Géométrie classique

Théorème de Pythagore :

Il est très important de maîtriser ce théorème, il est fondamental en physique, dans tous les domaines, par exemple en mécanique, pour déterminer la position d’un corps dans un système.

Que dit ce théorème? il dit que dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme du carré des deux autres côtés (Adjacent et opposé). C’est à dire, pour un triangle de côtés abc, a étant l’hypoténuse, a^2 = b^2 + c^2, la longueur de l’hypoténuse est donc toujours supérieure à la longueur de chaque côté.

La preuve du théorème de Pythagore est assez simple, les premières traces furent découverte dans des écrits d’Euclide. Il s’agit de s’appuyer sur des calculs d’aires. Prenons un triangle rectangle ABC. 

A présent, sur les côtés [AB], [AC], et [BC], on construit les carrés ABSR, CBTU et ACPQ :

Traçons à présent la hauteur issue de A qui coupe BC en M et UT en N. Euclide part de l’idée que le carré bleu a la même aire que le rectangle bleu, et que le carré vert à la même aire que le rectangle vert.
Il n’est pas aisé de montrer cela avec des carrés et des rectangle, alors Euclide décida de faire autrement. Il décida d’utiliser à la place, des triangles.

En effet, les triangles ont une propriété bien pratique lorsqu’on calcule leur aire.
L’air d’un triangle est \frac{base\times hauteur}{2}. Il est donc aisé de s’amuser à les déformer, par exemple, regardez :

Tous ces triangles ont la même aire ! Pourquoi ? Car la hauteur et la base de tous ces triangles sont identiques !

Que fait donc Euclide ? Il applique ceci à son schéma :

  • Il fait glisser l’un des sommets en dehors du carré, il obtient un triangle plus allongé, mais de même aire (Remarquez que les deux triangles ont la même base et la même hauteur) :
  • Il fait pivoter le nouveau triangle de 90° pour un obtenir un troisième qui a toujours la même aire :
  • Enfin, Euclide recommence le premier procédé et fait glisser un sommet pour reconstituer un demi-rectangle bleu (Les deux triangles ci dessous ont également la même base et la même hauteur) :
  • On obtient un demi rectangle bleu, qui a exactement la même aire que le demi carré bleu initial !

Euclide pu déduire que le carré bleu et le rectangle bleu avait la même aire, et il suffisait de recommencer ces transformations avec le carré et le rectangle vert pour constater que la somme des aires des deux petits carrés valait l’aire du grand :

Mais, qu’est ce que cela implique ? Et en quoi est-ce une relation avec le théorème de Pythagore ?

Eh bien, si l’aire du grand rectangle vaut la somme des aires des deux petits, cela veut dire que :

BC^2=AB^2+AC^2
Ceci est exactement le théorème de Pythagore, si on remplace BC par c, AB par a et AC par b, on a bien c^2=a^2+b^2

La réciproque est on ne peut plus simple…
Elle dit que si le carré de l’hypoténuse est égal à la somme du carré des deux autres côtés, alors, le triangle est rectangle.
Et pour aller plus loin que cela, si AB^2=AC^2+BC^2, alors, le triangle est rectangle en c !

Il est possible d’extrapoler un petit peu cette idée de théorème de Pythagore, en se plaçant dans un repère orthonormé et cartésien par exemple, il est possible de se servir de ce théorème pour calculer la distance entre deux points. Un repère cartésien est un système de coordonnées tel que le plan (x,y).

Si on prend le point A(x_A,y_A), et B(x_B,y_B), il est possible de créer un troisième point de telle manière à former un triangle rectangle. Imaginons qu’on prenne un cas simple, avec A ayant comme coordonnée (4,0) et B:(0,2) :

Si on applique Pythagore dans ce cas de figure on a : 
AB^2=(x_b - x_a)^2+(y_b - y_a)^2 et donc

AB=\sqrt{(x_b - x_a)^2+(y_b - y_a)^2}

Par conséquent, AB=\sqrt{20}

Nous reviendrons plus tard sur d’autres utilisations du théorème de Pythagore, sur les vecteurs par exemple.