Notion de limite et de continuité

Continuité uniforme :

Nous avons vu ce qu’était la continuité, mais qu’est ce que la continuité uniforme ?
En fait, la continuité uniforme est une notion plus « forte » que la continuité, dans le sens, ou elle est plus restrictive.
La continuité nous dit qu’on souhaite trouver un delta pour « encadrer » la fonction dans un rectangle et qui dépend à la fois de epsilon et à la fois de x.
La continuité uniforme elle, impose de trouver un delta qui dépend uniquement de epsilon. En fait, graphiquement, cela revient à dire que le rectangle qui encadre la fonction, se doit d’être le même (même dimension), quelque soit la valeur de la fonction que nous choisissons sur l’intervalle étudié :

Il existe une autre nuance. La continuité peut être présente sur un point ou un intervalle, la continuité uniforme elle, peut uniquement exister sur un intervalle.

Alors, comment elle est formellement définie ? Voici la définition rigoureuse :

On va prendre trois exemples qui devraient vous suffire à comprendre la notion.
le premier, consistera à démontrer la continuité uniforme de la fonction racine carrée sur l’ensemble des réels positifs.

On pose donc :

F:I\in\mathbb{R},~\forall\epsilon>0,~\exists\delta>0,~\forall{x},{y}\in{I},~|x-y|<\delta\implies\mid\sqrt{x}-\sqrt{y}\mid<\epsilon

Le calcul est en réalité assez simple, on sait que :

\mid\sqrt{x}-\sqrt{y}\mid^2\leq\mid\sqrt{x}-\sqrt{y}\mid\cdot\mid\sqrt{x}+\sqrt{y}\mid=|x-y|<\delta

Voyez vous ou nous voulons en venir? En effet, en fixant \delta=\epsilon^2, on voit bien que :

\mid\sqrt{x}-\sqrt{y}\mid^2<\delta=\epsilon^2, donc \mid\sqrt{x}-\sqrt{y}\mid<\sqrt{\epsilon^2}=\epsilon

la fonction racine carrée est bien uniformément continue sur son domaine de définition (les réels positifs).

On va prendre un deuxième exemple, cette fois, une fonction définie sur un intervalle dans lequel on va démontrer la continuité uniforme de cette fonction. On va prendre par exemple la fonction f:x\rightarrow{x^2}~avec~x\in[0;1].
On a vu plus haut que la fonction carré était continue sur l’ensemble des réels, mais est t-elle continue uniforme ? Non, et nous allons d’abord démontrer pourquoi elle ne l’est pas, et ensuite, nous démontrerons qu’elle l’est en revanche, sur un intervalle particulier, tel que x\in[0;1]. On va démontrer que ceci n’est pas vrai :

F:I\in\mathbb{R},~\forall\epsilon>0,~\exists\delta>0,~\forall{x},{y}\in{I},~|x-y|<\delta\implies\mid{x^2-y^2}\mid<\epsilon

Pour cela, on va tout d’abord considérer \epsilon=1 et y=x+\frac{\delta}{2}

On modifiant la valeur de x dans l’implication, on a :

|x^2-\left(x+\frac{\delta}{2}\right)^2|<1

Mais, en développant, grâce à l’identité remarquable que nous connaissons \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2, on a :

|x^2-\left(x^2+2\left(\frac{x\cdot\delta}{2}\right)+\left(\frac{\delta}{2}\right)^2\right)|<1

En simplifiant, on trouve :

|x\cdot\delta+\frac{\delta^2}{4}|<1

Ceci est absurde, pourquoi ? Car en prenant un x très grand, on constate bien que le résultat sera supérieur à 1. Donc, on vient bien de démontrer que f(x)=x^2 n’est pas continue uniforme sur \mathbb{R}.

Dernier exemple. A votre avis, la fonction sinus est t-elle uniformément continue sur \mathbb{R} ?
Oui, elle l’est, et nous allons le démontrer assez facilement.

Donc, en utilisant le formalisme de Weiestrass, on doit démontrer l’implication suivante :

F:I\in\mathbb{R},~\forall\epsilon>0,~\exists\delta>0,~\forall{x},{y}\in{I},~|x-y|<\delta\implies\mid{\sin(x)-\sin(y)}\mid<\epsilon

Il faut se rappeler des propriétés des opérations sur les fonctions trigonométriques, si ce n’est pas le cas, allez jeter un coup d’œil à la page consacrée à ces dernières.
On peut donc réécrire de cette manière :

|\sin(x)-\sin(y)|=2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)|

Il faut également se rappeler de deux propriétés, telles que :

|\sin(x)|\leq|x| et |\cos(x)|\leq{1}

Prenons \epsilon>0 et \delta=\epsilon
Par conséquent, en prenant en compte les propriétés ci-dessus, on a le droit d’écrire :

|\sin(x)-\sin(y)|=2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)|\leq{2}\cdot|\frac{x-y}{2}|

Donc, on voit facilement que :

|\sin(x)-\sin(y)|\leq{2}\cdot|\frac{x+y}{2}|=|x-y|\leq\delta=\epsilon

La fonction sinus est bien continue uniforme sur l’ensemble des réels. Petit défi, démontrez que la fonction cosinus l’est également ! 🙂