Polynômes et équations de degrés n

Bonjour, aujourd’hui, nous allons parler de polynômes. Ce chapitre est très important en maths et en physique, car il pose les bases de l’analyse et de l’algèbre.

Voici comment cette page sera présentée :

  • Définition d’un polynôme.
  • Opérations sur les polynômes.
  • Du vocabulaire.
  • Arithmétique des polynômes.
  • Dérivation formelle d’un polynôme.
  • Racines d’un polynôme.
  • Théorème de D’Alembert-Gauss.
  • Polynômes irréductibles.
  • Théorème de factorisation et factorisation dans \mathbb{C}[X] et \mathbb{R}[X].
  • Polynômes de fractions rationnelles.
  • Décomposition en éléments simples sur \mathbb{R} et \mathbb{C}.

Compléments :

  • Formule de Taylor pour les polynômes.
  • Résolution d’équations de degré 3 et équations de degré 4 à travers la méthode de Cardan et Ferrari.
  • Interpolation numérique et linéaire.
  • Polynômes d’interpolation de Lagrange.
  • Polynômes de Tchebychev.
  • Polynômes de Bernoulli.
  • Polynômes d’Hermite.

Définition et concepts de base sur les polynômes :

Un polynôme est une expression formée uniquement de produits et de sommes de constantes et d’indéterminés, qu’on note habituellement X, Y et Z.

  • Un polynôme à coefficients dans K (K étant le corps des Rationnels, Réels ou des Complexes) est une expression de la forme :
    P(X) = a_nX_n + a_{n-1}X_{n-1} + ... + a_2X_2 + a_1X + a_0 avec n\in N et a_0,a_1,...,a_n\in K.
  • Les a_i sont appelés les coefficients du polynôme.
  • K comme nous l’avons dit, désigne le corps \mathbb{Q}, \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
  • Si tous les coefficients ai sont nuls, P est le polynôme nul, il est noté 0.
  • L’ensemble des polynômes est noté \mathbb{K}[X]

On peut noter un polynôme de sorte que :

P(X)=\sum_{i} a_i X^i

  • Le degrés de P est le plus grand entier i telle que a_i\ne 0 ; On le note Deg(P). Par exemple, le degrés du polynôme X^3 + 2X^2 + X est 3. En revanche, le polynôme 2X^3Y^2 + Y + 9 est de degrés 5, car X^a\times X^b=X^{a+b}
  • 2X^3Y^2 est considéré comme un seul et même monôme, il faut donc additionner ses exposants, 2XY^3+2 = 2XY^5. On sait que le degrés du produit de deux nombres est la somme de leur degrés (Nous verrons plus bas que les propriétés des polynômes sont similaires à celles des nombres pour les opérations).
  • Un polynôme de la forme P = a_0 avec a_0\in K, est appelé un polynôme constant. En effet il s’agit simplement par exemple, d’un scalaire comme 2, 2 est un polynôme constant. Si a_0\ne 0, son degrés est 0.
  • Le polynôme de degré nul est par convention -\infty, pourquoi ? Car ainsi, si on écrit deg(AB) = deg(A) + deg(B), et que l’un des deux polynômes est nul, alors cela revient à faire -\infty + d = - \infty. Il existe d’autres raisons au choix de cette convention, mais celle ci était suffisante, nous ne nous attarderons pas dessus plus longtemps.

Donnons quelques exemples de polynômes, nous allons voir alors, que déterminer leur degrés est très simple.

X^3 - 5X + \frac{3}{4} est un polynôme de degré 3.
X^n + 3 est un polynôme de degré n.
2 est un polynôme constant, de degré 0.

Mais qu’est qu’un polynôme si on le décompose ?

On peut décomposer un polynôme en plusieurs objets que l’on appelle des monômes. a_k X^k est un monôme. Un polynôme est une somme finie de monômes.
Prenons par exemple le polynôme P = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + a_1 X + a_0 avec a_n\ne 0.

  1. On dit que a_n X^n est le terme dominant.
  2. On dit que a_n est le coefficient dominant.
  3. Si a_n = 1, autrement dit le coefficient du monôme dominant, alors P est un polynôme unitaire.
    Exemples : X^3 + 4X^2 + 2 ; X^2 + 5X + 4...
    Ou encore, P(X) = (X - 1) ( X^n + X^n-1 + ... + X + 1) est il un polynôme unitaire ?
    La réponse est oui, car X \times X^n = X^{n+1} et on voit bien que le coefficient devant X^{n+1} est 1.

Opérations sur les polynômes :

Egalité :

Soit deux polynômes non nuls P = anXn + an-1Xn-1 + … + a1X + 0 et Q = bnXn + bn-1Xn-1 + … + b1X + 0.
P = Q, si et seulement si , ai = bi, pour tout i.

Addition :

P + Q = (an + bn)Xn + (an-1 + bn-1)Xn-1 + … + (a1 + b1) + (a0 + b0).

Exemple :

  • P = aX³ + bX² + cX + d. Q = αX² + βX + γ.
    P + Q = aX³ + (b + α)X² + (c + β)X + (d + γ).
  • P × Q = (aα)X^5 + (aβ)X^4 + (aγ)X³ + (bα)X^4 + (bβ)X³ + (bγ)² + (cα)X³ + (cβ)X² + (cγ)X + (dα)X² + (dβ)X + dγ.
    A présent, en factorisant, on a :
    P × Q = (aα)X^5 + (aβ + bα)X^4 + (aγ + bβ + cα)X³ + (bγ + cβ + dα)X² + (cγ + dβ)X + dγ.
  • P = Q si et seulement si a = 0 , b = α, c = β et d = γ.

Multiplication :

P = anXn + an-1Xn-1 + … + a1X + 0 avec des coefficients ai et Q = bmXm + bm-1Xm-1 + … + b1X + 0 avec des coefficients bj.
P × Q = crXr + cr-1Xr-1 + … + c1X + c0.
*r est le résultat de n + m et avec les sommes des ai bj avec k ∈ {0,…,r} tel que :

Multiplication par un scalaire :

Soit λ ∈ K, λ . P est le polynôme dont le ième coefficient est λai.

Propriétés des opérations usuelles :

  • 0 + P = P (élément neutre pour l’addition)
  • P + Q = Q + P (commutativité pour l’addition)
  • P + (Q + R) = (P + Q) + R (associativité pour l’addition)
  • 1 × P = P (élément neutre pour la multiplication)
  • P × Q = Q × P (commutativité pour la multiplication).
  • P × (Q × R) = (P × Q) × R (associativité de la multiplication).
  • P × (Q + R) = (P × Q) + R (distributivité de multiplication par rapport à l’addition).
  • Deg(P × Q) = Dep(P) + Deg(Q). En effet, le degré du produit de deux polynômes est la somme de leur degré.
  • Deg(P + Q) ≤ max(deg P, degQ). En effet, la somme des degrés n’est pas toujours supérieure au max de P et de Q, car il se peut que les degrés s’annulent. Par exemple Si P = 2X^4 et Q = 4X^4, alors Deg(P + Q) = 0.
  • On note Rn[X], l’ensemble des polynômes dont le degré est inférieur ou égal à n. Cette propriété assure que si P et Q sont dans Rn[X], alors P + Q est aussi dans Rn[X].

Arithmétique des polynômes :

Tout comme pour les nombres réels, il est possible d’appliquer les propriétés arithmétiques aux polynômes.

Division Euclidienne :

Nous commençons par les propriétés sur les divisions euclidiennes.

Prenons deux polynômes, A et B ∈ K[X]. On rappel que K désigne le corps Q, R ou C.
On dit que B divise A, si il existe un Q ∈ K[X], tel que A = BQ.
On note alors B|A, ou A est un multiple de B, ou A est divisible par B.

Propriétés évidentes :

  • A|A. 1|A et A|0.
  • Si A|B et B|A, alors on ne peut pas dire que A = B, mais…. Presque… On dit qu’il existe un λ ∈ K*, tel que A = λB.
  • Si A|B et B|C, alors A|C.
  • Enfin, si C|A et C|B, alors C|(AU + BV), pour tout U,V ∈ K[X].

Vous connaissez la division euclidienne de deux entiers, si ce n’est pas le cas, dans un souci de compréhension, veuillez vous réferrer au chapitre « Arithmétique dans Z« .
Voici la division euclidienne de deux polynômes :
Soient A et B dans K[X], avec B ≠ 0. Il existe des polynômes Q et R uniques, tels que :
A = BQ + R et degR < degB.

  • Par analogie à l’arithmétique des entiers, Q est le quotient, et R est le reste de la division euclidienne.
  • Attention à bien retenir la condition sur les degrés, qui permet d’assurer l’unicité : degR < degB équivaut à dire que R = 0 ou 0 ≤ degR ≤ degB.
  • En revanche, si R = 0, alors B|A évidemment.

Nous allons prendre un exemple et effectuer une division euclidienne de deux polynômes :

Soit A = 2X^4 – X³ – 2X² + 3X – 1, et B = X² – X  +1.
Si on applique la propriété de la division euclidienne, on a A = BQ + R.

Donc, Q = 2X² + X – 3 et R = -X + 2.  En effet, si on décompose, on a A = 2X^4 – X³ – 2X² + 3X – 1 =  (X² – X  +1) × (2X² + X – 3) – X + 2 = 2X^4 + X³ – 3X² – 2X³ – X² – 3X + 2X² + X – 3 – X + 2.

Donc on pose :

Le quotient commence donc par 2X². On continue en multipliant 2X² par X² – X + 1 et qui vaut 2X^4 – 2X³ + 2X². On soustrait ce résultat à notre polynôme de départ. On a fait en sorte que les termes de degré 4 s’annulent.

On obtient un reste provisoire de de degré 3, mais le degrés 3 est supérieur au degré du diviseur, il faut donc continuer. Combien de fois peut on mettre X² – X + 1 dans X³ – 4X² + 3X – 1 ? La réponse est X fois, donc :

On fait X × (X² – X + 1) que l’on soustrait au reste provisoire X³ – 4X² + 3X – 1 et on a :

On passe alors d’un reste de degré 3 à un reste de degré 2. Cependant, on veut un reste de degré strictement inférieur au diviseur (2), donc il faut continuer. Combien de fois peut on mettre X² – X + 1 dans -3X + 2X – 1 ? La réponse est -3 fois. On multiplie donc X² – X + 1 par -3, et on soustrait :

On obtient un nouveau reste, et comme ce reste est de degré strictement inférieur au diviseur, on arrête ici le processus.
On a bien un quotient Q = 2X² + X – 3 et un reste R = -X + 2.
On oublie pas de vérifier que A = BQ + R, chose que nous avons démontré plus haut.

On peut généraliser la division euclidienne de deux polynômes en écrivant :

A = BQ + R = an/bp X ^n-p + R. Avec an le nième coefficient du polynôme A, bp le pième coefficient du polynôme P, R le reste. En effet, si on pose la division euclidienne, on a :

PGCD de deux polynômes et algorithme d’Euclide :

Tout d’abord, rappelons ce qu’est un polynôme unitaire.
Un polynôme unitaire est un polynôme dont le plus grand coefficient est 1.

Maintenant, prenons A et B ∈ K[X], avec A ou B ≠ 0.

On dit qu’il existe un unique polynôme unitaire de plus grand degré, qui divise à la fois A et B. On le note pgcd(A,B).
Donc, si A = BQ + R, alors pgcd(A,B) = pgcd (B,R). Notion que nous avons vu dans le chapitre sur l’arithmétique.

On peut utiliser l’algorithme d’Euclide de la même manière que pour les entiers.
On pose A1 = BQ1 + R1 en n’oubliant pas que degR1 < degB.
Ensuite, on sait que logiquement, B = R1Q2 + R2, et que degR2 < degR1. De la même manière, R1 = R2Q3 + R3 avec degR3 < degR2, ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on puisse dire de manière générale que Rk-2 = Rk-1Qk + Rk avec degRk < degRk-1 et Rk-1 = RkQk+1.

  • On procède en faisant des divisions euclidiennes successives, et ainsi, le degré du reste diminue à chaque division.
  • Lorsque le reste est nul, l’algorithme est terminé.
  • pgcd(A,b) = pgcd(B,R1) = pgcd(R1,R2) = pgcd(R2,R3) = pgcd(Rk,0) = Rk.
  • On en conclue que le dernier reste non nul Rk est le pgcd (rendu unitaire) des deux polynômes de départ.

Voyons un exemple :

Essayons de calculer le pgcd de A = X^4 – 1 et B = X³ – 1.

On résout d’abord l’équation A = BQ + R.
X^4 – 1 = X³ – 1 × Q + R.
X^4 – 1 = (X³ – 1) × X + R, donc X^4 – 1 = X^4 – X + R. Donc R = X – 1.
Alors, X^4 – 1 = (X³ – 1) × X + X – 1.
On applique l’algorithme d’Euclide :
X^4 – 1 = (X³ – 1) × X  + X – 1, avec A = X^4 – 1, B = (X³ – 1), Q = X et R = X – 1.
Ensuite, on fait B = R1Q2 + R2, donc X³ – 1 = (X – 1) × Q2 + R2.
X³ – 1 = (X – 1) × (X² + X + 1) + R.  En effet, on a X³ – 1 = X³ + X² + X – X² – X – 1. Les X² et X s’annulent et on retrouve bien B.
Par conséquent, R2 = 0, car X³ – 1 = (X – 1) × (X² + X + 1) + 0.

Le pgcd est le dernier reste non nul, donc pgcd(X^4 – 1, X³ -1) = X – 1.

Théorème de Bézout :

Soit D, le pgcd(A,B). (Evidemment, on parle ici toujours de polynômes dans K[X]).

Il existe dans K[X], deux autres polynômes U et V, tels que AU + BV = D.

Prenons un exemple :

Prenons le même exemple que plus haut. On a vu que le pgcd(X^4 – 1, X³ – 1) = X – 1.

On effectue l’algorithme d’euclide, et donc on pose :

X^4 – 1 = (X³ – 1) × X + X – 1. On peut vérifier si vous voulez, on développe, et on trouve le même résultat ⇒ X^4 = X^4 – X + X – 1. Les X s’annulent bien évidemment.
Donc, ensuite, on prend le reste « X – 1 », et on continue l’opération : X – 1 = (X^4) × 1 + (X³ – 1) × (-X).
Que vient on de faire ici ? Rappelons le but de la manœuvre, ici, nous essayons de trouver un U et un V tels que AU + BV = D, par conséquent, on fait en sorte d’exprimer le reste « X – 1 », en fonction de A et de B, pour déterminer les multiples adéquats e trouver le pgcd : Comment exprimer X^4 – 1 (A) et X³ – 1 (B) en fonction de X – 1 ?
On pose X – 1 = (X^4 – 1) × U + (X³ – 1) × V et on essaye de trouver U et V.
On voit qu’en posant X – 1 = (X^4 – 1) × 1 + (X³ – 1) × (-X), on retrouve bien le résultat.
Donc U = 1 et V = -X conviennent dans cet exemple.

Exemple plus compliqué :

Prenons A = X^5 + X^4 + 2X³ + X² + X + 2 et B = X^4 + 2X³ + X² – 4.

On pose que pgcd(A,B) = X² + X + 2.

Démontrons le, en effectuant la division euclidienne de A par B :
A = B × (X – 1) + 3X³ + 2X² + 5X – 2. En effet, on a décomposé de cette manière :
A = (X^4 + 2X³ + X² – 4) × (X – 1) + 3X³ + 2X² + 5X – 2.
*Si on développe ceci, on a A = X^5 – X^4 + 2X^4 – 2X³ + X³ – X² – 4X + 4 + 3X³ + 2X² + 5X – 2. Si on simplifie ensuite, on retombe bien sur A = X^5 + X^4 + 2X³ + X² + X + 2.

Ensuite, on divise à présent B par le reste de la division de A par B : B = (3X³ + 2X² + 5X – 2) 1/9(3X + 4) – 14/9(X² + X + 2).
On peut également démontrer ceci : On fait la division euclidienne de (X^4 + 2X² + X² – 4)/(3X³ + 2X² + 5X – 2). Ceci à revient à calculer le nombre de fois qu’on peut « mettre » 3X³ + 2X² + 5X – 2 dans X^4 + 2X² + X² – 4. Le quotient est donc 1/9(3X + 4) et le reste est -14/9(X² + X + 2). Nous n’allons pas expliciter le calcul de la division euclidienne ici, nous vous invitons à le faire vous même, en vous aidant évidemment de la leçon sur les divisions euclidienne se trouvant au dessus.

On prend ensuite le reste trouvé ci dessus, qu’on va à son tour diviser par un quotient, et qui nous donnera un nouveau reste :
3X³ + 2X² + 5X – 2 = (X² + X + 2) (3X – 1) + 0. Si on développe ceci : 3X³ + 2X² + 5X – 2 = 3X³ – X² + 3X² – X + 6X – 2.
On simplifie : 3X³ – X² + 3X² – X + 6X – 2 = 3X³ + 2X² + 5X – 2. On a vu que le reste était nul, et donc on retombe bien sur notre égalité.

Ce n’est pas terminé (mais presque !), on part du pgcd qui est obtenu à partir du dernier reste non nul, c’est à dire -14/9(X² + X + 2), et on réécrit la ligne du dessus, colorée en rouge, sous cette forme :
-14/9D = B – (3X³ + 2X² + 5X – 2) × 1/9(3X + 4).
Cela devient un petit peu compliqué, mais on sait que 3X³ + 2X² + 5X – 2 est le polynôme qui est le reste de la division euclidienne de A par B, donc, ce que nous allons faire, c’est remplacer ce polynôme par une expression en fonction de A et de B :
-14/9D = B – (A – B × (X – 1)) × 1/9(3X + 4).
Maintenant, on regroupe les termes, suivez bien, c’est la dernière étape mais vous devez comprendre ce qui s’y passe, on a donc :
-14/9D = -A × 1/9(3X + 4) + B(1 + (X – 1) × 1/9(3X + 4)).
En simplifiant par -14/9, on a D = [-A × 1/9(3X + 4) + B(1 + (X – 1) × 1/9(3X + 4))]/-14/9 et on trouve que U = 1/14(3X + 4) et V = -1/14(9 +(X – 1)(3X + 4)= -1/14(3X² + X + 5).

Si on applique AU + BV = D, alors on a :
D = (X^5 + X^4 + 2X³ + X² + X + 2) × (1/14(3X + 4)) + (X^4 + 2X³ + X² – 4) × (-1/14(3X² + X + 5)). Nous sommes censé trouver « X² + X + 2 », rappelez vous, que nous avions énoncé comme étant le pgcd(A,B).

Ce que nous allons essayer de faire, c’est d’analyser cette équation, et essayer de la simplifier. Il y a une solution… La solution, c’est de poser :

D = [(X^5 + X^4 + 2X³ + X² + 2)(3X + 4)]/14 – [(X^4 + 2X³ + X² – 4)(3X² + X + 5)]/14. Qu’avons nous fait ici ? Nous avons rassemblé les terme de manière pratique, de manière à faire le produit des polynômes entre eux, et ne diviser par 14 qu’en dernier. On développe :
D = (3X^6 + 3X^5 + 6X^4 + 3X³ + 3X² + 6X + 4X^5 + 4X^4 + 8X³ + 4X² + 4X + 8)/14 – (3X^6 – 6X^5 – 3X^4 + 12X² – X^5 – 2X^4 – X³ + 4X – 5X^4 – 10X³ – 5X² + 20)/14. On simplifie :
D = (3X^6 + 3X^5 + 6X^4 + 3X³ + 3X² + 6X + 4X^5 + 4X^4 + 8X³ + 4X² + 4X + 8)/14 – (3X^6 – 6X^53X^4 + 12X² – X^52X^4 + 4X – 5X^410X³ – 5X² + 20)/14.
D = (19X² – 5X² + 10X + 8 + 4X + 20)/14.
D = (14X² + 14X + 28)/14
D = X² + X + 2. On retrouve bien notre D de départ.

Deux propriétés importantes :
Nous dirons que deux polynômes sont premiers entre eux, si le pgcd(A,B) = 1. Si nous avions par exemple trouvé que D = 1 dans l’exercice précédent, alors nous aurions pu dire que A et B étaient deux polynômes premiers entre eux.
Si pgcd(A,B) = 1, alors A = DA’ et B = DB’, et pgcd(A’,B’) = 1.

Corollaires importants du théorème de Bézout :

  • On dit que A et B sont premiers entre eux si et seulement si, il existe deux polynômes U et V, tels que AU + BV = 1.
    Par exemple, X – 1 et X² + 2X + 1 sont premiers entre eux.
    En effet, seul 1 et X – 1 divise X – 1 (logique). En revanche, X- 1 ne divise pas X² + 2X + 1 (vérifiez si vous voulez, posez la division euclidienne), donc, 1 est le seul diviseur commun que X² + 2X + 1 a avec X – 1, donc X – 1 et X² + 2X + 1 sont premiers entre eux.
  • Si C|A et C|B, alors C|pgcd(A,B).
  • Lemme de Gauss : Si A|BC, alors et pgcd(A,B) = 1, alors A|C.

Ppcm :

Soient deux polynômes non nuls A et B dans K[X]. Il existe un polynôme unitaire M de plus petit degré tel que A|M et B|M.

Cet unique polynôme est appelé le ppcm de A et de B qu’on note ppcm(A,B).

Par exemple, ppcm (X(X − 2)² (X² + 1)^4 ,(X + 1) (X − 2)^3 (X² + 1)^3)= X(X + 1) (X − 2)^3 (X² + 1)^4

Racines d’un Polynôme : 

Définition et propriétés :

Vous savez ce qu’est une racine, la racine d’un nombre, la racine d’un nombre a est un nombre qui, lorsqu’on multiplie une autre nombre b par lui même, redonne le nombre de départ a, comme √9 = 3 × 3, 3 est donc la racine de 9.

Alors, qu’est ce que la racine d’un Polynôme ? C’est un petit peu différent, la racine d’un polynôme P(X), est une valeur α, tel que P(α) = 0. En d’autres termes, c’est une solution de l’équation polynomiale P(x) = 0 d’inconnue x, ou encore, un zéro de la fonction polynomiale associée.
Par exemple, les racine du polynôme X² – X sont 0 et 1, car 1² – 1 = 0, et 0² – 0 = 0.

Un polynôme non nul dans K[X], à coefficient non nul, dans un certain corps, peut n’avoir de racine que dans un corps plus « gros », c’est à dire un ensemble contenant K comme sous ensemble.
Par exemple X² – 2, qui est un polynôme de degrés 2, n’a pas de racine rationnelle, mais à deux racines dans R (donc dans C également).

Par exemple, les racines du polynôme X² – 2 sont (X – √2) et (X – (-√2)).
Si on remplace X par √2, on a √2² – 2 = 0, ou -√2² – 2 = 0.
On remarque que -√2 n’est pas un réel, donc, le polynôme X² – 2 possède une racine réelle (√2) et deux racines complexes (√2) et (-√2).

  • Proposition : P(α) = 0 si et seulement si X – α divise P.
    La définition formelle est qu’une racine dans A du polynôme P est un élément α de A tel que, si l’on substitue à l’indéterminée X la valeur α, on obtient une expression nulle dans A.

On peut prouver cela grâce à la division euclidienne de P par X – α :
P = Q × (X – α) + R. On sait que R est un polynôme de degré strictement inférieur à (X – α) et également strictement inférieur à 1, car degR < deg(X – α) = 1.
On sait qu’un polynôme de degré strictement inférieur à 1 est un polynôme constant.
On conclu en disant que α ∈ K est une racine de P, si et seulement si, (X – α)|P.

Expliquons mieux tout ceci en donnant un exemple, car c’est peut être un peu trop théorique :

On veut trouver les racines P(αr) du polynôme P(X) = X² – 1.
Dans ce cas, on sait qu’il faut que :

  • P(X) divise X – α.
  • P(α) = 0.
  • P(x) = (X – α) × Q(X) + 0.

Si nous démontrons cela, alors nous aurons trouvé une racine de ce polynôme.
Donc, on va montrer que X = 1, est une racine de P(X), et c’est tout, il n’y a qu’une seule racine dans R donc P(αr) = P(α).

La première méthode est de poser P(1) = (1)² – 1. On trouve bien 0, donc X = 1 est bien racine de P(X).

La seconde méthode est de poser la division euclidienne de X² – 1/X – 1. On trouve évidemment la même chose, c’est à dire un reste nul.

Ordre de multiplicité :

Qu’est que c’est ? La multiplicité sur un polynôme est un nombre α, et qui est racine de P, si et seulement si P(α) = 0. Dans ce cas, on peut écrire P(X) = (X – α) × Q.

En fait, on peut étendre cette propriété autant de fois que l’on veut, et dire que α est une racine de multiplicité de k si P= (X – α)^k × Q (avec k, la dérivée k-ième du polynôme P).
Par contre, si (X – α) divise P, (X – α)^k+1 ne divise pas P.

Une autre manière de l’écrire et de dire qu’on fait le produit, de i = 1, à r, des X – αi :

On peut exprimer ceci d’une autre manière encore, on peut dire que P(α) = P'(α) = P »(α) = P(k-1)(α) = 0 et P(k)(α) ≠ 0.
En d’autre terme, il arrive un moment, ou, à force de dériver P, le résultat trouvé sera différent de 0, et pour cela, il faudra dériver k fois. Mais quel rapport entre la dérivation et les polynômes ?
Rappelez vous ce qu’il se passe lorsqu’on dérive une fonction puissance, si on a une fonction f, telle que f(x) = x³, que vaut f'(x) ? f'(x) = 3x². Vous remarquerez que l’exposant a diminué d’un degré avec la dérivation. Ceci est très utile pour nos polynômes…

Expliquons ceci à travers un exemple :

Prenons P(X) = X^4 – 2X³ + 2X² – 2X + 1.

On va montrer que 1 est une racine double (ou d’ordre 2) de P. Racine double veut dire que nous allons devoir dériver deux fois avant d’obtenir un reste nul et donc P(α) = 0. Il faut donc que P(1) = 0, P'(1) = 0 et P »(1) ≠ 0.

Donc P(1) = 1 – 2 + 2 – 2 + 1 = 0
P'(1) = 4 × 1 – 6 × 1 + 4 × 1 – 2 = 4 – 6 + 4 – 2 = 0
P »(1) = 12 × 1 – 12 × 1 + 4 = 4.  Ça y est, nous avons dérivé deux fois, et nous trouvons que P »(1) ≠ 0. 1 est donc bien racine double du polynôme X^4 – 2X³

+ 2X² – 2X + 1.

Une autre technique consiste à montrer que P divise (X – 1)² mais ne divise pas (X – 1)³.
Pour cela, nous effectuons la division euclidienne de X^4 – 2X³ + 2X² – 2X + 1 par (X – 1)².

On pose donc :

X^4 – 2X³ + 2X² – 2X + 1 / (X – 1)², on trouve un quotient de (X² + 1).
Ensuite, on multiplie le diviseur par le quotient (X – 1)² (X² + 1) = X^4 + X² – X² – 1.
Lorsque qu’on soustrait ceci au polynôme initial, on trouve un reste de 0. On en déduit que (X – 1)² divise bien X^4 – 2X³ + 2X² – 2X + 1.

Si maintenant, on pose X^4 – 2X³ + 2X² – 2X + 1 / (X – 1)³ ? Rappelons que (X – 1)^k n’est pas une valeur choisie au hasard, nous appliquons simplement la propriété de la division euclidienne de P par (X – α), α = 1 ici.

On trouve un quotient de (X – 1).
Si on multiplie ce quotient par le diviseur, on a (X – 1)³ (X – 1) = X^4 – X³ – X + 1.
Ah ! Si on soustrait ceci à X^4 – 2X³ + 2X² – 2X + 1 maintenant, on voit que le reste n’est pas nul ! Le plus grand degré s’annule certes, mais le degré trois et le degré un ne s’annulent pas, et en plus de cela, il reste un polynôme constant non nul. Par conséquent, si le reste n’est pas nul, (X – 1)³ ne divise pas P, on ne peut pas aller plus loin, donc, le polynôme P ne possède bien qu’une racine double en 1.

Pour résumer, lorsque k = 1, on parle de racine simple, lorsque k = 2 (ce qui est le cas dans l’exemple précédent), on parle de racine double, etc…

Théorème de D’Alembert Gauss :

Définition et exemple :

A présent que nous savons ce qu’est une racine de polynômes, intéressons nous à un théorème plus qu’importe.
Ce théorème s’appelle le théorème de D’Alembert Gauss, mais aussi, le théorème fondamental de l’algèbre (rien que ça!).
Ce théorème dit, que tout polynôme à coefficient complexe dans C, de degré n ≥ 1 possède au moins une racine dans C.
Plus précisément, on peut même dire que ce polynôme admet n racines si on compte chaque racine avec multiplicité. Alors qu’est ce que cela veut dire ? Nous allons tenter de mettre en pratique un exemple dans lequel nous allons essayer de trouver les racines d’un polynôme et qui sera l’application du théorème de D’Alembert Gauss. Une image vaut mieux que des mots, voyons donc cet exemple :

On pose P(X) = X³ – 3. On va factoriser ceci, car le but est de « scinder » ce polynôme pour le transformer en plusieurs polynômes et au cas échéant, arriver à un produit de polynômes irréductibles.
*Un polynôme irréductible est un polynôme qui n’est pas le produit de deux polynômes et qui n’est pas inversible. Par exemple : P(X) = X² + 1 est irréductible dans R (Mais pas dans C ! Vous pouvez toujours essayer, trouvez une valeur avec laquelle le P(α) sera égal à 0, il n’y en a pas dans R, il n’y en a que dans C).

Revenons à nos moutons, on a donc le polynôme P(X) = X³ – 3. On veut le factoriser en produit(s) de polynômes.
Donc on a P(X) = (X – 3^1/3) (X² + 3^1/3X + 3^2/3).
Oula ! Qu’est ce que c’est que tout ça ! Détaillons :
Si on développe, on a : P(X) = X³ + 3^1/3X² + 3^2/3X – 3^1/3X² – 3^2/3X – 3^3/3. Si on simplifie, on a bien X³ + 3^1/3X² + 3^2/3X3^1/3X²3^2/3X – 3^3/3 = X³ – 3.

On peut dors et déjà dire que le polynôme (X – 3^1/3) est irréductible, donc, car les polynômes de degré 1 sont toujours irréductibles (nous verrons ça plus bas). on va donc le laisser de côté pour le moment.

Nous allons nous intéresser au deuxième polynôme, et on va voir deux cas, un cas ou nous allons essayer de réduire à un produit de polynômes irréductibles sur R, et le deuxième cas sur C.

Sur R :
Que peut on dire, eh bien, sur R, il s’avère que le polynôme X² + 3^1/3X + 3^2/3 est en réalité irréductible, car il est de degré 2 et ne possède pas de racine réelle. Pourquoi ? car son discriminant est négatif, démontrons le :

Vous vous rappeler de la formule de calcul du discriminant, mais nous allons la redonner ici : Δ = b² – 4ac.
Si on l’applique à notre polynôme, on a : Δ = (3^1/3)² – 4 × 3^2/3 = 3^2/3 – 4 × 3^2/3 = -3 × 3^2/3 = -3^5/3.
Nous venons de démontrer que le discriminant est négatif, donc, le polynôme X² + 3^1/3X + 3^2/3 n’a pas de solution sur R.

La factorisation du polynôme X³ – 3 sur R, se limite donc à : (X – 3^1/3) (X² + 3^1/3X + 3^2/3).

Sur C :

Que nous dit le théorème de D’Alembert Gauss ? Il nous dit que tout polynôme dans C, admet au moins une racine dans C, et même n racines de multiplicité. Le polynôme X² + 3^1/3X + 3^2/3 est une polynôme de degré 2, donc, il devrait admettre deux racines complexes. Démontrons ceci :

On sait que Δ = -3^5/3, on l’a calculé plus haut, donc Δ = -3^5/3 = (i3^5/3)², pourquoi ?
Car selon les propriétés du nombre imaginaire, i² = -1, donc, i = 1 ou i = -1.
Ensuite, en appliquant les propriétés du discriminant complexe, on a : (-3^5/3 + i3^5/6)/2 ou (-3^5/3 – i3^5/6)/2.
* Rappelez vous, la résolution d’une équation complexe du second degré peut prendre deux formes :

  1.  (-b + i√(-Δ))/2a ou
  2.  (-b – i√(-Δ))/2a.

Donc, la fraction irréductible de ces deux polynômes dans C, est :

X³ – 3 =  (X – 3^1/3) (X – (-3^1/3 – i3^5/6)/2 (X – (-3^1/3 + i3^5/6)/2.

Rappels sur les discriminants de degré 2 de réels et complexes :

Vous vous souvenez sûrement de ce qu’est le discriminant d’une équation du second degré ?
Rappelons tout de même. Le discriminant apporte une information sur l’existence ou l’absence d’une racine multiple d’une fonction ou d’un polynôme.

Sur R :

Si on considère une équation de la forme ax² + bx + c = 0, alors, le discriminant s’écrit Δ = b² – 4 × a × c.

Lorsqu’on connait le discriminant, il y a plusieurs possibilités :

Si le discriminant est positif, alors l’équation polynomiale a deux solutions x1 et x2 données par les formules suivantes :
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{et}}\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{et}}\quad ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).}

Si le discriminant est nul, alors les deux solutions obtenues sont égales, et on dit que l’équation admet une racine double :

ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac b{2a}}\right)^{2}\quad {\text{et}}\quad x_{1}=x_{2}=-{\frac b{2a}}.

Si le discriminant est strictement négatif, alors il n’y a pas de racine réelle et donc l’équation n’a pas de solution réelle.

Sur C :

Le théorème de D’Alembert Gauss stipule qu’il existe toujours au moins une solution à l’équation, et dans le corps des complexes, un nombre admet toujours deux racines carrées.
On peut dire qu’il existe une valeur δ, tel que son carré soit égal à Δ.
Donc, l’équation admet deux solutions x1 et x2 données par les formules suivantes :

x_{1}={\frac {-b+\delta }{2a}}\quad {\text{et}}\quad x_{2}={\frac {-b-\delta }{2a}}.
Ceci correspond à écrire -b ± (i√|Δ|)²/2a. Ceci explique bien les deux solutions.

Si le discriminant est nul, la même solution apparaît deux fois, tout comme dans les réels, et l’équation admet une racine double de la forme :

\quad x_{1}=x_{2}=-{\frac b{2a}}.

Polynômes irréductibles :

On appelle polynôme irréductible, un polynôme dont les seuls diviseurs sont des constantes, ou le polynôme lui même.

La notion de polynôme irréductible est analogue à la notion de nombre premier en arithmétique dans Z.

Autrement dit, soit P ∈ K[X] de degré > 1, on dit que P est irréductible si pour tout Q ∈ K[X] divisant P, alors soit :

  • Q ∈ K* (est un polynôme constant).
  • Soit il existe un λ ∈ K*, tel que Q = λP (Q est égal à P, à une constante multiplicative près).

Dans le cas contraire, un polynôme est réductible, si P = A × B, avec A et B ∈ K[X], et degA > 1, degB > 1.

Exemples :

X² – 1 est il réductible ? Oui, car X² – 1 = (X – 1) (X + 1).
X² + 1 est il réductible ? La question est plus délicate, ce polynôme est effectivement réductible, mais pas dans R[X], dans R, il est irréductible, mais dans C[X], il est effectivement réductible et donne : X² + 1 = (X – i) (X + i).

Autre exemple, prenons X² – 2. X² – 2 = (X – √2) (X + √2). Ce polynôme est réductible dans R[X], mais pas dans Q[X], en effet, √2 n’est pas un nombre rationnel.

Théorème de factorisation :

On dit que tout polynôme non constant A ∈ K[X] s’écrit comme un produit de polynôme irréductible unitaires :

A = λP1^k1 P2^k2 P3^k3 … Pr^kr.

λ est une constante.
Les ki sont des entiers qui sont les multiplicité (degrés).
Les Pi sont des polynômes irréductibles unitaires distincts.

Il s’agit d’une analogie avec la décomposition d’un nombre en facteurs premiers.

Exemple, factorisons ce polynôme :

X^4 – 1.

Sur R, on peut écrire, grâce à l’identité remarquable a² – b² = (a + b) (a – b), que X^4 – 1 = (X² + 1) (X² – 1).
Est-ce fini ? Non, on peut encore factoriser : X^4 – 1 = (X² + 1) (X + 1) (X – 1). Et voilà, ces trois polynômes sont à présent irréductibles dans R.

Qu’en est il de ces polynômes sur C ? Peut on encore les factoriser ? Oui : X^4 – 1 = (X + i) (X – i) (X – 1) (X + 1). En effet, i² = -1, donc i × -i = -i² = 1.

Factorisation dans C[X] et R[X] :

Ce théorème est une reformulation immédiate du théorème de D’Alembert Gauss, qui dit que les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1 (Logique, car on sait qu’un polynômes de degré 1 ne possède pas de racine).

On écrit que tout polynôme irréductible de C[X] sont les polynômes de degré 1.

Donc, pour les polynômes P de C[X], la factorisation s’écrit : P = λ(X – α1)^k1 (X – α2)^k2 (X – α3)^k3 (X – αr)^kr.
les αi sont les racines distinctes de P et les ki sont leur multiplicité.

Pour tout polynôme irréductible dans R[X], les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 dont le discriminant est inférieur à 0.

On écrit P = λ(X – α1)^k1 (X – α2)^k2 (X – α3)^k3 (X – αr)^kr Q1^l1 Q2^l2 Qr^lr.

Les αi sont les racines réelles distinctes, de multiplicité ki.
Les Qi sont les polynômes irréductibles de degré 2, de discriminant inférieur à 0, tel que :

Qi = X² + βiX + γi avec Δ = β²i – 4γi < 0.

Exemple : Prenons le polynôme P(X) = 2X^4(X – 1)³ (X² + 1)² (X² + X + 1).

Eh bien ces polynômes sont déjà décomposés en facteurs irréductibles sur R[X], car les discriminants de (X² + 1)² et (X² + X + 1) sont négatifs.

Par contre, si on considère que ces deux polynômes sont à coefficients complexe, alors il faut factoriser (X² + 1) en (X + i)² (X – i)² et (X² + X + 1) en (X – j) (X – j²), avec j = exp(2iπ/3) = (-1 +i√3)/2.
Si les dernières affirmations n’ont pas de sens pour vous, je vous invite à consulter de nouveau le chapitre sur les nombres complexes, et en particulier, la notion de racine n-ième complexe, ainsi que les propriétés du cercle trigonométrique.

Autre exemple :

On prend le polynôme P(X) = X^4 + 1.

Il paraît difficile de trouver une racine sur R, alors commençons par C.
On pose donc X^4 + 1 = (X² + i) (X² – i). Mais ce n’est pas terminé, il faut essayer de factoriser encore tout ça à des facteurs de degré 1, si vous avez vu le cours sur les complexes, vous connaissez les racines de i et de -i.
Donc, on écrit P(X) = (X – √2/2(1 + i)) (X + √2/2(1 + i)) (X – √2/2(1 – i)) (X + √2/2(1 – i)).

Important : Sur R, pour un polynôme à coefficient réel, pour lequel α est racine, alors « α barre », est racine également de ce polynôme.

Donc, on peut en déduire, en factorisant de nouveau, et en regroupant les facteurs que :

P = [(X – √2/2(1 + i) (X – √2/2(1 – i)] [(X + √2/2(1 + i) (X + √2/2(1 – i)].

Par conséquent, si on simplifie, on a :

P(X) = [X² + √2X + 1] [X² – √2X + 1].

Polynômes de fractions rationnelles :

Définition :

Qu’est ce qu’une fraction rationnelle de polynôme ?

Prenons deux polynômes dans K[X], avec Q ≠ 0.

On appelle fraction rationnelle d’un coupe (P,Q) de polynômes, un polynôme F, tel que F = P/Q.

Tout d’abord, on dit qu’un nombre a est zéro d’ordre k de F, tel que F(X) = P(X)/Q(X), si et seulement si, a est zéro d’ordre k de P(X) mais a n’est pas zéro de Q(X).
On dit ensuite que a est pôle d’ordre k de F(X) = P(X)/Q(X) si et seulement si, a est racine d’ordre k de Q(X).

Cela peut paraître assez confus, alors donnons quelques exemples :

  1. F(X) = (X – 1)²/X² + 1 .
    1 est zéro d’ordre 2. Pourquoi ? Car 1 est racine du polynôme (X – 1)² mais pas du polynôme X² + 1.
    Cette fraction admet i et -i comme pôles dans C, mais n’a pas de pôles réels. Pourquoi ? Car si on factorise en polynôme irréductible dans C, on a (X + i) (X – i).
  2. F(X) = X² + 1/(X – 1)².
    i et -i sont zéros de F(X) dans C, mais n’a pas de zéro dans R. 1 est pôle d’ordre 2.
  3. F(X) = X² – 3/X³. Cette fraction rationnelle admet √3 et -√3 comme zéros et 0 comme pôle d’ordre 3.

Partie entière d’une fraction rationnelle de polynômes :

Prenons F= P/Q.

Si on effectue la division euclidienne de P par Q, alors, il existe un couple unique de polynômes (E,R), tel que :
– P = QE + R.
– Deg(R) < Deg(Q).

On peut donc extrapoler en posant que F(X) = E(X) + R(X)/Q(X).

On appelle E(X) la partie entière de la fraction rationnelle P/Q. On peut ajouter que si Deg(P) < Deg(Q), alors E(X) = 0, eh oui, si on pose X²/X³ par exemple, il est impossible de trouver un résultat rationnelle, et donc, pas de partie entière.

Si on écrit par exemple, X^5 – 3/X³, alors, on peut décomposer et poser X^5 – 3/X³ = X² – (3/X³). X² étant la partie entière.
On effectue la division euclidienne de X^5 – 3 par X³, on trouve la partie entière qui est X². Donc, on a bien X² – (3/X³).

L’intérêt de tout ceci, est calculer plus facilement des valeurs, déterminer la dérivée, les primitives, trouver les éventuelles limites au voisinage de réels ou d’infinis.

Considérons maintenant que le dénominateur de la fraction rationelle peut se factoriser sous la forme :

(x – a1)k^1 (x – a2)k^2 (x – a3)k^3 (x – ap)k^p, ou les ai sont des nombres complexes distincts, et les ki sont des entiers naturels non nuls.

Prenons comme exemple la fraction rationnelle F(x) = x² + 3/(x – 1)³.

On souhaite écrire cette fraction comme une somme de fractions plus simples, de dénominateurs égaux à des puissances de (x – 1) avec des exposants ≤ 3, et de numérateurs constants.

C’est à dire : F(x) = A/(x – 1)³ B/(x – 1)² C/(x – 1).

Pour généraliser, on appelle la partie principale d’une fraction rationnelle F, relative au pôle a d’ordre k, l’expression :

Ak/(x – a)^k + Ak-1/(x – a)k^-1 + … + A1/x – a, ou, A1,A2,…,Ak sont des constantes de K.

En fait, le théorème dit, que si le dénominateur d’une fraction rationnelle de type F = P/Q, alors : Q(x) = (x – a1)k1 (x – a2)k2 … (x – ap)kp avec DegP < Deg Q.
Il existe une décomposition unique de la forme F = F1 + F2 + F3 + … + Fp.
On écrit alors pour chaque Fi, Fi(x) = Ak/(x – ai)^k + Ak-1/(x – ai)^k-1 + … + Ai/(x – ai).

Décomposition en éléments simples :

Il existe plusieurs technique de de décomposition, ici, nous allons voir la technique la plus efficace.

Appliquons ceci de manière concrète. Prenons P(X)/Q(X) = X/(X – 1)² (X – 2).

A présent, on va décomposer, comme F(X) = A/X – 1 + B/(X – 1)² + C/X – 2. On va appeler cette équation « E ».
On va essayer ici d’isoler chaque constante (A,B,C) tour à tour, pour créer un système d’équation que l’on pourra résoudre et qui nous permettra de remplacer ces constantes par des valeurs.
On commence par A. multiplions l’égalité par « X – 1 », on a donc E × (X – 1) = A + B/X – 1 + C(X – 1)/X – 2.
On va supposer que X = 1.
On a donc 0 = A + B/1 – 1 + C(1 – 1)/X – 2. Petit problème ici… Nous trouvons un 0 au dénominateur, ça ne va pas, cette technique pour calculer A ne fonctionne pas. En effet, cette technique a ses limites. Essayons avec B.
On a E × (X – 1)²  = X/X – 2 = A(X – 1) + B + C(X – 1)²/X – 2.
Maintenant, on pose X = 1 pour annuler le terme de gauche de l’équation, et on a :
-1 = 0 + B + 0, donc B = -1.
Même chose pour C, on veut l’isoler, donc on multiplie par X – 2.
E × X – 2 = X/(X – 1)² = A(X – 2)/X – 1 + B(X – 2)/(X – 1)² + C.
A présent, on veut éliminer X – 2, donc on va poser X = 2, et on a :
2 = 0 + 0 + C, donc C = 2.

Remarque, avant de continuer l’exercice. On peut constater que la technique reste efficace pour les blocs de plus haute puissance, par exemple, on a vu que pour A, cela ne marchait pas, alors que pour B, si, en effet, (X – 1)² est la plus haute puissance de (X – 1)², tout comme X – 2 est la plus grande puissance de X – 2. Ceci est une règle générale, il faut absolument s’en souvenir.

Réécrivons maintenant notre fraction avec les valeurs que nous avons trouvé :

X/(X – 1)² (X – 2) = A/X – 1 + -1/(X – 1)² + 2/X – 2.
Il faut maintenant, trouver A. Pour cela, nous allons fixer un X, et s’assurer qu’il se s’annule pas quelque part. Par exemple, on peut prendre X = 0.
On aura donc 0 = -A – 1 – 1, et donc A = -2.

Il existe d’autre types d’exemples, et parfois, il y a plus de constantes. Lorsque vous tombez sur des blocs plus nombreux, en isolant des valeurs, vous pourrez rencontrer des systèmes d’équations à deux ou trois inconnues que vous devrez résoudre afin de trouver les valeurs de ces constantes.

Autre exemple, pour la fraction rationnelle F(X) = X/(X² + 1) (X – 1). Nous sommes dans une situation ou nous avons des racines complexes.
Dans R, on peut écrire cette fraction sous la forme F(X) = AX + B/(X² + 1) + C/(X – 1), avec A,B et C ∈ R.
Commençons par chercher C. On va supposer que X = 1 et on va multiplier par X – 1.
X/(X² + 1) = AX + B(X – 1)/(X² + 1) + C , donc C = 1/2.
Maintenant, cherchons A et B, et multiplions tout par X² + 1.
X/X – 1 = AX + B + C(X² + 1)/X – 1. On sait que lorsque X = i, (X² + 1) = 0, donc on va poser X = i.
Il va donc rester i/i – 1 = Ai + B. Rappelons nous à présent que A et B sont des réels, donc B est la partie réel du nombre complexe i/i – 1 et A est sa partie imaginaire. Donc, trouver A et B revient à trouver la partie réelle et la partie imaginaire de ce nombre. Nous savons faire cela, en effet, en multipliant par le complexe conjugué en haut et en bas, on a :
i(-i – 1)/i – 1(-i – 1) = i(-i – 1)/2 = 1/2 – i/2. La partie réelle de ce nombre complexe est 1/2, et c’est aussi B, donc B = 1/2. -1/2 est la partie imaginaire de ce nombre complexe et est aussi A, donc A = -1/2.
Pour conclure, en remplaçant les valeurs dans la fraction, on a : X/(X² + 1) (X – 1) = -1/2X + 1/2/X² + 1 + 1/2/X – 1.

Jean le Rond d’Alembert (1717-1783), à l’origine du théorème fondamental de l’algèbre ou théorème de d’Alembert-Gauss et des propriétés sur les polynômes.