Polynômes et équations de degrés n

Polynômes d’interpolation de Lagrange :

Dans cette section, nous allons parler d’interpolation polynomiale et de polynômes de Lagrange.

Qu’est ce qu’un polynôme d’interpolation de Lagrange ?

Une interpolation polynomiale de Lagrange permet, en se donnant un nombre de points fini, de trouver un unique polynôme ( ou une unique fonction polynomiale) qui passe par tout ces points.

Petit rappel : Un polynôme de degré n contient au minimum n+1 points (sauf un polynôme de degré 0, qui en contient une infinité), pourquoi n+1 points ? Eh bien, si vous prenez une fonction passant par deux points, vous avez une fonction affine, une droite de degré 1, avec trois points non alignés, la fonction est une parabole, de degré 2, etc…

En fait ce que nous voulons, c’est définir un polynôme L_i (la notation du polynôme de Lagrange), tel que L_i(x_i)=1 et L_i (x_j)=0 lorsque j\ne i
Autrement dit, on veut que le polynôme soit égal à 1 lorsque L_i est défini en x_i et nul partout ailleurs (les x_j étant tous les points différents de i).

Alors comment construire ceci ? Quelle formule pourrait t-on trouver qui puisse définir ce que nous cherchons ?

Rappelons qu’un polynôme scindé dans un corps K (ce qui signifie que qu’il peut être décomposé en produit de polynômes de degré 1 à coefficients dans K, ce qui est souvent le cas 😉 ), s’écrit :

P(X) = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1}+a_1 X+a_0=\lambda(X-a_1)(X-a_2)...(X-a_n)

Autrement dit, on peut écrire le polynôme comme :

P(X)= \lambda {\displaystyle\prod_{i=0}^n (X-xi)}

Avec \lambda, un scalaire (réel ou complexe).

Si on remplace P par L_i(X), le polynôme de Lagrange s’écrit alors :

L_i(X)= \lambda {\displaystyle\prod_{\substack {i=0 \\ i \ne j}}^n (X-xj)}

Pourquoi x_j ? Eh bien i doit être différent de j, en considérant x_i dans le produit, on se retrouverait avec un terme du type x_i - x_i = 0 et tout le polynôme serait nul.
A présent, on isole \lambda. On sait également que L_i(x_i)=1, on exprime donc \lambda en fonction de L_i(x_i) :

\lambda= \frac {1}{{\displaystyle\prod_{\substack {i=0 \\ i \ne j}}^n (x_i-x_j)}}

A présent, on réinjecte la valeur de \lambda dans notre polynôme L_i et on a donc :

L_i(X)= \frac {1}{{\displaystyle\prod_{\substack {i=0 \\ i \ne j}}^n (x_i-x_j)}}\times {\displaystyle\prod_{\substack {i=0 \\ i \ne j}}^n (X-x_j)}={\displaystyle\prod_{\substack {i=0 \\ i \ne j}}^n \frac{ (X-x_j)}{(x_i -x_j)}}

Connaître la formule de L_i(X) nous suffit t-il ? Eh bien, pour connaître le polynôme de chaque point, oui, mais, rappelons ce que nous voulons.
Nous voulons un polynôme passant par tout nos points, ce qui veut dire qu’on veut que L_i(x_i)=y_i, connaître les L_i(X) individuellement ne nous aide qu’à moitié.
Il faut donc s’intéresser aux combinaisons linéaires de L_i(X) ? Pourquoi, car il y autant de polynômes qu’il y a de points. Il faut donc faire une somme/une cl des polynômes en chaque point pour pouvoir définir notre polynôme L(X). Autrement dit, on cherche un polynôme tel que :

L(X) = y_1 L_1(X)+ y_2 L_2(X) +...+ y_n L_n(X)

Si on remplace par exemple X par x_i, tous les termes L_j(x_i) s’annulent, sauf L_i(x_i) qui vaut 1, et donc on a bien :

L_i(x_i)= y_i

Donc, on peut réécrire ceci de la manière suivante :

L(X)=\displaystyle{\sum_{i=0}^n y_i L_i(X)}

Et par conséquent, en replaçant L_i(X) par sa valeur que nous avons calculé plus haut, nous avons :

L(X)=\displaystyle{\sum_{i=0}^n y_i {\displaystyle\prod_{\substack {i=0 \\ i \ne j}}^n \frac{ (X-x_j)}{(x_i -x_j)}}}

Ceci est la formule générale du polynôme d’interpolation de Lagrange. Maintenant, prenons un exemple :

Prenons quatre points, (x_0 = 2 ,y_0=-1),(x_1=1,y_1=3),(x_2=3,y_2=-4) et (x_3=-2,y_3=0) distincts deux à deux (non alignés). 

Si on applique la formule, on sait qu’on travaille avec 4 polynômes, car n=4, donc i \in \{1,2,3,4\} on pose donc :

L_0(X)= \frac{X-x_1}{x_0 - x_1}\times \frac{X-x_2}{x_0 - x_2}\times \frac{X-x_3}{x_0 - x_3}
L_1(X)= \frac{X-x_0}{x_1 - x_0}\times \frac{X-x_2}{x_1 - x_2}\times \frac{X-x_3}{x_1 - x_3}
L_2(X)= \frac{X-x_0}{x_2 - x_0}\times \frac{X-x_1}{x_2 - x_1}\times \frac{X-x_3}{x_2 - x_3}
L_3(X)= \frac{X-x_0}{x_3 - x_0}\times \frac{X-x_1}{x_3 - x_1}\times \frac{X-x_2}{x_3 - x_2}

En injectant les valeurs à présent, en commençant par L_0(X), on a  :

L_0(X)= \frac{X-1}{2 - 1}\times \frac{X-3}{2 - 3}\times \frac{X+2}{2 +2}=-\frac{(X-1)\times (X-3)\times(X+2)}{4}=-\frac{1}{4}X^3+\frac{1}{2}X^2+\frac{5}{4}X-\frac{3}{2}

On remarque qu’en remplaçant X par x_0, on trouve que L_0=1, et c’est exactement ce que nous voulons. Pour L_1 à présent :

L_1(X)= \frac{X-x_0}{x_1 - x_0}\times \frac{X-x_2}{x_1 - x_2}\times \frac{X-x_3}{x_1 - x_3}=\frac{(X-2)(X-3)(X+2)}{6}=\frac{1}{6}X^3-\frac{1}{2}X^2-\frac{2}{3}X+2

Même chose lorsqu’on remplace X par x_1, on trouve L_1=1

L_2(X)= \frac{X-2}{3 - 2}\times \frac{X-1}{3 - 1}\times \frac{X+2}{3 +2}=\frac{(X-2)(X-1)(X+2)}{10}=\frac{1}{10}X^3-\frac{1}{10}X^2-\frac{2}{5}X+\frac{2}{5}

Et pour finir :

L_3(X)= \frac{X-2}{-2 - 2}\times \frac{X-1}{-2 - 1}\times \frac{X-3}{-2 -3}=\frac{(X-2)(X-1)(X-3)}{-60}=-\frac{1}{60}X^3+\frac{1}{10}X^2-\frac{11}{60}X+\frac{1}{10}

Maintenant que nous avons les 4 polynômes de Lagrange, on fait la somme de ces quatre polynômes avec leur coefficient respectif qui est donnée par y_i pour trouvé le polynôme interpolateur de Lagrange de ces quatre points :

L(X)=- L_0+3 L_1 -4 L_2 +0 L_3

On remplaçant par les valeurs des L_i, on trouve :

L(X)=-(-\frac{1}{4}X^3+\frac{1}{2}X^2+\frac{5}{4}X-\frac{3}{2})+3(\frac{1}{6}X^3-\frac{1}{2}X^2-\frac{2}{3}X+2)-4(\frac{1}{10}X^3-\frac{1}{10}X^2-\frac{2}{5}X+\frac{2}{5})

Et finalement, en simplifiant les termes (nous vous laissons vérifier 🙂 ) on trouve que :

L(X)=\frac{7}{20}X^3-\frac{8}{5}X^2-\frac{33}{20}X+\frac{59}{10}

Le polynôme n’est certes pas très esthétique, mais en fait, nous n’avons qu’appliquer la formule d’interpolation de Lagrange qui nous le rappelons est :

L(X)=\displaystyle{\sum_{\substack {i=0 \\ i \ne j}}^n y_i L_i}