Notion de limite et de continuité

Continuité :

Vous devriez à présent être plus familiarisés avec les limites, et la technique de calcul utilisant epsilon et delta.
Nous allons maintenant donner la définition formelle de continuité selon Weierstrass, montrer sa nature graphique et expliquer son formalisme. Cette définition est la définition de continuité des mathématiques moderne, car elle est la plus rigoureuse.

Voici comment Weierstrass définit rigoureusement la continuité d’une fonction en un point :

Sur un intervalle I de R, et f une fonction définie sur I, on dit que f est continue en a si et seulement si :

Expliquons un peu ceci, en prenant la fonction carré comme exemple, et en montrant ensuite le schéma de la fonction sur un graphe.
Nous allons également montrer que cette fonction est continue sur R entier.

Si on devait tourner cette phrase d’une manière plus littéraire, cela voudrait dire que, en choisissant un point a de x ∈ R, il est possible, de trouver autour de f(a), un epsilon strictement positif, tel que la distance entre x et a soit strictement inférieure à delta (qu’il faudra déterminer), et qui implique que la distance entre f(x) et f(a) soit strictement inférieure à epsilon.
Dit autrement, on choisit un x ∈ [a – δ ; a + δ], et on affirme que, si la fonction est continue en a, alors, en prenant f(x) ∈ [f(a) – ε ; f(a) + ε], il sera toujours possible d’encadrer la fonction dans [f(a) – ε ; f(a) + ε], quelque soit x ∈ [a – δ ; a + δ]. Cela revient à dire que mathématiquement que :

Cela veut aussi dire que delta dépend de a et de epsilon et que, de manière sous-jacente, delta doit être plus petit que epsilon. Avant de démontrer algébriquement que ceci est vrai, en prenant comme exemple f(x) = x², nous allons représenter ceci graphiquement pour vous aider à comprendre ce qu’il se passe en un exemple :

En fait, on choisit un epsilon quelconque tel que, quelque soit x ∈ [a – δ ; a + δ], la fonction f(x) reste bornée dans [f(a) – ε ; f(a) + ε].
Par exemple, si on prend x = 1.1, on voit bien que f(1.1) est bien bornée dans [f(a) – ε ; f(a) + ε].
En revanche, avec un delta trop grand, en prenant par exemple x = 0.5, on voit que la fonction n’est plus définie dans [f(a) – ε ; f(a) + ε].

Réécrivons la formule avec la fonction x² défini dans R, en supposant qu’elle est vrai, voyons si nous pouvons la démontrer :

Ce qu’il faut dans la plupart des cas, c’est de trouver des « astuces » afin d’arriver à définir des intervalles et démontrer la continuité de la fonction via la formule.
Commençons par démontrer la continuité sur R entier, et nous verrons ensuite que la formule s’applique pour tout x ∈ R.
Tout d’abord, définissons ce dont nous avons besoin, nous avons besoin de démontrer que :

Ce qu’il faut préciser, c’est que nous ne savons pas au premier abord, si la fonction est bornée dans l’intervalle 2ε, c’est ce que nous allons tenter de démontrer. En revanche, on peut d’ors et déjà décomposer ceci :

En effet, on peut décomposer ceci grâce à l’identité remarquable a² – b² = (a – b).(a + b).

Maintenant, on sait aussi que |x – x0| < δ, on peut donc poser ceci :

Ce qui nous pose problème, c’est le |x + x0|, on ne pourra pas faire grand chose avec si on ne le transforme pas. On va donc devoir trouver une astuce.
Ce que l’on pourrait faire par exemple, c’est dire que (a + b) = (a – b + 2b). Très bien, appliquons ceci dans notre calcul :

En se servant de l’inégalité triangulaire, on sait que |a + b| ≤ |a| + |b|, alors :

Comme plus haut, on voit encore que |x – x0| < δ, alors on remplace :

Ce que l’on sait, c’est que δ( δ . |2.x0|) doit être inférieur à epsilon pour satisfaire les conditions que l’on souhaite.
Donc, que pouvons nous faire ici ? Ce que l’on souhaiterait, c’est pouvoir écrire ceci, et ainsi pouvoir démontrer l’implication, et par extension, la continuité :

Avons nous le droit d’écrire ceci ? Eh bien non, pourquoi ? Car on ne connait pas (encore) delta, cette écriture n’est pas satisfaisante, car elle ne nous avance pas dans la résolution du problème. Alors qu’est t-il possible de faire ? Ce problème a t-il a une solution ?

Oui, en fait, ce que l’on peut faire, c’est imposer deux conditions à delta. Pour ceci, on peut utiliser une petite astuce.
La première, va d’être de poser δ < 1. Rien ne nous interdit de faire cela. En fait, le delta à gauche de l’inégalité ne nous préoccupe pas, si nous faisons ceci, c’est pour nous débarrasser de celui dans la parenthèse, car il nous pose problème.
Donc, ce que nous allons faire, c’est poser δ < 1, et donc écrire :

A ce moment là, on a le droit de poser :

Ceci rend les choses beaucoup plus claires, car à présent, si on remplace delta dans notre calcul par sa valeur dans l’inégalité précédente, on a :

On voit bien que les 1 + |2.x0| se simplifient, et finalement, on retrouve bien epsilon, ce qui veut dire que la continuité est bien démontrée !

A présent, il nous faut exprimer delta, et ceci, sous deux conditions.

Ce que l’on peut faire, c’est de combiner ces deux idées, et poser :

Mais alors delta, il est égal à quoi ? Eh bien, les seules conditions concernant delta, ce sont celles ci dessus, donc, nous pourrions le fixer, tout simplement, en écrivant par exemple :

Et le cas ou x0 = 0? Eh bien qu’est ce qu’on peut déjà remarquer ? Plus x0 est grand/petit, plus delta est petit par rapport à epsilon. Lorsque x0 = 0, on se retrouve avec :

Si on a x0 = 0, et qu’on prend par exemple ε = 1, alors il suffirait de prendre δ = ε/2 = 1/2.
Rappelez vous que définir delta est arbitraire, tant que sa valeur respecte les conditions le concernant.
Par exemple, on aurait très bien pu prendre :

C’est d’ailleurs pour cela que la fonction x² est continue sur R, mais pas uniformément continue, car elle dépend de x0 ET de epsilon, mais nous verrons cela plus tard.