Polynômes et équations de degrés n

Résolution des équations de degré 4 : méthode de Ferrari

La méthode de résolution date également du XVIIème siècle, et est de Ferrari. Nous considérons l’équation du 4ème degré suivante :

ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0

Puisque a\neq 0, nous pouvons effectuer le changement de variables suivant : z = x - b/4a, obtenant :

z^4 + pz^2 + qz + r = 0

Introduisons une variable y de sorte que : z^4 = (z^2 + y)^2 - 2 z^2 y - y^2, l’on obtient alors l’équation suivante :

(z^2 + y)^2 - \left[ (2y -p)z^2 - qz + (y^2 - r) \right] = 0

Nous cherchons une valeur de y telle que le terme entre crochets soit un carré parfait, avec l’idée de pouvoir factoriser avec un produit remarquable. Pour cela, il faut que le déterminant soit nul :

\Delta = q^2 - 4 (2y -p)(y^2 - r) = 0

Cela revient donc à résoudre une équation du 3ème degré en y. En appliquant la méthode de Cardan, l’on trouvera une valeur $\latex y_0$ parmi 3 possibles, annulant le discriminant. Injectons cette valeur dans l’équation obtenant :

(z^2 + y_0)^2 - \left[ \sqrt{2y_0 - p} \left(z - \frac{q}{2(2y_0-p)} \right) \right]^2 = 0

Reconnaissant un produit remarquable nous pouvons factoriser cette équation. Pour résoudre l’équation quartique, il suffit alors de résoudre ces deux équations du second degré :
z^2 + y_0 + \sqrt{2y_0 - p} \left(z - \frac{q}{2(2y_0-p)}\right) = 0
z^2 + y_0 - \sqrt{2y_0 - p} \left(z - \frac{q}{2(2y_0-p)}\right) = 0

Nous venons de voir qu’il est possible de résoudre de manière générale les équations de degré 2, 3 et 4. Pour les équations de degrés 5, les mathématiciens n’ont pas trouvé de méthode générale. Au XIXème siècle, Ruffini, Abel, puis Galois vont démontrer qu’il n’existe pas de solution avec des radicaux, cela donnera naissance à la théorie des groupes de Galois et vont montrer l’importance des groupes finis simples, et la non réductibilité des groupes alternés à partir de l’ordre 5.