Systèmes linéaires

Bonjour et bienvenu dans ce premier chapitre sur l’algèbre linéaire.
Le format des cours de ce dernier sera un petit peu différent de ce que vous avez vu jusqu’à présent sur notre site.
Il s’agit de 5 pages/chapitres, concernant 5 cours différents, mais qui sont eux mêmes des sous chapitres de ce qu’on appelle « algèbre linéaire », car ils ont tous un lien étroit les uns avec les autres.
L’algèbre linéaire a une place assez particulière en mathématique, car c’est probablement le domaine le plus utilisé dans la majorité des domaines de la physique. De l’électromagnétisme à la mécanique quantique, de l’astrophysique à la mécanique, les matrices, les espaces vectoriels et les applications linéaires sont les outils qui forment la base de toute structure (ou presque).

Nous allons commencer par une introduction sur l’algèbre linéaire de façon générale, et nous verrons qu’il faut avoir vu un certain nombre de chapitres (et lesquels) avant de commencer à entrer dans le vif du sujet.

Vous avez peut être déjà entendu parler de matrices, ou d’espaces vectoriels, et si ce n’est pas le cas, et si vous avez lu les chapitres précédents de ce site, vous êtes en revanche forcément familiarisés avec l’algèbre dans sa forme fondamentale. L’algèbre concerne par exemple les polynômes, les nombres complexes, ou encore l’arithmétique que vous devez avoir vu avant de voir ce chapitre ci.
Si ce n’est pas le cas, voici les liens vers les pages correspondantes :

 

Commençons par parler de l’algèbre linéaire, donnons sa définition, et ses domaines d’application.

L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui formalise des systèmes d’équations linéaires, sous la forme d’autres notions mathématiques, comme les matrices ou les espaces vectoriels.
Par exemple, il est possible de transformer un système d’équations à plusieurs inconnues, sous forme de produits de matrices. Nous n’entrerons dans les détails que plus tard, mais il est important de connaître le rôle de cette branche et de ces formalismes, car souvent, le calcul matriciel par exemple, peut être moins laborieux que de résoudre des systèmes d’équations ayant de nombreuses lignes et inconnues…

 

Bien, abordons maintenant ce chapitre sur les systèmes linéaires, en voici le plan :

  • Systèmes d’équations linéaires.
  • Théories des systèmes linéaires.
  • Méthode du pivot de Gauss.

 

Systèmes d’équations linéaires :

Droites dans le plan :

Pour bien comprendre et illustrer l’algèbre linéaire géométriquement, il nous faut faire la corrélation entre droites dans le plan, et applications de systèmes d’équations linéaires.

Dans un plan (Oxy), l’équation d’une droite s’écrit : ax + by = e. a et b, sont évidemment des constantes de R. Cette équation est une équation linéaire dont les variables sont x et y et est l’intersection de deux droites D1 et D2 dans le plan.
Un point (x, y) est dans l’intersection D1 ∩ D2, si il est solution du système :

Il existe trois possibilité de résultats dans un système linéaire :

  1. Les droites D1 et D2 se coupent en un seul point. Le système (S) a une seule solution :
  2. Les droites D1 et D2 sont parallèles. Le système n’a pas de solution :
  3. Les droites D1 et D2 sont confondues. Le système (S) a une infinité de solutions :

 

Méthode de résolution d’un système d’équations par substitution :