Structures algébriques usuelles

 

Bonjour, aujourd’hui, nous allons parler de structures algébriques.

Si vous avez vu les chapitres précédents, les notions ici ne seront pas insurmontables à la compréhension.
Nous allons séparer ce chapitre en plusieurs parties, comme d’habitude, dans un ordre logique et ordonné :

  • Loi de composition interne.
  • Magmas.
  • Groupes.
  • Anneaux.
  • Corps.
  • Sous ensembles de structures algébriques.
  • Morphismes.
  • Idéaux.

Loi de composition interne :

Une loi de composition est une application qui, pour deux éléments de E, renvoi un autre élément de E. Grâce à cette application, l’ensemble E est stable, et la valeur renvoyée est toujours partie de E.
Par exemple, l’addition et la multiplication dans les entiers naturels sont des exemples classiques de lois internes.

En fait, en d’autres terme, nous cherchons quelque chose qui puisse nous permettre de créer un lien à l’intérieur d’un ensemble, et montrer une certaine cohérence et structure à cet ensemble, et c’est pour cela que nous faisons appel à cette loi de composition.
Cette loi de composition est un élément, une application que l’on rajoute dans cet ensemble, et qui vérifie certaines propriétés, et cela pour tout couple d’éléments de cet ensemble.

Prenons un ensemble E, non vide, que nous allons vouloir munir d’une loi de composition interne.
On va noter * (étoile), loi de composition interne sur E si et seulement si, * est une application de E² dans E. Autrement dit, le produit cartésien E*E → E.

Si on décide de vérifier ceci de manière concrète, on choisit l’ensemble N (entiers naturels), et on le muni d’une loi de composition interne, tel que l’addition, qu’on écrit (N,*). On peut démontrer que prendre deux valeurs de N, tel que 2 ∈ N, et 3 ∈ N, alors 2 + 3 = 5, et 5 ∈ N.

Maintenant, voyons quelques contre exemples.

Dans l’ensemble R (réels), la division n’est pas une loi de composition interne, pourquoi ? Car il est impossible de diviser par zéro. Quel est alors l’astuce ? Il suffit de considérer R comme étant R*, qui signifie l’ensemble des réels privé de 0.
Dans l’ensemble N (entiers naturels), la soustraction n’est pas non plus une loi de composition interne. En effet, par exemple 2-3 = -1. -1 n’est plus dans l’ensemble N. Par contre on peut décider de prendre l’ensemble Z, qui est l’association des entiers naturels positifs et négatifs, et dans lequel la soustraction est bien une loi de composition interne.

A présent, parlons de ce qu’on appelle, « élément neutre ».
L’élément neutre d’un ensemble pour une loi de composition interne, qu’est ce que c’est ? C’est un élément de cet ensemble, qui, dès lors qu’il est composé avec n’importe quel autre élément de cet ensemble, le laisse inchangé.
Par exemple, 0 est l’élément neutre de l’addition arithmétique, car 5 + 0 = 5, 745 + 0 = 0, etc…
Autre exemple, le 1 de la multiplication arithmétique, car tout élément multiplié par 1 est égal à lui même.

 

Magma :

Lorsqu’on parle de structure algébrique possédant une seule loi de composition interne, on peut parler de monoïde, ou de magma.
Un magma est en quelque sorte le minimum de ce que l’on peut faire en terme de structure algébrique.

Un magma s’écrit de cette manière (E,*). E étant l’ensemble, par exemple {1,2,3}, ou {a,b,c}, ou N, ou n’importe quel ensemble que l’on choisit arbitrairement.
dans un magma, il est possible de faire un peu ce que l’on veut, en effet, dans un magma, il n’y a aucune condition ou contrainte sur l’opération, autrement dit, l’opération peut être définie de manière complètement quelconque.

Par exemple, prenons un ensemble {♠,♣,♥}, et dressons un tableau, de combinaison * de ces valeurs :

Il est important de rappeler que les valeurs des combinaisons on été choisies arbitrairement.
Avec ce tableau, nous avons construis notre magma, et il est à présent possible de résoudre ce type d’équation par exemple :
♠ * x = ♥. On voit, grâce au tableau, que la solution de cette équation est x = ♣.
Il est possible d’étudier plus en profondeur ce magma, définir des fonctions, des suites, les possibilités sont presque illimitées.

Parlons à présent des propriétés possible d’un magma.

  • On peut dire qu’un magma est commutatif. Si vous avez les lu chapitres précédents, vous connaissez la défition de ce terme. Autrement, on définie la commutativité comme l’opération qui, pour deux éléments quelconque d’un ensemble combinés dans un sens, revient à les combiner dans l’autre sens, tel que ∀ x,y ∈ E, x * y = y * x.
  • On peut dire q’un magma est associatif. Si je vous dit 1 + 2 + 3, cela vous choque t-il ? Eh bien, dans un magma, on ne parle que de « couple » de deux éléments, et dans ce cas de figure, il y en a trois. Que faisons nous alors, nous écrivons (1 + 2)+ 3. L’associativité nous dit que (1 + 2)+ 3 = 1 +(2 + 3) = 2 +(1 + 3). Autrement dit, ∀ x,y,z ∈ E, on a x *(y * z) = (x * y)* z.
    Cela signifie, que nous pouvons dès lors appliquer une opération à cet ensemble, à plus de deux éléments de ce dernier, en appliquant la règle d’associativité.
  • La dernière propriété est la possibilité de l’existence d’un élément neutre (que nous avons déjà détaillé plus haut).
    On écrit donc ceci, e ∈ E, ∀ x ∈ E, x * e = e * x = x (e étant l’élément neutre).

En revanche, un magma ne possède pas forcément toutes ces propriétés, elles ne sont pas nécessairement cumulables. Un magma peut très bien posséder un élément neutre, mais ne pas être commutatif, d’ou le fait de préciser l’importance du sens dans la définition de l’élément neutre.

Il existe des cas particuliers de magmas, comme ceux que nous allons voir maintenant.

 

Monoïde :

Un monoïde est un magma associatif et unifère (E,*). Que signifie unifère ? Cela signifie simplement que l’ensemble possède un élément neutre.

On peut donner quelques exemples de monoïdes, comme l’ensemble (N,+) (ensemble des entiers naturels pourvu de la loi de composition interne d’addition) ou l’ensemble (R,×) (ensemble des réels pourvu de la multiplication).
En effet, chaque nombre entier naturel additionné à un autre renvoi un nombre entier naturel, tout comme chaque nombre réel multiplié par un autre nombre réel renvoi également un nombre réel.

A présent, montrons encore quelques contre exemples : l’ensemble (Z, ×), qui est l’ensemble des entiers négatifs muni de la loi multiplicative et qui n’est pas un monoïde, pourquoi ? Car ce n’est pas un magma, le produit de deux nombres entiers négatifs donnent un nombre positif.

Un autre exemple serait l’ensemble (2Z,×). A première vue, il s’agit bien d’un magma, et il est bien associatif, cependant, ce n’est pas un monoïde, pourquoi ? On sait que l’élément neutre de la multiplication arithmétique est 1. Ici, l’ensemble est « 2Z », par conséquent, 1 n’est pas un élément de cet ensemble, il n’est donc pas l’élément neutre, ce qui fait que « 2Z » n’est pas un magma unifère, donc, n’est pas un monoïde.

On a dit qu’un magma pouvait être commutatif, cependant , nous ne l’avons pas évoqué dans les monoïdes, tout simplement car souvent, et dans beaucoup d’ensemble, la commutativité n’est pas démontrée, exemple, le monoïde (R^R,∘), qui est l’ensemble des fonctions réels à valeurs réelles, tels que les polynômes ou les fonctions usuelles. Lorsque l’on compose deux fonctions, c’est à dire lorsque l’on fait f ∘ g, on sait que ça n’équivaut pas à g ∘ f. En effet, admettons que nous prenions la fonction f(x) = 2x et une autre fonction g(x) = x².
Si on compose g selon f, et qu’on veut par exemple f(g(3)), on a, f ∘ g = 2 × 3² = 18.
En revanche, si on veut maintenant f selon g, on fait g(f(3)) = g ∘ f = (2 × 3)² = 36.
On a donc bien démontré que l’ensemble des compositions de fonctions réelles à valeurs réelles, est un monoïde, donc un magma, mais qu’il n’est pas commutatif.

Il y a un théorème de la théorie des monoïdes que nous allons voir.
Si on prend un monoïde (E,*), et l’équation a * x = a * b. Qu’est ce qui nous vient à l’esprit quand à la définition de x ?
Intuitivement, on élimine a de l’équation et il nous reste x = b. Ce n’est pas aussi simple, on peut donner une condition à ceci sous forme de définition :
On dit qu’un élément a ∈ E est simplifiable, si à chaque fois qu’on a a * y = a * z, on peut en déduire que y = z.

On peut également parler d’une autre propriété intéressante. Le symétrique d’un élément. On dit qu’un élément a ∈ E est symétrisable si il existe un autre élément ā ∈ E, tel que a * ā = ā * a = e (élément neutre). ā est appelé le symétrique de a.

De ces deux théorème on en déduit un troisième qui dit que si a ∈ E est symétrisable, alors a est simplifiable.
On peut le vérifier de cette manière : ā (a * x) = ā (a * b) ⇒ (ā * a) x = (ā * a) b ⇒ e * x = e * b ⇒ x = b.

 

Groupe :

Un groupe est une structure algébrique, qui, en réalité est un cas particulier de monoïde. Alors, vous allez me dire, à ce moment là qu’est ce qui les différencies d’un monoïde ?
En fait, nous avons dit que les propriétés d’un monoïde étaient qu’il était associatif, que la loi * était une loi interne, et qu’il était unifère (c’est à dire possédant un élément neutre).
Il possède cependant une quatrième propriété. On va appeler cet ensemble qu’est le groupe (G,*). Mais, si on se base sur la définition formelle d’un groupe, il est dit qu’il possède une deuxième loi de composition interne, autrement dit, son écriture devrait ressembler à (G,*,+), ou (G,*,×) etc… Alors pourquoi le notons nous ainsi ?

La quatrième propriété d’un groupe, est que, tout élément de ce groupe, possède un symétrique. Il est en réalité possible de « tricher » sur la notation.
Si par exemple on définit un groupe tel que (G,×), (groupe G à qui ont muni une loi multiplicative), on peut se dire, comment faire pour définir une seconde loi de composition interne ne représentant uniquement l’existence d’un élément symétrique à tout élément de G ?
C’est très simple, dire qu’un élément possède un symétrique, cela revient à dire qu’il existe une opération inverse à l’opération étoile. Par conséquent, si on prend par exemple le groupe (G,×), en supposant qu’il existe un symétrique, on suppose également qu’il existe une opération inverse à la multiplication, donc la division. En effet, on sait que que diviser une valeur par une autre revient à multiplier par son inverse, avec ces deux postulats respectés, on a le droit de faire cette analogie.

Autrement dit, la quatrième propriété s’énonce comme suit : ∀ x ∈ G, ∃ x’ ∈ G, x * x’ = x’ * x = e.

Pour résumer, dans un groupe, nous avons une associativité, l’existence d’un élément neutre, une loi de composition interne ET son contraire, ce qui revient à faire par exemple:
a * b * b’ = a et b * b’ = e. Par exemple, on sait que 5 × 4 × 1/4 = 5 × 4 ÷ 4 = 5.  4 × 1/4 = 4 ÷ 4 = 1, 1 étant bien l’élément neutre de la multiplication.

Donnons quelques exemples et contre exemples de groupes :

  • Le groupe (R,+).  Ce monoïde répond aux propriétés requises pour être un groupe, pourquoi ? Il possède un élément neutre, 0, la loi de composition est interne, tout élément additionné à un autre élément de ce groupe donne un élément de ce même groupe. Il est associatif, a + (b + c) = (a + b) + c. Il possède également une opération contraire à l’addition, la soustraction, mais comme nous l’avons dit plus haut, la soustraction n’est en réalité qu’un type d’addition, car a + b = a + (-b).
  • Le groupe (R,×). Est-ce un groupe ? Non, voyez vous pourquoi ? L’ensemble des réels inclus un nombre pour lequel prendre son inverse est impossible car il n’existe pas. Le 0. Ceci n’est donc pas un groupe, en revanche, il existe un moyen simple de transformer cet ensemble en groupe, dont nous allons parler dans l’exemple suivant…
  • Pour que le groupe ci dessus en soit un, il faut le modifier un petit peu. Pouvons-nous imaginer prendre l’ensemble des réels privé de 0, de cette manière (R*,×) ? Oui, c’est tout à fait juste, à présent, il s’agit bien d’un groupe, si on applique l’opération contraire de la multiplication à n’importe quel élément de ce groupe, on obtient bien de nouveau cet élément. Le reste des propriétés est également vérifié.

Nous n’avons parlé de commutativité. Lorsqu’un groupe est dit « commutatif », on dit qu’il s’agit d’un groupe abélien.

Nous allons finir par l’exemple bien concret d’un groupe, pour lequel nous allons détailler les éléments, ainsi que les différentes opérations que l’on peut effectuer dans ce dernier.

Imaginons un carré, et essayons d’énumérer les opérations automorphes possible (automorphisme veut dire, une application d’un ensemble sur lui même), permettant de retrouver ce carré dans la position dans laquelle il se trouvait avant d’effectuer la dite opération.
On peut, en effectuant une rotation de ses angles de 90° par exemple, repositionner le carré sans voir de différence par rapport à sa position précédente, vous êtes d’accord ? Mais, il est également possible d’effectuer une rotation de 180°, ou même de 270°.
Un autre type d’opération possible peut être de tracer les segments qui coupe le carré symétriquement, et de basculer un côté sur l’autre. Il y a 4 possibilités de faire ceci :

Par conséquent, comment allons créer ce groupe relatif au carré? Eh bien, après ce que nous avons vu, on peut définir ce groupe de cette manière :
{ Id, R90, R180, R270, S1, S2, S3, S4, º }. Détaillons tout ceci :

  • Id, veut dire identité, l’identité est l’élément identité d’un groupe, qui signifie, laisser tout inchangé, ne rien appliquer, par exemple, dans notre cas de figure, Id se définirait comme si nous effectuions une rotation de 0°, qui correspond à ne rien faire du tout.
  • Pourquoi le munir d’une loi de composition rond ? Car c’est une opération qui consiste à faire une opération après l’autre. Par exemple, si on effectue une rotation 90°, puis ensuite une rotation de 180°, on obtient une rotation de 270°. Nous avons fait ici une composition.

*Parlons de la dernière propriété d’un groupe particulier.
Une théorème dit, que si nous avons un groupe contenant un nombre fini d’éléments, alors la composition de a *a * a * … * n = e (élément neutre).
Il s’agit en fait du théorème de Lagrange. Nous avons placé une étoile en début de paragraphe car cette notion est un petit peu compliquée. Il est important d’avoir vu le chapitre « Arithmétique dans Z » pour bien comprendre ce théorème de Lagrange sur les groupes.

 

Anneau :

Nous allons maintenant voir l’avant dernier type de structure algébrique « usuelle », les anneaux.
Les anneaux sont en réalité, un cas particulier de groupes. On peut les écrire (A,+,*) (Dans la majorité des cas, la loi étoile est la loi multiplicative, pour cette raison, nous utiliserons la notation × pour plus de facilité).

Pour être un anneau, la structure doit remplir certaines conditions :

  • Elle doit être un groupe abélien, c’est à dire, remplir les conditions suivantes :
  • La loi doit être commutative pour + : a + b = b + a.
  • la loi doit être interne.
  • Elle doit être associative : a + (b + c) = (a + b) + c
  • A doit admettre un neutre pour +, le 0.
  • Tout élément doit posséder un symétrique dans A qui reste dans A pour la loi +.

Maintenant, ce n’est pas tout, la structure doit également posséder ces propriétés pour être un anneau :

  • La loi × doit être distributive par rapport à la loi +, c’est à dire que a + ( b × c) = a × b + a × c.
  • A admet un élément neutre pour la loi ×, qui est le 1.
  • La loi × doit être associative, c’est à dire que a × (b × c) = ( a × b) × c.

Si de plus, la loi × est commutative, alors, on parle d’anneau commutatif, cependant, ce n’est pas toujours le cas, et un anneau n’est pas forcément commutatif.

Nous allons voir quelques exemples d’anneaux commutatifs (ce sont les plus communs), mais aussi quelques contre exemples, ensuite, nous essaierons d’en construire un.

  1. Comme premier exemple, on peut prendre l’ensemble Z des entiers relatifs muni de l’addition et de la multiplication. (Z,+,×). Il possède toutes les propriétés pour être un anneau commutatif.
  2. Ensuite, l’ensemble des polynômes à coefficients dans un anneau commutatif est aussi un anneau commutatif (Un chapitre sur les polynôme est disponible sur le site, il est en revanche conseillé de suivre l’ordre de lecture indiqué).
  3. Les endomorphismes d’un espace vectoriel est un anneau (non commutatif). Vous allez me dire, mais qu’est ce que c’est que ce charabia ? Un espace vectoriel est une structure algébrique au même titre qu’un anneau, un groupe ou un corps, cependant, il est composé de vecteurs. Un endomorphisme est une application linéaire de cet espace vectoriel dans lui même. Ne vous en faites pas, un chapitre sur les espaces vectoriel est aussi présent sur le site, pour ce qui est des endomorphismes, ils seront détaillés dans le chapitre sur les morphismes.
  4. Un contre exemple à présent. L’ensemble des entiers naturels N n’est pas un anneau car ce n’est pas un groupe lorsqu’on le muni de l’addition, en effet, l’existence des opposés fait défaut les éléments n’ont pas de symétrique).
  5. L’ensemble 2Z n’est pas non plus un anneau, car sa multiplication, comme nous l’avons vu plus haut ,n’a pas d’élément neutre.

Nous allons voir maintenant quelques règles de calculs dans un anneau.
Définissons un peu de vocabulaire :

  • On va appeler 1A, l’élément neutre de la multiplication dans A.
  • On va appeler 0A, l’élément neutre de l’addition dans A.
  • On va appeler « -x » le symétrique de x dans A par rapport à l’addition.
  • On va appeler « -y » le symétrique de y dans A par rapport à l’addition.

Voici les règles de calcul :

  • ∀ x ∈ A, 0A × A = A × 0A = 0 (0A est dit « absorbant »).
  • ∀ x ∈ A, x + 0A = x.
  • ∀ x ∈ A, x × 0A = 0A.
  • ∀ x ∈ A, (-1A) × x = x × (-1A) = -x.
  • ∀ x ∈ A, x + x (-1A) = 0A.
  • ∀ x,y ∈ A, x × (-y) = -(x × y) = (-x) × y car -(xy) = x × (-y) = (-x) × y.
  • Pour n ∈ N, et ∀ a,b ∈ A, on définit a^n par a^0 = 1A et ∀ n ∈ N, a^n+1 = a^n × a. Par associativité, on en déduit tout de suite deux choses, la première c’est que a^n+p = a^n × a^p, et la deuxième, que (a^n)^p = a^np. (Précisons que a et b ne commutent pas nécessairement).
  • Si A est commutatif, que pouvons nous dire d’autre ? On peut étendre la propriété ci dessus, et être en mesure d’utiliser le binôme de Newton :D.
    *Théorème de Newton dans un anneau : Comme l’anneau est commutatif, on peut écrire :
    {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}
    Par convention, on dit que x^0=1A et y^0 = 1A également, car n’importe quel nombre à la puissance 0 donne lui même.

 

Corps :

Voici la dernière structure algébrique usuelle que nous allons aborder dans ce chapitre, avant de passer à plus de détails comme les morphismes, les sous groupes, les idéaux etc…
Qu’est ce qu’un corps ? Un corps est, tout comme un anneau, l’extension d’un ensemble plus petit. Que voulons nous dire par extension ? Nous voulons dire qu’il possède les mêmes propriétés, ainsi que de nouvelles qui le rendent plus strict, plus complexe.
Par exemple, on sait qu’un anneau est un groupe commutatif auquel une loi de distributivité par rapport à la loi +.
Un corps est un anneau, qui en plus de toutes les propriétés de ce dernier, en possède également une supplémentaire.

Faisons un petit rappel des propriétés d’un anneau :

  • Il doit être un groupe abélien (Nous ne développerons pas, nous l’avons déjà fait pour les anneaux).
  • La loi × doit être distributive par rapport à la loi +, c’est à dire que a + ( b × c) = a × b + a × c.
  • A admet un élément neutre pour la loi ×, qui est le 1.
  • La loi × doit être associative, c’est à dire que a × (b × c) = ( a × b) × c.

Le corps lui, que l’on note « K », possède une propriété supplémentaire qui lui est propre :

  • Il admet, pour tout élément de K | {0}, un inverse (c’est à dire un symétrique) pour la loi ×, c’est à dire que ∀ x ∈ K, ∃ x’ tel que x × x’ = x.

Il faut ajouter qu’un corps est « presque » toujours commutatif, bien qu’il existe des exemples de corps non commutatifs comme les « quaternions ».

Quelques exemples de groupes commutatifs : (Q,+,×), (R,+,×), (C,+,×). Les rationnels, les réels et les complexes munis de la loi d’addition et de multiplication sont des corps.
En revanche, comme d’habitude, donnons un contre exemple : (Z,+,×) n’est pas un corps, pourquoi ? Si on prend un élément quelconque de Z, le chiffre 4 par exemple, existe-il un symétrique de ce chiffre dans Z tel que multiplié par ce dernier, donne 1 ? Non, car son inverse/symétrique est « 1/4 », et 1/4 n’est pas dans Z. Donc, en ne prenant qu’un seul exemple dans Z, nous avons démontré que (Z,+,×) n’est pas un corps, car tout élément de ce dernier ne possède pas de symétrique pour la loi ×.

 

Sous ensembles de structures algébriques :

Sous magma et sous monoïde :

Tout d’abord, rappelons qu’une structure algébrique est un ensemble, et on sait, après le chapitre sur les ensembles, qu’un ensemble peut posséder des parties, qui sont sous ensemble de cet ensemble. Un magma est un ensemble, il est donc vrai de dire qu’il peut exister un sous ensemble qu’on nomme sous magma, mais ceci impose que certaines règles soient respectées.
Tout d’abord, prenons un magma unifère (M,*), de neutre e. Prenons également A, une partie non vide de M.
On peut définir (A,*), comme un sous magma unifère de M, si et seulement si :

  1.  e ∈ A.
  2. ∀ (x,y) ∈ A², x * y ∈ A.

A présent, définissons un sous magma associatif (Vous allez vite comprendre pourquoi nous prenons le temps de définir ces structures).
Même cas de figure, on prend un magma associatif (M,*), et une partie A, non vide appartenant à M.
On dit que (A,*) est un sous magma associatif, si et seulement si :

  1. ∀ (x,y) ∈ A², x * y ∈ A.
  2. ∀ (x,y,z) ∈ A³, (x * y) * z = x * (y * z).

A présent, nous pouvons définir un sous monoïde. Soit (M,*), un monoïde de neutre e. Soit A, une partie non vide de M.
(A,*) est un sous monoïde de M, si et seulement si :

  1. e ∈ A.
  2. ∀ (x,y) ∈ A², x * y ∈ A.
  3. ∀ (x,y,z) ∈ A³, (x * y) * z = x * (y * z).

Comme vous pouvez le voir, un sous monoïde est obligatoirement un sous magma unifère et associatif.

 

Sous groupe :

Le principe d’un sous groupe est similaire au principe d’un sous monoïde. Pour être un sous groupe, ce dernier doit répondre à certaines propriétés.
Prenons un groupe (G,*), et H une partie non vide de G. H est un sous groupe si et seulement si :

  1. e ∈ H.
  2. ∀ (x,y) ∈ H, x * y ∈ H.
  3. ∀ x ∈ H, x^-1 ∈ H . En d’autres termes, pour tout élément x de H, il existe un élément symétrique x^-1 qui également dans H.
    *Si le sous groupe répond à ces propriétés, il est lui même également un groupe (H,*).

Nous allons prendre un exemple concret : Prenons le groupe (R*+,×), et démontrons qu’il est sous groupe de (R*,×).

  1. On sait que l’élément neutre de la multiplication est 1, et 1 est bien dans R*+.
  2. Si on prend x et y de R*+, alors x × y ∈ R*+. N’importe quel nombre positif multiplié par un autre nombre positif sera toujours positif.
  3. Si x ∈ R*+, alors x^-1 l’est aussi. En effet, l’inverse d’un nombre positif est forcément positif.

On peut ajouter qu’un groupe G possède toujours deux sous groupes minimum, appelés « sous-groupes triviaux », qui sont le singleton {e}, et le groupe G tout entier.

 

Sous groupe engendré :

Soit (G,*) un groupe et E ⊂ G.
On appelle sous groupe engendré par E, le plus petit sous groupe de G contenant E.

Exemple :
Prenons le groupe (R*,×) et E = {2}.
Quel est le plus petit sous groupe engendré par le singleton 2 ? Eh bien il s’agit du groupe 2^n {2,2×2,2×2×2,…,2^n}, car tout multiple de 2 est un sous groupe de R*+. Attention à ne pas oublier le symétrique, 1/2, et tous les 1/2^n.

 

Sous anneau :

Je pense que vous avez maintenant compris le principe des sous structures algébriques. Prenons un anneau (A,+,×) et B une partie de A, ou B ∈ P(A).
On dit que B est un sous anneau de A, si et seulement si :

  • B est un sous groupe de (A,+).
  • ∀ (x,y) ∈ B², xy ∈ B².
  • 1A ∈ B. (Rappelons que 1A est l’élément neutre de la multiplication pour la loi ×).

Un exemple est Z (entiers relatifs), qui est sous anneau de (Q,+,×), pourquoi ? Démontrons le :

  • Z est bien un sous groupe de (Q,+) car la somme de tout nombre entier relatif est également un nombre rationnel.
  • ∀ (x,y) ∈ Z², xy ∈ Q². Tout produit de nombre entier est également un nombre rationnel.
  • 1A ∈ Z, en effet, l’élément neutre de la multiplication est 1, et 1 est bien un nombre relatif.

En revanche, 2Z par exemple, n’est pas un sous anneau de (Z,+,×), pourquoi ? Car l’élément neutre de la multiplication est 1, et 1 ∉ 2Z.

Prenons un exemple plus difficile car nous n’avons vu jusqu’alors que des applications assez faciles, cela nous forcera à développer et démontrer l’appartenance d’un sous anneau à un anneau et à faire face à des situations moins simplistes.

Supposons d, un entier naturel, donc d ∈ N, et on note le sous anneau Z[√d] (On dit Z modulo racine de d. Nous verrons dans le chapitre sur l’arithmétique ce que le terme modulo signifie, pour le moment, on peut se contenter de définir ceci comme le sous anneau Z, pour lequel tout élément de ce dernier est un multiple de √d). On va essayer de montrer que Z[√d] est un sous anneau de (R,+,×).
On va écrire que Z[√d] = {a + b√d, (a,b) ∈ Z²}. On définit simplement a et b par convention, cela nous permettra de démontrer que les propriétés d’un sous anneau pour cet exemple.

Si on se rappelle des propriétés d’un sous anneau, on peut déjà affirmer que Z[√d] est un réel, donc, Z[√d] ⊂ R. On sait aussi que 1R, qui est l’élément neutre de la multiplication est qui est dans R, est également dans Z[√d], car 1√1 = 1.

Maintenant, cela devient plus délicat, il faut démontrer les autres propriétés.
On va supposer que ∀ (x,y) ∈ Z[√d] × Z[√d]. On sait qu’on peut représenter x = a + b√d et on va dire que y = a’ + b’√d avec a,a’,b,b’ ∈ Z.
On fait x – y, pourquoi ? nous voulons démontrer qu’il s’agit d’un sous groupe (Rappelons qu’il s’agit de la propriété de sous groupe tel que ∀ (x,y) ∈ H, x * y ∈ H.)
–> Donc x – y = a + b√d – a’ – b’√d.
Si on factorise, x – y = (a – a’) + (b – b’) √d. Que voit on ? Eh bien, on sait que a,a’,b,b’ ∈ Z, donc (a – a’) ∈ Z et (b – b’) ∈ Z, donc x – y ∈ Z[√d].
Qu’en est-il de la propriété ∀ (x,y) ∈ B², xy ∈ B² ? On pose xy = (a + b√d)(a’ + b’√d) = aa’ + ab’√d + a’b√d + bb’d = (aa’ + bb’d) + (ab’ + a’b) √d.
Rappelons qu’on sait que a,a’,b,b’ ∈ Z et d ∈ N ∈ Z, donc (aa’ + bb’d) + (ab’ + a’b) √d ∈ Z[√d].

Nous avons prouvé que Z[√d] était bien un sous anneau de (R,+,×).

 

 

Sous Corps :

Nous allons aborder la dernière sous structure algébrique usuelle, les sous corps.

Tout comme les sous anneaux, et connaissant les propriétés d’un corps, on peut probablement à ce stade, presque deviner les propriétés d’un sous-corps.
Tout d’abord, et comme à notre habitude, fixons un corps (K,+,×) et L ∈ P(K). On dit que L est un sous corps, si et seulement si :

  • L est un sous anneau de K. Qu’est ce que cela signifie ? rappelons les propriétés concernant cette affirmation :
    *∀ (x,y) ∈ L², x – y ∈ L.
    *∀ (x,y) ∈ L², xy ∈ L²
    1K ∈ L. 1K étant l’élément neutre de la multiplication.
  • On finit avec la propriété définissant la nature du sous corps qui dit que ∀ x ∈ L | {0}, ∃ x^-1 ∈ L.
    Autrement dit, pour tout élément x de L, il existe un x^-1 tel que x^-1 est le symétrique de x et appartient également à L.

Nous allons prendre un exemple, cette fois, cet exemple est un petit peu insolite. On va prendre le corps (Q,+,×), et je vais vous affirmer que ce corps n’admet que lui même comme sous corps, pouvons nous le prouver ? Allons y :

On définit un sous corps F de (Q,+,×). On va montrer que F = Q.

Si F est un sous corps de Q, on peut dire que F ⊂ Q.

On sait que 0 et 1 sont des éléments de F, puisque F est un sous corps de Q.
Par stabilité de la loi +, on peut faire 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, donc F contient bien tous les entiers naturels, et donc pour tout entier naturel N, N ∈ F.
On sait aussi que tous les éléments de F sont inversibles pour la loi +, donc pour le passage à l’opposé, on peut dire que : ∀ p ∈ Z, p ∈ F.
De même, pour la loi ×, on peut passer à l’inverse : ∀ q ∈ N*, 1/q ∈ F.
Et enfin, par stabilité de la loi ×, p ∈ F, 1/q ∈ F, donc p × 1/q = p/q est un rationnel et appartient à F. Par conséquent, ∀ r = p/q ∈ Q, on a r ∈ F. (r pour rationnel).

Ca y est, c’est terminé ! Si ∀ r ∈ F, alors Q ⊂ F, mais étant donné que F ⊂ Q également, alors F = Q.

 

Morphismes :