cas de figure par exemple, toute valeur réelle supérieure ou égale à 1 est majorant de sin(x). 2 est majorant de sin(x), 874 est également majorant de la fonction sinus.

Prenons un autre exemple pour nous mettre dans une autre situation :

Cette fonction possède t-elle un majorant et un minorant ?
Elle possède effectivement un minorant, mais pas de majorant.
N’ayant pas précisé d’intervalle, et si on considère le domaine entier de définition de cette fonction qui est continue dans R (]-∞;+∞[), quelque soit le x négatif que nous prenons, l’image sera toujours supérieure à 0 (le carré d’un nombre négatif étant toujours positif dans R), donc son minorant est inférieur ou égal à 0.
En revanche, elle ne possède pas de majorant, car pour un x qui tend vers l’infini, son image tend également vers l’infini. Regardons le graphe de la fonction :

A présent que nous connaissons mieux les notions de majorant et minorant, nous pourrions prendre la fonction f(x) = x³. Si on regarde cette fonction sur un graphe, on voit que cette fonction n’a ni minorant ni majorant.
En effet, sur son domaine de définition, lorsque x tend vers -∞, f(x) tend vers -∞ également. Lorsque x tend vers +∞, f(x) tend également vers +∞. Les fonctions carrée et cube ne sont donc pas bornées.

Prenons l’exemple d’une fonction, et tentons de déterminer si elle possède un majorant, un minorant, ou qu’elle est bornée.

Que dire de cette fonction ? Cette fonction ne s’annule pas, même lorsque x = 0, et x² ≥ 0 , donc, x² + 1 ≥ 1 (on ajoute 1 des deux côtés). la fonction d’origine étant l’inverse de cette fonction, on a donc :

Nous venons de trouver le majorant de la fonction, qu’en est t-il du minorant ?

la fonction x² + 1 étant strictement supérieure à 0, son inverse l’est forcément aussi, 1/x²+1 > 0. Donc, son minorant est 0.

Si on regarde le graphique de la fonction, on s’aperçoit bien que la fonction est bornée entre 0 et 1 :

Extremum, maximum et minimum :

Il est important de ne pas confondre maximum avec majorant, et minimum avec minorant.
Ce qu’il faut savoir, c’est que le maximum d’une fonction est forcément un majorant de cette dernière mais que la réciproque n’est pas vraie.
De manière analogue, le minimum d’une fonction est nécessairement un minorant de cette fonction, mais pas l’inverse.

Maximum :

Prenons tout de suite un exemple :
On définit M le maximum de la fonction :

On veut essayer de connaître la valeur maximum que peut prendre la fonction. Il n’est pas difficile de se rendre compte que le maximum M de la fonction est 4. En effet, si x = 0, alors f(0) = 4. Pour toute autre valeur de x, f(x) < 4 :

Si on utilise un langage plus technique, le maximum d’une fonction f définie dans un sous ensemble E, de nombres réels, admet un maximum M en un point a de E, si M = f(a) et quelque soit x de E, f(x) ≤ f(a).
C’est exactement ce que nous avons là, nous avons la fonction f, qui à tout x associe -x² + 4. Cette fonction admet un maximum M en un point a. M = 4, et 4 correspond à f(0). Quelque soit le x de f(x), f(x) ≤ 4.

*Attention : Nous insistons sur le fait que le maximum d’une fonction est unique, elle ne peut en avoir qu’un, à l’instar de ses majorants.

Minimum :

Le principe est le même que pour le maximum.

Une fonction a un seul et unique minimum, qui est la plus petite valeur que la fonction prend. On dit que le minimum d’une fonction f dans un sous ensemble E, admet un minimum m en un point a de E, si m = f(a), et quelque soit x de E, f(x) ≥ f(a).

Prenons la fonction :

Représentée graphiquement, cela donne :

On sait que cette fonction est strictement croissante, et on sait que pour tout x, √x ≥ 0. Par conséquent, √x + 2 ≥ 2. 2 est donc le minimum de cette fonction.
Cette fonction possède t-elle un maximum ? Non, car d’une part, la fonction n’est définie que dans R+, et pour tout x tendant vers l’infini, √x + 2 tend également vers l’infini.

Il existe plusieurs méthodes pour montrer qu’une fonction possède des extremums (un maximum ou un minimum), nous allons voir la plus simple.

Il faut montre que f(M) – f(x) > 0. Si c’est le cas, alors, M est le maximum de f.
Pour le minimum, on pose f(m) – f(x) < 0. Si c’est le cas, m est le minimum de f.

Dans notre cas de figure, on sait que f n’a pas de maximum, mais on sait qu’elle a un minimum, donc :

En effet, f(x) admet un minimum en 0 qui est 2. La fonction est définie sur l’intervalle [0;+∞[, et f(0) = 2.

Il est également possible de trouver le maximum et le minimum d’une fonction, car ils sont définis lorsque la dérivée de la fonction s’annule. (Nécessite d’avoir vu le chapitre « Dérivation »)

Calculons la dérivée de notre fonction, tout d’abord, réécrivons la fonction d’une autre manière :

On sait que la dérivée d’une fonction de la forme « x puissance n » est : ⇒

Donc :

On voit bien que la dérivée s’annule lorsque x = 0, on vérifie l’image lorsque x = 0, et donc en posant f(0) = √0 + 2, on trouve bien 2.

Borne supérieure et borne inférieure :

Nous avons vu ce qu’étaient un maximum, un minimum, un majorant, un minorant. A présent, nous allons voir ce que sont les bornes inférieures et supérieures.

Ces notions sont souvent confondues, nous allons faire en sorte qu’après avoir lu ce chapitre, vous ne faisiez plus cette erreur.

Pour faire simple et concis, la borne inférieure, pour une fonction f par exemple et qu’on note : inf[f(x)], est le plus grand minorant de cette fonction.
La borne supérieur qu’on note sup[a;b] est le plus petit majorant de cette fonction (Il peut très bien s’agir d’autre chose que d’une fonction, comme d’un ensemble ou d’une partie d’un ensemble par exemple).

Quelques exemples :

inf[a;b] = a
inf]a;b] = a
sup]a;b[ = b
]0;+∞[ n’admet pas de borne supérieure, tout comme ]-∞;0] n’admet pas de borne inférieure.

Les théorèmes concernant les bornes supérieures et inférieures sont les suivants :

  • Toute partie non vide de R et majorée admet une borne supérieure.
  • Toute partie non vide de R et minorée admet une borne inférieure.

Exemples :

Soit A = ]0;1[.
SupA = 1. En effet, les majorants de A sont les éléments définis sur [1;+∞[.
InfA = 0. Les minorants de A sont les éléments définis sur ]-∞;0].

Voici une proposition de caractérisation de la borne supérieure :

La borne supérieure de A, est l’unique réel sup A, tel que :
si x ∈ A, alors x ≤ sup A.
Pour tout y < sup A, il existe un x ∈ A, tel que y < x.

En effet, si on considère par exemple l’ensemble A ∈ N, compris dans l’intervalle [0;20[, alors on peut écrire :

x ≤ 20. Pour tout y < 20, il existe un un x ∈ A, tel que y < x. Cela est vrai, car y ≤ 19, et x ≤ 20, et 19 < 20, donc y < x.

Nous pouvons démontrer ceci de manière plus formelle :

Nous allons soumettre une formulation, et démontrer qu’elle est vraie, et ainsi définir cette formule comme la preuve de l’existence ou non du plus petit majorant d’un ensemble, et par extension, de la borne supérieure de cet ensemble :

M ne majore pas A revient à dire qu’il existe un x dans A, tel que x > M.

Dans l’intervalle [0;20[, x ≤ 20, donc 20 majore [0;20[
Maintenant, il faut démontrer que 20 est le plus petit majorant de l’intervalle pour définir la borne sup.
Il faut voir deux cas :

  • Le premier cas, lorsque M < 0.
    On sait que 0 est dans l’intervalle [0;20[, mais si M < 0, alors M ne peut pas majorer l’intervalle [0;20[.
  • Deuxième cas, lorsque M est compris entre 0 et 20. On peut démontrer qu’il est toujours possible de trouver un élément qui sera plus grand et qui sera inclus dans l’intervalle, tel que M < M +20 / 2 par exemple. En effet, pour tout x que l’on choisit, 19 par exemple, 19 + 20 / 2 = 19.5 et 19.5 > 19.
    Donc, ∀ M < 20, M ne majore pas [0;20[. Par conséquent, 20 est le plus petit majorant de [0;20[.

Il suffit de se référer à la formule qui dit que le sup d’un ensemble est le plus petit majorant de cet ensemble, c’est ce que nous avons démontré plus haut, pour définir la borne sup.

Il va de même pour la borne inf.

On peut faire l’analogie, et dire que la borne inférieure d’un ensemble est le plus grand minorant de cet ensemble.

Prenons par exemple :

Premièrement, on va montrer que 0 minore 1/n. 1/n est forcément positif, donc 0 minore 1/n. (n’oublions pas qu’on est dans les entiers naturel privés de 0).

A présent, montrons que 0 est le plus grand minorant, tel que ∀ m > 0, m ne minore pas A.

  • Premier cas, si m > 1. 1 ∈ A, donc 1 > m, donc m ne minore pas A.
  • Deuxième cas, si m ∈ ]0;1]. Ce qu’on veut essayer de démontrer, c’est si ∃ 1/n ∈ A, tel que 1/n < m. On va servir d’un objet ici qui va nous permettre d’affirmer que nos calculs sont justes. On va se servir de la propriété de la partie entière. On veut donc :

    On a le droit de passer à l’inverse en changeant le signe :

    On sait que 1/m est strictement compris entre la partie entière de 1/m et la partie entière de 1/m + 1. Si on écrit cela, on a :

    Etant donné que 1/m est positif, E(1/m) est forcément positif également, sans parler du fait qu’il ne peut pas être nul avec le +1.
    Maintenant posons n = E(1/m)+1. On sait que 1/m est positif, donc E(1/m) est positif également.
    De plus, par propriété de la partie entière, on sait que 1/m < E(1/m)+1. A présent, pour revenir au calcul initial, on inverse, on a donc :

    1/n est un élément de A, et c’est ce que nous voulions déterminer. Donc, m ne minore pas A.

Donc, pour tout m > 0, m ne minore pas A. Conclusion, 0 est le plus grand minorant, donc, la borne inf de A = 0.

Il existe une autre méthode. La méthode qui considère la caractérisation de la borne supérieure avec l’aide d’epsilon.

La formule dit que, ∀ ε, ∃ x ∈ A, M – ε < x. Cela veut dire, qu’en choisissant un epsilon arbitrairement, et aussi petit que l’on veut, il sera toujours possible de trouver un x qui sera plus grand que le majorant moins cet epsilon.
Prenons un exemple :

L’intervalle [0;1[. D’abord, on veut montrer que dans cet intervalle, quelque soit x, x ≤ 1. Mais ceci est automatiquement vérifié.

maintenant, on veut montrer que ∀ ε > 0, ∃ x ∈ [0;1[, tel que 1 – ε < x. Il faut encore séparer deux cas :

  • Le cas ou ε > 1.  On pose donc :

    On ajoute 1 :

    Donc :

    On peut donc bien affirmer que ∀ε > 1,  ∃ x ∈ [0;1[  tel que 1 – ε < x.
  • Le cas ou 0 < ε < 1
    Tout comme lors de notre preuve vu plus haut, on va montrer qu’il est toujours possible de trouver un epsilon plus grand, et de ce fait, qu’on peut toujours trouver un x plus grand que 1 – ε.
    On pose :

    On pourrait continuer comme ça, imaginons que ε = (1 – ε + 1)/2, on pourrait trouver plus grand encore :

    Si on en revient au premier x que vous avons trouvé « (1 – ε + 1)/2 », et qu’on l’écrit autrement : 1 – ε/2, on peut affirmer que ce résultat est toujours dans l’intervalle [0;1[.
    C’est finit, on vient de démontrer que ∀ 0 < ε < 1, ∃ x ∈ [0;1[ (en l’occurrence 1 – ε/2), tel que 1 – ε < x. Je pense qu’il n’est pas nécessaire de démontrer que 1 – ε < 1 – ε/2.

On peut donc en conclure que ∀ ε > 0, ∃ x ∈ [0;1[, tel que 1 – ε < x.

Théorème des valeurs intermédiaires :

On va ici étudier une fonction, dans un intervalle donné, et voir si on peut connaître les variations de cette fonction dans cet intervalle, si cette fonction est continue, si elle est strictement monotone ou non, et si elle admet une unique solution ou non lorsque f(x) = 0.
Prenons la fonction :

On va prendre l’intervalle [-4;-3]. On va essayer de savoir, en dérivant cette fonction par exemple, ce qui se passe avec les variations de f sur cet intervalle.

Si on factorise, pour pouvoir étudier plus facilement le sens de variation de la fonction :

Que remarque t-on ? On remarque que 3x est toujours négatif lorsque x < 0.
Pour x+2, x + 2 ≥ 0 lorsque x ≤ -2.
Donc, sur [-4;-3], x étant strictement supérieur à 2, la fonction est strictement croissante en effet, si on pose par exemple :

Donc, f'(x) > 0 sur l’intervalle [-4;-3]. Par conséquent, si la dérivée de la fonction est croissante sur cet intervalle, la fonction l’est aussi.

Nous allons nous servir maintenant, du théorème des valeurs intermédiaires, qui dit, qu’une fonction continue strictement monotone, sur un intervalle donné [a;b],, et pour un réel m donné, se trouvant entre f(a) et f(b), alors f(x) = m possède une unique solution dans l’intervalle [a;b].

Essayons de démontrer cela dans notre exemple. Nous voulons démontrer que f(x) = 0 admet une unique solution.

Le théorème des valeurs intermédiaires nous demandent de démontrer trois choses :

  1. La continuité de la fonction dans l’intervalle choisi.
  2. La stricte monotonie de la fonction sur cet intervalle.
  3. un changement de signe sur cet intervalle.
  1. On peut d’ors et déjà dire que la fonction est continue, pourquoi ? Car toutes les fonctions polynômes sont continues sur R (Pour l’instant, on va supposer que c’est vrai, nous démontrerons ceci dans le chapitre suivant), et donc, notre fonction est bien continue sur notre intervalle. le point numéro 1 est donc validé.
  2. Ensuite, la stricte monotonie. Eh bien, qu’avons nous trouvé lorsque nous avons dérivé la fonction. Nous avons déterminé que la dérivée était strictement croissante sur [-4;-3], si la dérivée est strictement croissante, alors la fonction l’est aussi, et si la fonction est strictement croissante, alors elle est strictement monotone. Le point 2 est également validé.
  3. Pour montrer qu’il y a bien un changement de signe, on va calculer f(-4) et f(-3).

    et

    Autrement dit, f(-4) est négatif, et f(-3) est positif. La fonction f change donc bien de signe sur l’intervalle [-4;-3].

On peut conclure en disant, que selon le théorème des valeurs intermédiaires, f(x) = 0 admet une unique solution sur l’intervalle [-4;-3].