Notion de limite et de continuité

Formalisme de Weierstrass, définition formelle de limite et de continuité :

Jusqu’au dix-neuvième siècle, les notions de fonction continue, de limite, de valeurs en l’infini sont mal connues et mal comprises.
il faudra attendre l’arrivée de Cauchy, de Bolzano, ou encore, de Weierstrass, pour leur donner une signification mathématique et une définition formelle.

Limite :

Nous allons commencer par revoir un petit peu ce qu’est une limite. Nous aurons besoin de comprendre rigoureusement de quoi il s’agit pour définir également, plus formellement, les notions qui suivent.
Nous en avons certes déjà vu certaines, mais la première partie de cette page ne propose pas réellement de preuve algébrique, et dans la majeure partie des cas, nous avons seulement supposé de leur véracité sans les démontrer.
Grâce aux chapitres précédents, on sait qu’une limite est un nombre, ou une valeur, vers laquelle une fonction tend lorsque l’on considère un x de plus en plus proche d’une certaine valeur ou un x de plus en plus grand/petit. On a vu également, qu’il se peut que la fonction en question atteigne ou n’atteigne pas cette limite. Lorsque la limite est atteinte, cela veut dire que l’image de x (la valeur de la fonction), prend elle même cette valeur en ce point. En revanche, lorsque la limite n’est pas atteinte, ça signifie que plus on choisit un x proche d’une valeur fixée, ou élevée, (positive OU négative) et plus la fonction se rapproche, tend vers cette valeur, mais ne l’atteint jamais, quelque soit la valeur de x.

Ce que nous avons fait plus haut, a été de discuter des propriétés des limites, en supposant qu’elles existaient. Cependant, à aucun moment n’avons nous apporté la preuve algébrique de la véritable nature de ces dernières.
C’est ce que nous allons faire dans ce chapitre. Ici, nous allons démontrer que les propriétés d’une limite correspondent bien à la définition que nous en avons donné plus haut.

La définition de la limite d’une fonction f en un point c, et que nous connaissons, est :

Mais ceci est t-il rigoureux ? Ceci est t-il une preuve de l’existence de cette limite ? Peut on affirmer avec certitude, en choisissant par exemple, quelques valeurs de x, que l’on juge adéquats, en essayant de voir si ça correspond, ou alors, en regardant le graphique de la fonction. La preuve est t-elle faite ? Est-ce suffisant ?
Bien évidemment, non, c’est suffisant lorsqu’on choisit volontairement de définir que ça l’est, mais ce n’est pas tout à fait rigoureux.

Mais alors, comment démontre t-on l’existence de la limite d’une fonction, et ceci, avec précision ?

En fait, il faut réussir à démontrer qu’on peut prendre f(x) aussi près de L que l’on veut, en faisant en sorte que x, soit aussi près de c que possible.
On va essayer d’écrire ce souhait de manière mathématique. Nous expliquerons ensuite son sens :

Traduction ?

Ce que cela veut dire, c’est qu’en prenant un epsilon quelconque strictement positif, tel que ε ∈ [L – ε ; L + ε] (ceci étant un intervalle de y) , alors il existe un delta, telle que ∀ x ∈ [c – δ ; c + δ], et tel que si la distance entre x et c est inférieure à ce delta, alors cela implique que la distance entre f(x) et L est inférieure à epsilon.
Ceci n’est pas forcément facile à comprendre, ce que l’on va faire, c’est le représenter dans un graphe, en prenant la limite en 1, de la fonction cube :

Nous allons prendre un exemple et un contre exemple, et tenter de démontrer l’existence de la limite en un point de deux fonctions.

Nous allons prendre comme première exemple, la fonction f(x) = x³ avec x ∈ R, et tenter de démontrer que :

La première chose à faire, et d’essayer de trouver delta. Si on se sert de la formule, on doit essayer de prouver que :

Soit f, une fonction de \mathbb{R} dans \mathbb{R}, soit c=2, \forall \epsilon >0, \exists \delta >0, telle que \lvert x-2 \rvert < \delta implique \lvert x^3 - 8 \rvert < \epsilon

Attention, ceci est ce que nous souhaitons démontrer, pour le moment, on ne connait pas delta, donc, il nous est impossible d’affirmer l’implication.
Essayons de décomposer |x³ – 8|. Servons nous d’une identité remarquable. Posons ceci :

On sait que |x – 2| < δ, alors, en enlevant la valeur absolue, on a le droit de dire que :

On va poser δ = 1.
Donc, on peut dire que :

En considérant cela, on peut réécrire notre calcul de cette manière :

Mais on sait que |x – 2| < δ, alors on peut également écrire ceci :

Ce que l’on voudrait, c’est que :

Nous avons le droit de faire ça, pourquoi, car nous avons le droit d’exprimer delta en fonction d’epsilon. En revanche, il nous aurait été impossible d’exprimer delta en fonction d’epsilon ET de x.
La clé est de savoir que n’importe quelle valeur de delta plus petite que ε/19 marche également.
Désormais, il nous faut prouver cela, en considérant ε > 0 et  :

On réécris notre calcul, en remplaçant delta par sa valeur :

L’implication est bien démontrée, les 19 se simplifient et l’exigence formelle de la définition de la limite de x³ lorsque x tend vers 2 est démontrée, et la limite est bien 8.

Essayons de faire de même, mais en prenant une fonction trigonométrique, la fonction cosinus par exemple. Voyons si la fonction admet une limite en x = 0.

On va tenter de démontrer que :

On veut démontrer que la formule suivante est vraie :

Pour cela, il va falloir faire quelques arrangement et décompositions, et définir un intervalle.
On veut essayer de donner une estimation de |1 – cos(x)| pour un x proche de 0, on va donc supposer que 0 < |x| < 1.
On sait que 1 + cos(x) > 1 étant donné qu’on a pris 0 < x < 1.

A présent, il faut modifier l’écriture de la valeur absolue, en utilisant une petite astuce :

cos(x) est strictement positif sur notre intervalle, ce qui veut dire que :

Selon une propriété bien connue (à ne pas oublier de démontrer), on sait que |sin(x)| < |x|, par conséquent, on peut écrire :

En effet, ne pas oublier qu’on prend x entre 0 et 1, et le carré d’un nombre entre 0 et 1 est forcément plus petit que le nombre lui même.

Maintenant il faut définir delta, et on va imposer deux conditions à delta, la première c’est de poser : δ = ε.
La seconde c’est de poser δ < 1. En effet, ayant pris x dans l’intervalle ]0;1[, on veut s’assurer qu’on travaille bien dans cet intervalle.
Grâce à ces deux conditions, on peut écrire :

Ce que vous avez peut être remarqué, c’est l’inégalité la plus forte est :

Donc si on fixe les deux conditions δ = √ε et δ < 1, on peut également écrire :

A présent, nous allons voir les définitions de limites lorsqu’on traite des infinis.

Premier exemple, avec x qui tend vers + l’infini :

Ceci est délicat, on ne peut pas utiliser la définition usuelle de la limite en un point, car il s’agit ici de prendre x qui tend vers l’infini. On va donc devoir changer de méthode et définir une formule un peu différente.
Ce que l’on veut intuitivement vérifier, et ensuite démontrer rigoureusement, c’est qu’en prenant un x assez grand, on peut définir un nombre, tel que pour tout x supérieur à ce nombre, alors la distance entre f(x) et la limite est inférieure à un epsilon quelconque strictement positif. Graphiquement, cela ressemble à cela :

Donc, la relation que l’on souhaite démontrer, en écrivant la formule, est :

Dans notre cas de figure :

Ce que nous allons faire pour commencer, c’est essayer de trouver A.
Pour cela, nous allons rédiger une sorte de brouillon, ou en anglais « scratch work », pourquoi un brouillon? Car comme nous l’avons dit plus haut dans d’autres exemples, nous n’avons pas le droit en premier abord, d’exprimer epsilon, car l’implication est à démontrer. Donc, on pose :

On sait que 1/x² est forcément positif, donc on retire la valeur absolue et on passe à l’inverse :

On se débarrasse du carré et on a donc :

On va arrêter là avec notre brouillon et définir A telle que : A = 1/√ε.

A présent la preuve :

La preuve est faite.

Maintenant, dans ce troisième exemple de limites avec des infinis, on va démontrer la limite d’une fonction, qui tend vers -∞ lorsque x tend vers 0, la fonction logarithme népérien.

On va donc utiliser une formule encore un petit peu différente. (Attention, cette formule fonction pour une limite de +∞, dans le cas du logarithme lorsque x tend vers 0, on fera évidemment un changement de signe).
Présentons là et nous verrons si nous pouvons la comprendre graphiquement :

Le graphique pour la fonction logarithme népérien :

Comment procéder ici ? Tout d’abord, on sait que ln(x) < x.
Donc, ce que l’on peut écrire, c’est :

Mais si x < A, alors ln(x) < ln(A).
En posant A = exp(M), on a :

La preuve est faite.

Abordons les derniers cas de limites, les limites à gauche et à droite.
On va étudier les limites de la fonction inverse à gauche et à droite de 0.
Voici le schéma de la fonction inverse, que nous connaissons déjà :

Quelles pourraient être les définitions formelles qui nous permettraient de rigoureusement démontrer les limites de cette fonction à droite et à gauche de 0 ?

Il n’existe pas de moyen unique de définir plusieurs limites en un seul calcul, en revanche, on peut scinder la preuve en deux parties, la première, sera de calculer la limite d’un côté, et la deuxième, de l’autre.

Commençons par voir de quelle manière on pourrait définir formellement la limite à gauche.
Tout comme dans le calcul de la limite du logarithme népérien que nous avons vu plus haut, il faut que l’on trouve un réel négatif, telle que sur un intervalle donné de x, la fonction soit strictement inférieure à ce nombre réel strictement négatif. Par exemple, pour imager nos propos, si on arrivait à démontrer qu’en prenant un intervalle de x compris entre -0.5 et 0, la fonction serait strictement inférieure à nombre réel négatif, la preuve serait faite.

Déjà, on peut écrire :


Nous allons tenter de démontrer ceci, tout d’abord, écrivons la définition formelle d’une limite à gauche lorsque x tend vers une valeur quelconque (nous réécrirons le cas de la fonction 1/x lorsque x tend vers 0, car la fonction tend vers une limite infinie) :

Mais attention, dans notre cas de figure, il s’agit d’une limite infinie (-), donc, il faut réécrire comme ceci (En observant le graphique qui va suivre, vous comprendrez la nuance) :

C’est long, mais ce n’est pas si compliqué que cela à comprendre, regardez l’interprétation graphique :

A présent, reformulons avec notre fonction :

Le calcul est très rapide, mais il faut faire attention avec les changements de signes et les inverses.

On pose :

Donc, si on pose M = – 1/δ, la condition est remplie, et la preuve est faite.

Démontrons à présent la limite à droite, telle que :

Comme précédemment, Nous allons réécrire la définition formelle dans ce cas de figure. Si vous avez bien suivi, vous devriez être capable de l’énoncer vous aussi, et aussi bien que nous  :

Même chose que dans la démonstration précédente :

En prenant M = 1/δ et en remplaçant, la démonstration est terminée et la preuve est faite.