Polynômes et équations de degrés n

Interpolation linéaire :

Nous allons maintenant aborder une notion assez simple mais très importante, l’interpolation linéaire.

A ce stade, nous considérons que vous avez vu les notions de pente, de dérivée, et de taux d’accroissement ainsi que d’équations de droites et de plans.

Alors déjà, qu’est-ce qu’une interpolation ? Une interpolation est par exemple, le fait de prendre un point x_j du plan, qui se trouve entre deux autres points x_i et x_k dont on connait les ordonnées, et de déterminer la coordonnée de l’ordonnée de ce point (autrement dit y_j). Nous allons partir du principe que nous ne connaissons pas les paramètres de l’équation de la droite passant par A et C.

Schématisons ceci :

Dans notre exemple, les points A et C sont connus, car nous connaissons les valeurs des points x_i , x_k , y_i , y_k. Nous voulons trouver la valeur de B, comment faisons nous ?

Tout d’abord, on sait que l’équation d’une droite s’écrit y=ax+b.
Pour déterminer le point B, nous allons tracer la droite qui passe par A et par C :

A présent, nous allons calculer la pente de la droite entre ces deux points, on pose donc :

\frac{dy}{dx}=\frac{y_k - y_i}{x_k-x_i}

A présent, nous allons remplacer les indices k par les indices i, pourquoi ? La droite est une fonction affine, donc linéaire, ce qui veut dire que la pente est la même quelque soit le point que nous choisissons sur la droite, par conséquent :

\frac{y_k - y_i}{x_k-x_i}=\frac{y_j - y_i}{x_j-x_i}

Tout va se jouer algébriquement maintenant, on réarrange les termes :

y_j - y_i=(\frac{y_k - y_i}{x_k-x_i})(x_j-x_i)

Et donc, tout simplement :

y_j=(\frac{y_k - y_i}{x_k-x_i})(x_j-x_i)+y_i