Electricité et lois du courant continu

Bonjour, bienvenue dans cette première partie de leçon consacrée à l’électricité. Ce cours couvrira l’électricité et est le premier cours dans le domaine de l’électromagnétisme.

Nous allons voir dans ce chapitre, les bases et les fondements de cette discipline.

L’électricité est une branche de la physique qui existe depuis environ deux siècles. Les principaux acteurs des avancées dans cette discipline furent Michael Faraday, Charles Coulomb, Georg Ohm, André-Marie Ampère et Alessandro Volta. Evidemment, cette liste n’est pas exhaustive.

Voici comment nous allons découper ce chapitre (Ce chapitre est un des plus longs du site, des modifications seront peut être apportées dans l’avenir afin de faciliter sa lecture) :

  • Définition, propriétés et mesure d’une tension électrique.
  • Intensité du courant.
  • La loi d’Ohm.
  • Résistante électrique.
  • Lois de Kirchhoff.
  • Inductance.

Les notions suivantes nécessite d’avoir vu le chapitre « Loi de Coulomb, force et champs électrique », la maîtrise des outils mathématiques de niveau 1, et le chapitre « Équations différentielles », :

  • Condensateurs et circuits RC.
  • Etude d’un circuit RL.
  • Etude d’un circuit RLC.
  • Théorèmes de Thevenin et Norton.
  • Etude de l’énergie emmagasinée dans des circuits RL, RC et RLC.

 

 

Définition, propriétés et mesure d’une tension électrique :

Pour faire fonctionner tout appareil électronique, un baladeur, une lampe de torche, nous utilisons majoritairement des piles. Lorsque nous les choisissons, nous tenons compte de l’indication (2V, 5V, 6V). Ces valeurs correspondent en fait à ce que l’on appelle, la tension électrique. et le V, signifie « Volt ».

Qu’est ce que la tension électrique ?
La tension électrique est la différence d’état électrique qui existe entre l’entrée et la sortie d’un appareil électrique. En physique, on parle de différence de potentiel (ddp).
Donc, on appelle la tension électrique entre deux points A et B d’un circuit électrique, la différence de potentiel entre ces deux points. On la note UAB.

Comment mesure t-on cette tension ?
La tension se note habituellement U, se mesure en volt, et comme dit plus haut, son symbôle est V, en l’honneur du physicien italien Alessandro Volta.
Pour mesurer la tension électrique d’un circuit, il faut un appareil appelé « voltmètre » :

 

On additionne deux tensions électrique en posant simplement U = U1 + U2.

Pour mesure la tension avec le voltmètre, il est nécessaire de placer ce dernier en dérivation (ou en parallèle) entre les deux points ou on veut mesure cette tension :

 

Quelles sont les propriétés de la tension électrique ?

Premièrement, lorsqu’on branche deux lampes en série sur un circuit, la somme des tensions aux bornes des dipôles est égale à la tension aux borne du générateur :

 

Dans ce cas de figure, Ug = UL1 + UL2. L1 et L2 étant des lampes.
On appelle cela la loi des mailles ou la loi d’additivité des tensions.

Le deuxième cas de figure de montage est le montage en dérivation, c’est à dire, en ne raccordant pas les deux lampes sur le même circuit. Dans ce cas là, la tension au borne d’un dipôle est égale à la tension aux bornes du générateur :

 

On peut dire que Ug = UL1 = UL2, plus géralement, U = U1 = U2 = U3…

 

 

Intensité du courant :

L’intensité du courant ne doit pas être confondue avec la tension, en effet, elle mesure le débit des charges à travers une section d’un circuit électrique. Son unité est l’ampère (A).
Son nom vient du physicien André-Marie Ampère,

Dans un circuit en série :

Tout comme la tension électrique, l’intensité ce mesure à l’aide d’un appareil appelé Ampèremètre, en revanche, contrairement au voltmètre, l’ampèremètre doit toujours être branché en série avec les dipôles concernés par la mesure. Le symbole de l’ampère est le suivant :

 

Par exemple, si l’ampèremètre branché indique un ampérage de 0.25 mA sur un circuit en série, alors cela veut dire que tous les composants de ce circuit sont traversés par cette intensité de courant.

Dans un circuit en dérivation : 

 

Dans ce circuit en dérivation, l’intensité de la branche principale est égale à la somme des intensités des courants passant dans les trois lampes : I = I1 + I2 + I3.
On appelle ça la loi des nœuds, et cette loi reste valable pour n’importe quel circuit en dérivation.

 

 

Loi d’Ohm : 

La loi d’Ohm est une loi physique, qui lie l’intensité d’un courant traversant un dipôle électrique, à la tension aux bornes du circuit ou passe ce courant. Ceci permet non seulement de déduire la valeur d’une résistance, mais en modifiant la formule, permet de déterminer également une intensité lorsque la tension et la valeur de résistance sont connues, ou de déterminer la tension lorsque l’intensité du courant et la résistance sont connues.

Nous allons rapidement définir ce qu’est une résistance, pour bien comprendre cette loi, mais nous verrons la notion plus en détails dans le point suivant.

En physique, la résistance désigne l’aptitude d’un matériau conducteur à s’opposer au passage d’un courant électrique d’une tension électrique donnée.
Son symbole est désignée par la lettre R, et son unité de mesure est l’ohm (Ω).
En d’autres termes, plus un composant ou un objet présent dans un circuit électrique est possède une résistance importante, moins il laissera passer le courant.

A présent, voici comment s’énonce la loi d’Ohm :

U = R × I, avec U la tension aux bornes de la résistance, R la valeur de la résistance, et I l’intensité du courant traversant la résistance.

Comment peut on interpréter de manière intuitive cet énoncé ? Cette loi indique que la tension aux bornes d’un résistance est proportionnelle à l’intensité du courant, et ce coefficient de proportionnalité est la valeur de la résistance.

 

 

La loi peut être modulée, par exemple, si on veut calculer la résistance, et que l’on connaît l’intensité et la tension :

R = U/I

Si on veut calculer l’intensité du courant, en connaissant la valeur de la résistance et la tension :

I = U/R.

Il se peut aussi que, si U et I sont orientés dans le même sens, qu’on appelle dipôle en convention générateur, nous ne verrons pas ce formalisme dans ce chapitre, mais on peut dors et déjà dire que dans ce cas de figure, la loi d’Ohm devient :

U = – R × I.

 

 

Résistance :

Nous avons vu dans le point sur la loi d’Ohm ce qu’était une résistance, nous allons ici, entrer plus en détails.

En électronique, une résistance est un composant figurant parmi les dipôles électriques. Elles sont conçues pour approcher de manière la plus satisfaisante la loi d’Ohm. Lorsque nous disons, « approcher la loi d’Ohm », nous faisons effectivement référence à la formule, mais pour comprendre le principe, il faut prendre un contre exemple.

La loi d’Ohm ne s’applique pas à tous les systèmes, par exemple, l’ampoule d’une lampe à incandescence ne répond pas à la loi d’Ohm. Lorsqu’on augmente la tension, l’intensité augmente, Le filament de l’ampoule chauffe, et sa résistance augmente. On appelle ce genre de résistance, une résistance non ohmique.

Voici la comparaison graphique de l’évolution de deux résistances, l’un dans lequel s’applique la loi d’Ohm, et l’autre, étant une lampe à incandescence (comme vu au dessus) :

 

 

Comme on peut le constater sur le schéma, lorsque la loi d’Ohm s’applique sur une résistance, l’intensité est proportionnelle à la tension, lorsqu’on double V, on double également I.
En revanche, dans une résistance non ohmique, ce n’est pas le cas, la courbe n’est plus linéaire.

La définition en électrocinétique dit que :
Si on soumet une différence de potentiel U continue à un objet (Volts), on provoque une circulation de charges électriques quantifiées par l’intensité du courant I (Ampères). Si cette intensité n’est pas nulle, la résistance R est alors le rapport entre la tension électrique sur l’intensité du courant : R = U/I.

 

 

Association en série :

Dans le cas d’un circuit en série composé de plusieurs résistances, on peut définir la somme des résistances comme étant un résistance unique, qu’on appellera « résistance équivalente » à la formule :

R_{eq}=\sum_{k=1}^n R_k = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots + R_n

Toujours dans le cas d’un circuit en série, toutes les résistances sont parcourues par un même courant i, donc :

  • La résistance no 1 répond à la loi d’Ohm par :
  • La résistance no 2 répond à la loi d’Ohm par :
  • La résistance no 3 répond à la loi d’Ohm par :
  • La résistance non répond à la loi d’Ohm par :

Pour la résistance équivalente :

  • La résistance équivalente répond à la loi d’Ohm par :

On sait que i (l’intensité du courant) ne varie pas aux bornes des résistances, elle est est partout la même. On sait également que la tension globale (Ureq) qui correspond à la tension aux bornes du générateur dans un circuit en série, est la somme des tensions aux bornes de tous les dipôles, ceci nous permet donc d’écrire que :

 \begin{cases} i_{R_{eq}} = i \\ u_{R_{eq}} = u_{R_1} + u_{R_2} + u_{R_3} + \cdots + u_{R_n} \end{cases}

Si on y intègre le courant, on a :

R_{eq} \times i = R_1 \times i + R_2 \times i + R_3 \times i + \cdots + R_n \times i.

En factorisant par i à droite, on a maintenant :

Finalement, en éliminant i des deux côtés de l’équation, on a bien que la résistance équivalente (totale du circuit), est bien la somme des résistances :

R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots + R_n

 

Associations en parallèle : 

Dans un circuit composé de résistances en parallèle, la valeur de la résistance équivalent se comporte différemment.
Dans ce circuit, les résistances R1,R2,R3,…,Rn) se réduisent à l’écriture :

R_{eq}=\frac 1 {\sum_{k=1}^n \frac 1 {R_k}} = \frac 1 { \frac 1 {R_1} + \frac 1 {R_2} + \frac 1 {R_3} + \cdots + \frac 1 {R_n}}

Etant en parallèle, les résistances sont obligatoirement soumises à la même tension U, de telle sorte que :

  • Pour la résistance n°1 :
  • Pour la résistance n°2 :
  • Pour la résistance n°3 :
  • pour la nième résistance :u = R_n \times i_{R_n}
  • Pour la résistance équivalente , on a donc :u_{R_{eq}} = R_{eq} \times i_{R_{eq}}

Qu’est ce que cela nous permet d’écrire ?

 \begin{cases} u_{R_{eq}} = u \\ i_{R_{eq}} = i_{R_1} + i_{R_2} + i_{R_3} + \cdots + i_{R_n} \end{cases}

En fait, si on observe le même système d’équation sur un circuit en série (vu plus haut) et celui ci, quel commentaire peut on faire ? Dans un circuit en série, l’intensité du courant du circuit ne varie pas aux bornes des dipôles, tandis que la tension équivalente est la somme des tensions aux bornes des dipôles. Au contraire, dans un circuit en parallèle (ou en dérivation), il se passe l’inverse, la tension est la même aux bornes des dipôles du circuit, alors que l’intensité équivalente elle, est la somme de l’intensité aux bornes des dipôles.

Si on divise la deuxième équation par la première, on a :

\frac {i_{R_{eq}}}{u_{R_{eq}}} = \frac {i_{R_1} + i_{R_2} + i_{R_3} + \cdots + i_{R_n}} u

Si on sépare maintenant les termes :

\frac {i_{R_{eq}}}{u_{R_{eq}}} = \frac {i_{R_1}} u + \frac {i_{R_2}} u + \frac {i_{R_3}} u + \cdots + \frac {i_{R_n}} u

Il va nous être difficile de travailler avec cette équation, nous allons donc remplacer quelques termes par des égalités que nous connaissons, comme u_{R_{eq}} = R_{eq} \times i_{R_{eq}}. On peut donc simplifier des deux côtés de l’équation par Req × i et on a donc :

\frac 1 {R_{eq}} = \frac 1 {R_1} + \frac 1 {R_2} + \frac 1 {R_3} + \cdots + \frac 1 {R_n}

Nous voulons la valeur de Req et non de 1/Req, on multiplie donc par l’inverse d’un côté et de l’autre :

R_{eq} = \frac 1 { \frac 1 {R_1} + \frac 1 {R_2} + \frac 1 {R_3} + \cdots + \frac 1 {R_n}}

On retombe bien sur l’affirmation que nous avons affirmé plus haut :

R_{eq}=\frac 1 {\sum_{k=1}^n \frac 1 {R_k}} = \frac 1 { \frac 1 {R_1} + \frac 1 {R_2} + \frac 1 {R_3} + \cdots + \frac 1 {R_n}}

Si on est dans une situation ou il n’y a que deux résistances en dérivation, ou que l’on travaille par groupes de 2 résistances à la fois, il existe cette formule un peu plus rapide :

R_{eq} = \frac {R_1 \times R_2 }{ R_1 + R_2 }

En fait, plus on ajoute de résistances dans le calcul, et plus la résistance diminue. En effet, c’est logique, dans une fraction, si le numérateur est 1, plus le dénominateur est grand, plus le résultat de cette fraction sera petit.

 

 

 

Application :

Nous avons vu que le calcul de résistances en séries était très simple, il suffit de faire la somme des résistances le long du circuit. En revanche, la notion de résistances en parallèle est peut être encore un peu vague dans votre esprit.
Essayons de calculer la résistance équivalente dans ce circuit :

 

 

Supposons que R4 = 10 Ω, R1 = 2 Ω; R2 = 5 Ω, R5 = 8 Ω, R6 = 6 Ω et R3 = 12 Ω.

R4 et R3 sont en série, pas de problème avec ça, en revanche, entre R4 et R3, il y a un nœud dans lequel plusieurs résistances sont en parallèle. On ne peut donc pas simplement en faire la somme.
Pour cela, nous allons utiliser la formule que nous connaissons et qui permet de calculer la somme de résistances en dérivation :

\frac 1 {R_{eq}} = \frac 1 {R_1} + \frac 1 {R_2} + \frac 1 {R_3} + \cdots + \frac 1 {R_n}

*Attention, il est évident qu’il est impossible de simplifier le numérateur pour des raisons logiques. On suppose que vous le savez, mais donnons tout de même un exemple :

On sait que 1/2 = 1/4 + 1/4, cependant, on voit bien qu’il est impossible de simplifier le numérateur, car 2 ≠ 4 +4.

On va donc poser R’ = R1 + R2 + R5 + R6.
En remplaçant par les valeurs, on a :

Nous allons réduire au même dénominateur, étape par étape :

Puis, on utilise la règle de réduction au même dénominateur de la somme de deux fractions ((a/c + b/d = ad + bc)/cd)) :

La même chose pour les deux fractions restantes :

On a donc R’ = 240/238 = 1.0084 Ω

A présent, si on veut calculer la somme totale des résistances du circuit entier, on fait :

R4 + R’ + R3 = 23.0084 ohm.

 

 

 

Lois de Kirchhoff : 

L’électricité répond à plusieurs propriétés physique qui font d’elle ce qu’elle est, et il nous est possible de définir mathématiquement entre autre, l’intensité du courant par exemple.
Pour bien comprendre ce qui va suivre, il faut savoir se représenter en pensée, que l’intensité du courant n’est autre qu’un débit de charge par unité de temps tel que  :
{\displaystyle (i={\frac {dq}{dt}}\,)}.

Autrement dit, il s’agit de la mesure du nombre d’électrons parcourant le circuit, mais nous verrons cela lorsque nous aborderons les lois de Coulomb.

Il faut également savoir que les charges ne peuvent pas s’accumuler à un endroit quelconque du circuit, donc, elles circulent, et par conséquent, l’intégralité des charges arrivant à un nœud, en repartent.

 

Loi des nœuds :

En électricité, un nœud est le point de connexion entre deux parties d’un circuit.

Techniquement, on peut dire que la somme des intensités des courants entrants par un nœud est égale à la somme des intensités des courants qui en sortent. On peut formaliser ceci de cette manière :

{\displaystyle \sum i_{\text{entrant}}=\sum i_{\text{sortant}}}

Par exemple, schématiquement :

 

 

Sur ce schéma, on a choisi un sens du courant arbitraire. D’après la loi des nœuds, on a dans ce schéma :

{\displaystyle i_{2}+i_{3}=i_{1}+i_{4}}.

 

Loi des mailles : 

Définissons tout d’abord ce qu’est une maille. Une maille est un chemin fermé, tel que lorsqu’on parcours une maille, on part d’un point a et on revient vers ce même point a.
On peut schématiser une maille comme ceci :

 

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La loi des mailles est l’ensemble de branches d’un circuit qui forme une boucle. On peut faire l’analogie avec un circuit en série. Contrairement à la loi des nœuds, la loi des mailles dit que dans une maille, la somme algébrique des tensions de long de la maille est constamment nulle.
On sait que la tension est le potentiel électrique entre deux points. Grâce à cette définition, la loi des mailles découle.
La tension entre a et b est :

{\displaystyle \scriptstyle U_{ab}=V_{a}-V_{b}}.

et   sont les potentiels respectifs aux points a et b.
Si on additionne toutes les tensions d’une maille en se servant de cette définition, on obtient un résultat nul, en effet, c’est tout à fait logique, si on parcours la totalité d’une maille, on se trouve forcément au point de départ, et dont, au potentiel de départ.

Loi des mailles.png

 

Dans cet exemple, on va effectuer l’équation de la loi des mailles :

{\displaystyle U_{ab}+U_{bc}+U_{cd}=U_{ad}\;}.

et

C’est tout à fait logique, pour les raisons que nous avons expliqué plus haut, la somme des tensions dans une maille est nulle.
Un autre schéma explicatif :

 

Loi des mailles simplifiée.png

 

Nous savons que Uad = -Uda, ll est donc également possible d’étendre cette notion et écrire :

 

Pont diviseur de tension :

Il arrive parfois que dans un circuit, on veuille diminuer la tension. Pour cela, on utilise ce qu’on appelle des ponts diviseurs de tension, ou autrement dit, des résistances.
Les ponts diviseur de tension servent aussi à déterminer la tension à un endroit particulier d’un circuit, par exemple, entre deux résistances.
On sait, selon la loi d’Ohm, que la tension totale d’un circuit est égale au produit de l’intensité totale et de la résistance totale de ce circuit (U = R.I).

 

Sur cette image, on voit que la tension sur la maille orange est définie par U = (R1 + R2) × I.
Si on cherche I, on aura transformé l’équation de sorte que I = U/(R1 + R2). Gardons ce résultat et penchons nous maintenant sur le circuit en vert :

 

Si on veut à présent connaître la tension dans cette maille, on a U = R2 × I et donc I = U/R2.

Comment connaître la tension de tout le circuit ?
Appelons U1 le circuit orange et U2 le circuit vert. Pour calculer la valeur de U2, il suffit de remplacer I par sa valeur dans l’équation U = R2 × I, de telle sorte que :

U2 = R2 × (U1/R1 + R2), ou si on transforme l’équation : U2 = U1 × R2/(R1 + R2). C’est terminé ! Il ne nous reste plus qu’à calculer !

Prenons un exemple :

Quelle est la tension de R2 dans ce circuit ?

 

On va appeler U1 le circuit à gauche, et U2 le circuit à droite.
On sait, d’après la formule, que : U2 = U1 × R2/(R1 + R2). Donc, si on remplace par les valeurs correspondantes, on a :

U2 = 9 ×4700/(6800 + 4700).

U2 = 9 ×4700/11500.

U2 = 9 × 0,4087

U2 = 3,37V.

 

Prenons un autre exemple dans un circuit composé de deux trois résistances, dont deux en parallèle :

On veut calculer la tension Va aux bornes des résistances en parallèle R2 et R3 :

 

 

Comment procède t-on ?

On connait la formule du pont diviseur de tension pour deux résistances, quelle est elle ?

U2 = U1 × R2/(R1 + R2)

On connait également l’équation de résistance équivalente pour deux résistances en parallèle :

Req = R2 × R3/R2 + R3.

Si on applique ceci dans la formule du pont diviseur de tension, on change le terme « R2 » par l’équation ci dessus. Autrement dit, on transforme deux résistances en une seule :

U2 = U1 × R2/(R1 + R2) devient –> U2 = U1 × (R2 × R3/R2 + R3)/(R1 + R2 × R3/R2 + R3).

A présent, simplifions par « R2 + R3 » :

U2 = U1 × (R2 × R3/R1 × (R2 + R3) × R2 × R3).

*Attention, pourquoi avons nous multiplié R1 par « R2 + R3 » au dénominateur? Il ne faut pas oublier que R1 est une valeur isolée. C’est uniquement car nous avons Req en haut et en bas que nous avons simplifié, mais si on multiplie Req en haut et en bas par « R2 + R3 », il faut également appliquer cette multiplication à R1.

A présent, si on développe, on a :

U2 = U1 × (R2.R3/R1.R2 + R1.R3 + R2.R3). Nous avons trouvé la formule générale du point diviseur de tension lorsque nous sommes en présence de deux résistances en parallèle. A présent, si on en revient aux notations du schéma initial, Va étant U2 et Vin U1, on a :

{\displaystyle V_{a}=V_{in}\times {\frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}}}

 

Prenons un dernier exemple, plus simple :

Supposons que nous ayons un circuit en série. Prenons un courant I, parcouru par deux résistances R1 et R2 :

 

La tension Ue, qui est la tension d’entrée, est égale à la somme des tensions U1 et Us tel que Ue = U1 + Us. En effet, selon la loi des mailles, on sait que Ue – U1 – Us = 0.
On sait aussi, selon la loi d’Ohm, que U2 = R2 × I  et Us = R1 × I.

A présent, si on considère les trois équations ci dessus comme un système, on peut les résoudre en appliquant les valeurs adéquates.

Ue = R2 × I + R1 × I.

En factorisant par I, on a :

Ue = (R1 + R2) × I.

Ce que l’on cherche, c’est Us. On veut pouvoir exprimer Us en fonction de Ue. Nous connaissons I, en effet, en modifiant l’équation « Us = R1 × I », on a I = Us/R1. Si on remplace la valeur de I dans l’équation « Ue = (R1 + R2) × I », on a :

Ue = (R1 + R2) × Us/R1.

Pour finir, on isole Us :

Us = R1/(R1 + R2) × Ue. Que remarquons nous ? Eh bien, on retombe bien sur la formule que nous avions vu au départ, qui n’est autre que :

U2 = R1/(R1 + R2) × U1 ou encore U2 = U1 × R1/(R1 + R2).

 

 

Pont diviseur de courant et conductance :

Résumons ce que nous avons vu jusqu’à présent concernant l’intensité et la tension dans un circuit :

  • On sait que lorsqu’un montage est en série, l’intensité reste la même aux bords de tous les dipôles, en revanche, la tension est différente.
  • A l’inverse, lorsque le montage est en parallèle, l’intensité varie aux bords des dipôles en dérivation, alors que la tension elle, ne change pas, elle est la même que celle du générateur.

Nous avons vu le pont diviseur de tension, nous avons définit ce que c’était et montré des exemples, à présent nous allons voir ce qu’est un pont diviseur de courant ainsi que la notion de conductance.
Grâce à un pont diviseur de tension, il est nous est possible de diviser le courant d’arrivé à un certain endroit du circuit (par exemple entre deux résistances).
Un pont diviseur de courant agit de manière similaire, mais pour le courant.

Prenons tout de suite une exemple :

Nous avons un circuit avec deux résistances R1 et R2 en parallèle.
Un courant I parcours le circuit et une tension U est générée par le générateur B.

On suppose qu’on ne connait pas l’intensité du courant en I1 et I2.
Pour les calculer, rappelons des formules que nous connaissons.

Tout d’abord, calculons la résistance équivalente, autrement dit la somme de R1 et R2. R1 et R2 étant en parallèle, on sait que :

Req = R1 × R2/R1 + R2.

A présent, que vaut I1 ? On sait que U = R × I, donc, I = U/R. On peut donc déduire que I1 = U/R1 et I2 = U/R2.

Si U = R × I, alors U = Req × I, donc si on remplace Req par sa valeur, on a : U = (R1 × R2/R1 + R2) × I.

Remplaçons maintenant toutes les valeurs dans l’équation de I1.

On a I1 = ((R1 × R2/R1 + R2) × I)/R1.
Par souci de praticité, on va plutôt noter cette équation comme :

I1 = (R1 × R2/R1 + R2) × I × 1/R1. On rappelle que diviser une valeur par un nombre revient à multiplier cette valeur par l’inverse de ce nombre.

A présent, si on simplifie par R1, on a :

I1 = R2 × I/R1 + R2.

En fait, par le même procédé, on trouve que I2 = R1 × I/R1 + R2.

On peut prouver que U = R2 × I2 = R1 × I1.
On sait que dans un circuit en parallèle, la tension reste la même aux bords des dipôles.

En revanche, on peut aussi démontrer par la loi des nœuds que I = I1 + I2.

Tout ceci, nous pourrions l’exprimer d’une autre manière, premièrement, en généralisant le théorème du pont diviseur de courant, et deuxièmement, en définissant une nouvelle notion, qu’on appelle la conductance.

Tout d’abord, si on veut exprimer de manière générale le théorème, résultant des calculs que nous avons effectués.
Imaginons que nous ayons un circuit sur lequel nous avons n résistances en parallèle, comment procéderions nous ?

Nous avons vu que lorsque nous avons 2 résistances en parallèle, on écrit I1 = R2 × I/R1 + R2, et I2 = R1 × I/R1 + R2, mais nous avions n résistances et que nous voulions calculer l’intensité du courant aux bords de la résistance d’indice j ?
Pour 3 résistances en parallèle, on sait que U = Req × I, donc :

I = U/Req, autrement dit :

{\displaystyle U={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}}}\times I\;}

On sait que la tension est la même aux bords de tous les dipôles, on peut donc dire que :

U = R1 × I1 donc U = Req × I = R1 × I1. J’espère que vous suivez… Etant donné ce résultat, on peut écrire :

{\displaystyle R_{1}\times I_{1}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}}}\times I\;}

Si à présent on simplifie par R1, on a :

{\displaystyle I_{1}={\frac {1}{1+{\frac {R_{1}}{R_{2}}}+{\frac {R_{1}}{R_{3}}}}}\times I\;}

Maintenant, on multiplie par (R2 × R3) les valeurs du quotient, et on a  :

{\displaystyle I_{1}={\frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}}\times I\;}

 

On peut généraliser ceci de la manière suivante :

Par conséquent, on peut l’écrire de cette manière :

A présent, présentons une nouvelle notion, la conductance.
La conductance est une notion très simple à comprendre, il s’agit de la propriété d’un matériaux à transporter le courant, plus la conductance est élevée, plus le courant traversera facilement l’objet. En effet, la conductance est tout simplement, et par définition, l’inverse de la résistance.
On la note G, et elle peut donc s’écrire de cette manière :

G = 1/R.

Grâce à cette notion, on peut écrire les formules telles que le pont diviseur de courant de comme ceci :

 

 

Inductance :

Vous avez surement déjà vu, dans des schémas ou de vrais circuits électriques, des bobines. Vous vous êtes peut être demandé à quoi elles servaient. Nous allons tenter d’y répondre.

Tout d’abord, schématiquement, voici à quoi ressemble une bobine (inductance) :

 

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Le grand L représente la valeur de l’inductance, et son unité de mesure est le « Henry », en l’honneur du physicien Joseph Henry.

En réalité, l’inductance est un phénomène magnétique, et nous reviendrons dessus sur la page consacrée à la magnéto-statique.
Ici, nous n’allons aborder que son rôle dans un circuit électrique.

Prenons un circuit électrique, composé d’un générateur idéal (capable d’imposer une tension constante), d’une résistance, et d’une inductance idéale (résistance = 0), montés en série :

 

A présent, montrons un diagramme dans lequel on peut visualiser la tension en fonction du temps, à cause de l’influence de l’inductance :

 

 

Nous allons essayer de comprendre ce que nous avons là, ensuite nous matérialiserons tout cela dans une formule générale.
Cette observation va nous permettre de déterminer (et de comprendre) de quelle manière la bobine (ou l’inductance) fait varier la tension aux bornes de la résistance.

Première supposition, dont on va démontrer la véracité ou non.

Tout d’abord, on sait (grâce à une mesure de la tension au préalable) que 0 < t < 5 m/s, Uam = – 0,2 V.

Première application :

a) La tension aux bornes de R, admet elle : UBM =RI ?

la réponse est non, pourquoi ?

Dans un circuit conventionnel (qu’on appelle un circuit en convention récepteur), le sens du courant i, correspond au sens de circulation des particules chargées positivement (allant du + au -), alors que le sens de la tension, qui correspond au sens de circulation des électrons, va du – vers le +.
Or, dans ce cas de figure,  UBM, correspond en fait au trajet de la tension de M vers B, dans le même courant donc que le courant i…
Donc, UBM ≠ RI, mais UBM = -RI :

 

 

Deuxième application :

b) Peut on dire que UAM = L × I ?

Non, car une inductance ne se comporte pas comme une résistance ou dipôle normal, la tension d’une inductance se calcul par rapport au temps. Il serait impossible de connaître les variations de la tension sur une inductance à tout moment, alors, nous avons utiliser une notion que nous connaissons, la dérivée, et on va noter les choses de cette manière :

UAM = +L × di/dt.

Si on se sert de l’équation UBM = -RI, on peut isoler I et le remplacer dans l’équation UAM, en effet :

UBM = -R × I, donc

I = -UBM/R.

Donc :

UAM = +L × d/dt (-UBM/R).

Pour faciliter le calcul, on va sortir le -1/r des parenthèses et on aura :

UAM = -L/R × d × UBM/dt.

Que représente d × UBM/dt ? Il représente dans le diagramme, la variation de la tension dans le temps, et donc la pente des segments de droites.

Troisième application :

c) On veut connaître la valeur de l’inductance, et on va supposer qu’elle vaut 0,2 H ? Est-ce vrai ? Nous allons voir…

On va se servir de l’équation UAM = -L/R × (d × UBM/dt).

On va devoir calculer la pente entre 0 et 5 ms (car c’est l’inductance UBM qu’on cherche) :

 

 

On sait calculer une pente, on divise la longueur y par la longueur x (dans ce cas de figure).
N’oublions pas que nous sommes en millisecondes, donc 1s = 10^-3 m/s.

Dans l’énoncé, on nous dit que la tension comprise entre 0 et 5m/s aux bornes UAM était de -0,2V.

On remplace donc UAM par -0,2, R par 1000 (pour 1000 ohm), et donc :

-0,2 = -L/1000 × 200. On se débarrasse des « moins » :

0,2 = L/1000 × 200. Ensuite :

0,2 = L/10 × 2.

2 = 2L, et donc :

L = 1 Henry, donc, la première supposition était fausse.

Dernière application :

d) Peut on démontrer que sur l’intervalle 5 m/s < t < 7.5 m/s, UAM = + 0,4 V ?

Eh bien, c’est simple, comme pour la question précédente, on pose :

+ 0,4V = -L/R × d × UBM/dt.

Cette fois, l’intervalle de temps est entre 5 et 7.5 m/s, on va calculer la pente :

 

 

On a à présent :

+ 0,4V = -L/R × – 400V.

On sait que L = 1H, et R = 1000 ohm, on remplace :

+ 0,4V = -1/1000 × – 400V.

+ 0,4V = -1/10 × – 4V.

+ 0,4V = 1/10 × 4.

UAM = 0,4V. On peut affirmer qu’en effet, la première affirmation était juste.

On peut exprimer à présent, la formule générale de l’inductance par rapport à la tension électrique d’un circuit à travers cette équation (différentielle) :

u_{{{\mathrm {B}}}}=L{\frac {{\mathrm {d}}i}{{\mathrm {d}}t}}+ri

UB est la tension aux bornes de la bobine.
L est l’inductance de la bobine.
r, la résistance propre de la bobine ( r = 0 dans le cas d’une bobine parfaite).
i le courant électrique.

 

Condensateurs et circuits RC en série :

Nous allons parler ici de plusieurs notions qui sont nouvelles comme les condensateurs, la permittivité électrique, et les milieux et matériaux diélectriques.

Tout d’abord, le condensateur :

Un condensateur est un composant électrique (électronique), permettant d’emmagasiner des charges électriques, par conséquent, de l’énergie électrique, son symbole est C, qui est la capacité électrique et qui est exprimée en Farad (en l’honneur du physicien Michael Faraday).
Il est définit comme deux plaques métalliques sur un circuit (armatures), séparées par un isolant (diélectrique).

 

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Tout d’abord, définissons quelques propriétés particulière d’un condensateur :

  • Le condensateur ne se comporte pas comme un conducteur ohmique (ce n’est pas une résistance).
  • Le conducteur se charge et se décharge. Il est capable d’accumuler des charges électriques et lorsque le circuit est ouvert de manière spontanée , il continue à fournir une tension à ce dernier pendant un moment, en se déchargeant avec le temps.

Pour bien comprendre ce qui va suivre, il faut définir quelques notions et faire également quelques rappels :

Premièrement, parlons de ce qu’on appelle la capacité électrique.
La capacité électrique C représente la quantité de charges électrique portées par le condensateur soumis à une certaine tension électrique. La capacité électrique se mesure en coulombs par volts :

C = Q/V.

Le coulomb par volt est appelé le Farad.
Si on veut connaître la capacité électrique d’un corps (un condensateur par exemple), en connaissant la quantité de charge qui le traverse et le potentiel électrique à ses deux bornes, on peut calculer sa capacité électrique.
Admettons que la quantité de charges soit de 8 coulombs et soumis à une tension de 4 Volts, alors on a C = 8/4 = 0.5.
Cela veut dire que sa capacité électrique est de 0.5 coulombs par volts, ou 0.5 Farad.

 

Charge d’un condensateur dans un circuit RC en série :

Nous allons étudier le comportement d’un condensateur dans un circuit RC avec un montage en série. RC désigne un circuit dans lequel sont placés un générateur, une résistance et un condensateur. Il existe d’autres types de circuits, comme le circuit RL (générateur, résistance et bobine), ou RLC (générateur, résistance, bobine et condensateur), ces derniers sont les plus compliqués, nous les verrons à la fin de ce chapitre.
Il faut comprendre que le condensateur joue le rôle de réservoir à électrons, Lorsqu’on applique une tension électrique aux bornes de celui-ci, il se charge.
Admettons qu’on note la première armature a (en bas sur le schéma) et la seconde b (en haut sur le schéma).
Lorsqu’un électron arrive sur l’une des deux armatures, l’armature a par exemple, un électron de l’armature b se dirige vers la borne positive de la pile.
Par exemple, si une charge négative quitte l’armature b, alors, il apparaît sur cette même armature, une charge positive.
A chaque instant, qa = -qb = q, qui est la charge du condensateur. Petit à petit, une différence de potentiel se crée entre les armatures a et b. Lorsque cette différence de potentiel atteint celle aux bornes de la pile ou du générateur, le courant ne circule plus.

 

 

Lorsqu’on le débranche, le condensateur conserve une charge électrique sur ses armatures. Il se comporte comme un réservoir à électrons.

La Relation entre intensité et charge du condensateur se définit telle que :

i = dq/dt. C’est une fonction du temps qui est à priori dérivable.

Avec i en Ampères, et q en Coulombs.

La capacité d’un condensateur, que nous avons vu plus haut, se définit à son tour comme :

q = C × U.

Avec U en Volts et C en Farad.
Précisons que le Farad lui même n’est jamais utilisé car beaucoup l’unité est beaucoup trop grande, en effet, à titre comparatif, la capacité électrique de la Terre avoisine les 1F.
Par conséquent, on utilisera plutôt les μF (Micro Farad), ou nano Farad, voir Pico Farad dans certains systèmes.

Nous connaissons les principales relations et équations d’un condensateur, à présent, intéressons nous à la relation entre l’intensité et la tension :

Si i = dq/dt, et q = C × U, alors :

{\displaystyle i={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} C.u}{\mathrm {d} t}}=C.{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}}

Dans ce cas de figure, U et i sont de sens opposés, convention que l’on appelle « convention récepteur », si nous avions décidé que u et i étaient dans le même sens, ça n’aurait pas changé grand chose, hormis le signe, tel que :

{\displaystyle i=-C{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}}

Convention :
En physique, et plus particulièrement en électromagnétisme ou électrocinétique, on parle souvent de circuit RC, comme nous l’avons dit plus haut, qui définit un circuit (souvent) en série, ou se trouve, un générateur idéal, une résistance et un condensateur.
On suppose que lorsque t < 0, la tension du générateur est nulle, et pour t > 0, la tension devient une constante E.

Nous allons passer à quelque chose de légèrement plus compliqué….
Exprimer la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps.
Pour cela, nous allons devoir résoudre une équation différentielle.

D’après la loi d’ohm, on sait qu’on peut directement écrire que la tension aux bornes de la résistance est Ri (U = RI), pour éviter les notations inutiles.
On sait également, d’après la loi des mailles, que la tension totale du circuit est la somme des tensions aux bornes de tous les dipôles, soit :

En se servant de la relation entre l’intensité et la tension que nous avons vu plus haut, on peut tout réécrire de cette manière :

{\displaystyle E=RC{\frac {du}{dt}}+u}

Voici l’équation différentielle que nous cherchons à résoudre pour trouver la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps.

Prenons un exemple pour continuer la résolution de cette équation :

 

Ici, on va s’intéresser à u(t), qui est la tension aux bornes du condensateur. et on va donc écrire :

*Le u point désigne la dérivée première de u(t), telle que u'(t) = du(t)/dt.

Grâce au cours sur la résolution d’équations différentielles de la forme y’ + ay = b, nous savons qu’il faut trouver une solution homogène et une solution particulière, desquelles nous ferons la somme pour trouver la solution générale et ainsi résoudre le calcul.

Nous savons que la solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre constant s’écrit sous la forme :

Alors comment la transformer dans notre cas de figure ? Déjà, nous allons prendre t comme variable et non x, car nous étudions le système en fonction du temps, et on pose donc :

{\displaystyle {\frac {E}{RC}}={\frac {du}{dt}}+{\frac {1}{RC}}u}

*A noter que nous avons diviser les termes de la première équation par RC.
Que vaut y dans cette équation ? Il faut prendre la valeur qui est la fonction dans cette équation, donc y = u. 1/RC est donc égal à a, puisque ay. Que vaut b ? b = E/RC.
Si on retranscris l’équation telle que nous voulons la résoudre (u(t) = y), on trouve :

On peut aisément simplifier ceci :

Nous avons la solution générale, mais il nous reste à trouver k.
Résolvons alors u(0) :

exp(0) étant égal à 1, cela nous fait :

On sait qu’à t = 0, la tension aux bornes du condensateur est nulle, de telle sorte que u(0) = 0, par conséquent :

On remplace k par sa valeur dans l’équation de u(t), et on a :

On réorganise un peu tout cela, en mettant E en facteur :

 

Voici un autre moyen de résoudre cette équation qui se fera en plusieurs étapes, si nous devions procéder à la résolution d’une équation différentielle, dont le résultat correspondrait à la somme de la solution homogène et de la solution particulière. On va donc poser (A est substitut de k) :

Tau étant la constante de temps, elle remplace RC. Si vous ne vous savez pas ce qu’elle est et/ou ce qu’elle définit, veuillez vous rapporter à cette page.
Nous allons ici démontrer qu’elle vaut RC, tel que τ = RC.
Maintenant, on va réécrire le calcul de sorte de résoudre une équation différentielle à second membre nul :

A corriger, RC × du/dt.

Nous allons remplacer u(t) par la valeur que nous lui avons donné au dessus et u point par la dérivée de cette valeur :

Erreur ici, ce n’est pas RC + d/dt mais RC × d/dt.

On dérive maintenant u(t) en sortant A (constante) de la dérivée :

Erreur à noter ici, ce n’est pas RC – A mais RC × A.

*En effet, ne pas oublier que e'(u) = u’ e(u). A présent, pour rendre ce calcul plus lisible, on va rassembler les termes :

A présent, on factorise par A exponentielle de moins t sur tau :

Ce qu’on remarque ici, c’est que le facteur A ne peut pas valoir 0, l’exponentielle non plus, donc, on peut simplifier par ces deux valeurs :

Donc :

Par conséquent :

τ = RC

 

Deuxième étape :

La deuxième étape consiste à travailler avec le second membre de l’équation, et pour cela, nous allons chercher une solution particulière.
Lorsqu’on regarde l’équation initiale que nous devons résoudre, on voit que le second membre est une constante :

On va appeler cette constante, K, tel que :

*L’indice p correspond à « solution particulière »
Maintenant, voyons à quoi est égal K, on remplace u(t) par sa valeur :

En effet, si u(t) = K, alors sa dérivée est 0, comme la dérivée de toute constante, donc, on en déduit que :

K = E.

 

Troisième partie:
Donnons maintenant l’expression de la solution générale (C’est presque terminé ! :D) :

On fait la somme de la solution homogène et de la solution particulière, et donc :

 

Dernière partie :
A présent, il nous reste à déterminer la valeur de A. Cette étape est moins longue, car il nous suffit de prendre les conditions initiales.

Comme vu plus haut, on sait que lorsque t = 0, alors u(0)=0, ce qui est logique, car lorsque le générateur n’est pas allumé, il n’y a pas de tension dans le circuit, donc pas de tension aux bornes du condensateur non plus.
Par conséquent :

Mais que vaut exp(0) ? exp(0) vaut 1, donc :

En conclusion :

Pour finir, il ne nous reste plus qu’à substituer A par sa valeur dans l’équation que nous avons trouvé en faisant la somme de la solution homogène et de la solution particulière, pour avoir la formule générale de la variation de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps :

Si on remanie un petit peu cette expression pour la rendre plus claire, on aura donc :

Et voilà ! Nous avons trouvé le même résultat que pour la première méthode.

 

L’intensité du courant dans un circuit RC en série aux bornes d’un condensateur (déchargé) :

On connait la tension aux bornes d’un condensateur.
Nous voulons calculer l’intensité à présent.
On sait que l’intensité correspond à :

{\displaystyle i={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} C.u}{\mathrm {d} t}}=C.{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}}

On connait également l’expression de u(t) (ou Uc(t), qui n’est autre que la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps), nous l’avons déterminé dans le calcul de la charge du condensateur :

On connait la valeur de u(t) aux bornes du condensateur, on peut donc calculer sa dérivée, dont nous avons besoin pour calculer i :

Donc :

Après avoir dérivé, on a :

A présent, remplaçons u'(t) dans l’équation i, et posons comme nous le savons, τ = RC :

Que voit-on ? On peut évidemment simplifier par C, d’ou l’intérêt d’avoir remplacé tau par RC :

Si on simplifie les moins, on passe E sur R, et on a la formule générale de l’intensité du courant aux bornes d’un condensateur et qui est définie par :

 

Voici comment nous pouvons exprimer schématiquement la relation entre intensité et tension aux bornes d’un condensateur (prenant comme référence t = 0, le moment ou l’on allume le générateur).

Pour la tension :

En effet, on sait que lorsque t = 0, u(t) = 0 car :

Ensuite, on peut également connaître le maximum et définir une asymptote, et ce maximum est E, car :

Pour le courant :

De même que pour la tension, on peut définir la courbe de l’intensité telle que :

Et, pour définir l’asymptote (maximum de la courbe), on a :

 

 

Décharge d’un condensateur en circuit RC en série :

Nous avons vu que lorsque le condensateur est chargé, que t tend vers l’infini, u(t) aux bornes du condensateur tend vers E, c’est à dire, la même tension que celle générée par le générateur.
Lorsque le condensateur est déchargé en revanche, que t tend vers 0, u(t) aux bornes du condensateur tend vers 0 également.

Prenons un circuit que nous représentons comme suit :

Dans notre étude sur la charge du condensateur, nous n’avons pris en compte que la partie 1 du circuit, c’est à dire lorsque l’interrupteur k1 est fermé et k2, ouvert. Autrement dit, nous n’avions considéré que la première maille. Ici, nous allons étudier la deuxième maille et voir comment le condensateur se comporte. Pour cela, nous fermons l’interrupteur k2 et ouvrons k1.
Le générateur se trouve alors isolé, et le condensateur prend en quelque sorte sa place.

On sait, d’après le schéma, que Uc = UR’. Le courant étant dans le sens opposé, on sait également que Uc = -Ri.
Donc, Uc + Ri = 0.

Reprenons l’équation Uc + Ri = 0. On va remplacer i par sa valeur et on a :

On remet ça sous forme canonique, c’est à dire avec la plus grande dérivée en premier sans coefficient, et en divisant par RC on a :

On retrouve ici une équation différentielle tout comme dans le chapitre précédent.
Reprenons un t = 0 avec une origine de temps différente, c’est à dire, à partir du moment ou on ferme l’interrupteur k2, que le circuit n’est plus relié au générateur, que le condensateur est à pleine charge, et va se décharger au cours du temps.

La solution homogène de Uc est :


On sait que Uc = E lorsque le condensateur est chargé. Donc :

Mais si Uc(0)= E, alors :

E = k

On remplace maintenant le k par E dans l’équation, et on a :

A présent que nous avons Uc, nous allons pouvoir trouver i.

Comme vu plus haut, nous répétons, on sait que :

{\displaystyle i={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} C.u}{\mathrm {d} t}}=C.{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}}

Si on remplace de nouveau par les valeurs qu’il faut, on aura :

On dérive à présent l’expression, et on trouve :

On simplifie par C :

Représentons de nouveau à l’aide de schémas, la relation entre le courant et la tension lors de la décharge du condensateur, pour la tension tout d’abord :

Rappelons qu’ici, le t = 0 correspond à l’ouverture de l’interrupteur k1 et à la fermeture de l’interrupteur k2. Autrement dit, on isole la seconde partie du circuit (maille), en laissant le condensateur se décharger.
Comme vu pour la charge du condensateur, on définit la courbe en u(0) et en u(∞).

Pour le courant :

On définit i(0) tel que :

et

 

Échelon de tension dans un circuit RL en série :

Nous allons étudier ici, le comportement d’un circuit RL (Générateur, résistance et bobine), soumis à des changements de tension. Nous avions vu dans un chapitre précédent, comment exprimer l’inductance en fonction du courant électrique, à présent, nous allons voir comment varie l’inductance et le courant passant dans la bobine, lorsque la tension varie et en utilisant la loi des mailles. Pour cela, et comme pour le calcul des tensions et intensités aux bornes d’un condensateur, nous allons poser une équation différentielle qu’il nous faudra résoudre.
Tout d’abord, essayons de trouver i :

Nous savons déjà que :

{\displaystyle u=L.{\frac {di}{dt}}}

Selon la loi des mailles, et en rapport avec le schéma ci-dessus, on peut affirmer que :

On peut donc réécrire en remplaçant la tension aux bornes de la bobine et de la résistance :

Ce qu’on veut, c’est exprimer i en fonction du reste, on va donc simplifier par L :

Ce qu’il faut faire à présent, c’est définir la constante de temps.
D’après le chapitre sur la constante de temps, on sait qu’elle est déterminée comme étant l’inverse du coefficient de la fonction étudiée, tel que :

Donc, dans ce cas de figure, τ = L/R.

Nous pouvons vérifier l’homogénéité de cette formule, et s’assurer que tau est bien en secondes. Pour cela, un petit peu d’analyse dimensionnelle :

SI on prend U = Ri, en unités, cela donne :

[V] = [Ω] [A]

Si on prend U = L di/dt, on a :

[V] = [H] [A]/[s]

Donc [H] = [V] [s]/[A]

et [Ω] = [V]/[A]

Donc, l’unité de [L/R] = [H]/[Ω] =  ([V] [s]/[A]) / ([V]/[A]) = ([V] [s]/[A]) × [A]/[V] = ([V] [s]/[A]) × [A]/[V] = [s].
Donc [τ] = [s].

Réécrivons l’équation avec tau maintenant :

On va transformer cette équation de manière avoir une équation de la forme y’ + ay = b, qui on le sait, donne :

Ici, la variable est i, donc y = i. a = 1/τ, et b = E/L. on remplace tau par L/R et on a :

On simplifie, en multipliant E/L par l’inverse de R/L et on a :

A présent, il faut définir la constante k, à l’aide des conditions initiales. Cependant, nous n’avons pas vraiment de conditions initiales, en revanche, on sait qu’à t = 0, on ferme l’interrupteur k. Le fait de fermer l’interrupteur k à t = 0 est important. Pourquoi ?
Car juste avant t = 0, l’interrupteur était ouvert, de telle sorte que i(0-) = 0. On sait également que si i est continu (c’est le cas), alors mathématiquement, i(0-) = i(0+) et donc i(0+) = 0.

*i(0+) correspond au moment juste après la fermeture de l’interrupteur k.

On pose donc :

Par conséquent :

Et :

Pour finir, on injecte la valeur de k dans l’équation de i(t) :

On factorise par E/R pour améliorer la forme :

Nous avons trouvé i, nous allons maintenant déterminer u. Cela va s’avérer rapide, car on sait que :

{\displaystyle u=L.{\frac {di}{dt}}}

Nous avons la valeur de i, si on remplace i par sa valeur dans l’équation ci dessus, on a :

On dérive :

On voit que nous avons L/R (tau) sous la forme de LE/R, mais il y a également 1/τ dans la parenthèse, on peut donc simplifier par L et R :

 

Très bien, à présent, et comme pour ce que nous avions fait avec le condensateur, nous allons tracer les courbes de l’intensité et de la tension aux bornes de la bobine en fonction du temps :

Pour le courant :

En effet, pour déterminer la courbe, on exprime i en 0 et i en l’infini et on a :

et

Pour la tension :

On sait comment définir la courbe en prenant comme référence t = 0 et t = ∞, donc :

 

Etude d’un circuit RLC en série :

Cette étude va border le cas d’un circuit RLC. Ce circuit est un circuit dans lequel tous les composants que nous avons vu plus haut sont présents.
Voici le schéma d’un circuit RLC :

 

Tout d’abord, rappelons les équations des notions que nous connaissons, et qui vont nous servir dans ce chapitre :

La loi des mailles avec les valeurs des composants associés :

Grâce aux valeurs de la tension que nous connaissons pour une résistance, une bobine et un condensateur, on peut remplacer dans l’équation ces dernières, telle que :

On sait ce que vaut i :

{\displaystyle i={\frac {dq}{dt}}={\frac {d(Cu_{C})}{dt}}=C{\frac {du_{C}}{dt}}}

On remplace donc i dans l’équation par sa valeur et on met l’équation sous forme canonique :

Qu’est ce que c’est que ça ? Ceci est une équation différentielle linéaire d’ordre 2. On va réécrire ceci sous une autre forme (exprimer une dérivée et une dérivée seconde dans le langage physique) :

A présent, on va simplifier par LC :

Quel est le but de l’écriture de cette équation sous forme canonique ? Le but est simple, identifier les coefficients, cela va nous permettre de définir la constante de temps.

Maintenant, il va falloir suivre car ça se complique légèrement. Nous allons définir ce qu’on appelle, des variables réduites :

 

Energie électrique emmagasinée dans un condensateur :