Géométrie classique

Le théorème de Thalès :

Il est un autre théorème fondamental en géométrie, qui exprime une proportionnalité de longueurs dans un triangle, lorsque des droites appartenant à ce dernier sont parallèles.

Prenons un triangle ABC, ainsi que deux points D et E, sur les droites (AB) et (AC) de sorte que la droite (DE) est parallèle à la droite (BC). On a alors :

\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

Pour être surs que l’égalité de ces valeurs soit exacte, il faut les prendre dans un ordre bien spécifique. Il faut toujours partir de l’intersection, en l’occurrence ici, le point A.

Il serait par exemple faux d’écrire les égalités suivantes :

\frac{DA}{DB}=\frac{DE}{BC} ou \frac{DA}{DB}=\frac{BC}{DE}

Le théorème de Thalès possède également une réciproque, si les rapports \frac{AD}{AB} et \frac{AE}{AC} sont égaux dans un triangle ABC, avec des points D et E, appartenant respectivement aux droites (AB) et (AC), alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Une autre propriété du théorème de Thalès est assez intéressante : Prenons encore un triangle ABC, et D et E, des points coupant les segments [AB] et [AC] en leur milieu, et [BC] et [DE] parallèles. Dans ce cas, BC = 2DE, ou \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2} :

Dans ce cas de figure, DE=\frac{1}{2}BC

Qu’en est t-il de la preuve du théorème de Thalès ? Jusqu’à présent, nous n’avons fait qu’affirmer les relations et propriétés ci-dessus, mais rien ne prouve que ce que nous avançons est vrai, alors, comment le démontrer ?

En fait, pour cela, il va falloir revenir à des choses très élémentaires. La démonstration est un peu longue, alors, accrochez vous 🙂
Nous allons faire cela en deux parties, tout d’abord, démontrer la première égalité, puis, la seconde.

Prenons un triangle quelconque ABC, et traçons les segments DC et BE :

On constate que les triangles AEB et ECB ont la même hauteur, qu’on va appeler h_1.
Leurs aires respectives sont Aire(AEB)=\frac{AE\cdot h_1}{2}, Aire(ECB)=\frac{EC \cdot h_1}{2}

En utilisant la loi des quotients, on en conclu que :

\frac{Aire(AEB)}{Aire(ACB)}=\frac{\frac{AE\cdot h_1}{2}}{\frac{AC \cdot h_1}{2}}=\frac{AE}{AC}

En utilisant la même méthode, on a Aire(ADC)=\frac{AD \cdot h_2}{2}, Aire(DBC)=\frac{DB \cdot h_2}{2}

Donc, en appliquant la même loi que plus haut, on a \frac{AD}{AB}

Un lemme importante sur les triangles dit que si deux triangles ont un côté commun, et si les troisièmes sommets de ces triangles se trouvent sur une parallèle à ce côté commun, alors ils ont la même aire.
Observons les triangles BCE et CBD. Que voit-on ?

Ces deux triangles ont la même base, donc un côté commun, et leur troisième sommet se trouve sur une parallèle à cette base, donc, ils ont la même aire :). Aire(BCE)=Aire(CBD)

Donc, Aire(ADC)=Aire(ABC)-Aire(BCD)

De manière analogue,

Aire(AEB)=Aire(ABC)-Aire(BCE)

Par conséquent, et étant donné les points ci-dessus, on peut écrire :

\frac{Aire(ADC)}{Aire(ABC)}=\frac{Aire(AEB)}{Aire(ABC)}=\frac{AE}{AC} (voir résultat plus haut).

On calcule l’aire de \frac{Aire(ADC)}{Aire(ABC)}=\frac{\frac{AD \cdot h_2}{2}}{\frac{AB \cdot h_2}{2}}=\frac{AD}{AB}

Donc, \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}

C’était un peu long, mais nous venons de démontrer la première égalité. Il nous reste à démontrer l’égalité complète. Pour ce faire, nous allons reprendre le même triangle, mais cette fois, nous allons tracer la hauteur du triangle ABC.

Grâce à cela, nous allons pouvoir terminer la preuve.

En effet, on se rend vite compte que \frac{AH}{AG}=\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}. Il est facile d’utiliser la même preuve en prenant les triangles AEG et AHC.

Donc, Aire(HDG)=Aire(HDB). Donc Aire(ADG)=Aire(AHB).

D’ou :

\frac{AH \cdot BG}{2} = \frac{AG \cdot GH}{2} = AH \cdot BG = AG \cdot GH.
En faisant quelques bascules, on se retrouve avec \frac{AH}{AG}= \frac{DH}{BG}

Encore, et de manière analogue, on voit que Aire(AHC)=Aire(AEG). Alors :

\frac{AG \cdot EH}{2} = \frac{AH \cdot GC}{2} = AG \cdot EH = AH \cdot GC

On a donc finalement \frac{AH}{AG} = \frac{EH}{GC}

Alors on l’égalité \frac{AH}{HG}=\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{EH}{GC}= \frac{DH}{BG}

Mais, si \frac{EH}{GC}= \frac{DH}{BG}, alors nécessairement \frac{EH}{GC}= \frac{DH}{BG}=\frac{DE}{BC}

Pouvons nous le prouver ? Oui. Nous allons utiliser une petite astuce :

Posons \frac{DH}{BG}=\frac{EH}{CG}=\frac{EH+ED}{GC+BC}
Posons également EH= \alpha GC simplement pour exprimer une proportionnalité entre les deux valeurs.

Vous serez d’accord pour écrire \frac{DH}{DB}=\alpha puisque \alpha = \frac{EH}{GC}

Donc, en réécrivant le dernier terme de la première égalité, on a \alpha =\frac{\alpha GC+ED}{GC+BC}

En multipliant des deux côtés par (GC+BC), on a bien :

\alpha(GC+BC)=\alpha GC+ED

On développe, et on trouve :

\alpha GC+ \alpha BC=\alpha GC+ED

On simplifie des deux côtés, et on isole \alpha et on a donc bien :

\frac{ED}{BC}=\alpha, mais \alpha = \frac{DH}{BG}=\frac{EH}{GC}, donc \alpha = \frac{DH}{BG}=\frac{EH}{GC}=\frac{ED}{BC}

La preuve du théorème de Thalès est faite.