Géométrie classique

Voyons maintenant quelques notions importantes de trigonométrie. Les extrapolations concernant les fonctions et les angles s’expliquent de la création du triangle rectangle dans le cercle trigonométrique :

Cependant, nous n’entrerons pas dans les détails de la trigonométrie ici mais dans le chapitre sur les fonctions trigonométriques, le schéma ci dessus est uniquement à titre représentatif.

Voyons les propriétés des angles et des côtés d’un triangle rectangle :

Les fonctions trigonométriques se définissent de cette manière par rapport à l’angle A :

\sin A={{\mbox{côté opposé}} \over {\mbox{hypoténuse}}}={a \over c}\qquad \cos A={{\mbox{côté adjacent}} \over {\mbox{hypoténuse}}}={b \over c}\qquad \tan A={{\mbox{côté opposé}} \over {\mbox{côté adjacent}}}={a \over b}

Ces fonctions sont définies pour les angles de 0 à 90°, en utilisant le cercle unité. Nous pouvons rappeler au passage que la somme des angles d’un triangle est 180°, et l’angle le plus grand d’un triangle rectangle est un angle droit (90°).

Loi des cosinus ou théorème d’Al Kashi :

Ce théorème est une sorte de généralisation du théorème de Pythagore pour tout type de triangle, et plus seulement les triangles rectangle. Il explicite la relation entre un des côtés, les deux autres, et le cosinus de l’angle que forme ces derniers. On énonce ce théorème de la façon suivante : Soit un triangle ABC, dans lequel on utilisera les notations usuelles (schéma ci-dessous) :

La loi des cosinus dit que : c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\ \cos\ \gamma.

Cette loi généralise en fait le théorème de Pythagore en disant que l’angle γ est droit (autrement dit : cos γ = 0) si et seulement si  .

par exemple, pour un résoudre un triangle, et déterminer ses propriétés en connaissant un angle et les côtés adjacents, on fait : {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}.

Prenons un exemple, pour lequel nous allons démontrer le théorème à la manière d’Al Kashi :

Que peut on dire ? Eh bien, on peut prouver l’égalité des aires des triangles dans le schéma ci-dessus pour les rectangles verts par exemple :

  • JAE et JAB par glissement d’un sommet parallèlement à une base
  • JAB et CAM par rotation d’angle droit
  • CAM et FAM par glissement d’un sommet parallèlement à une base

On fait de même pour les rectangles rouges. Pour les rectangles bleus, voici ce que l’on sait :

  • les côtés ont pour longueur CL ( = CA) et CE ( = CB cos C), et CI ( = CB) et CD( = CA cos C)
  • ils ont même aire égale à CA × CB × cos C

Donc, si on applique la loi des cosinus, on en déduit par somme que : {\displaystyle CA^{2}+CB^{2}=AB^{2}+2CA\times CB\times \cos C}.

Parlons maintenant de droites et de plans, en deux dimensions, mais également en dimension 3. Nous allons voir des termes tels que « coplanaire », « orthogonal », et « parallèle ». Voyons les propriétés de ces droites et plans :

  • Une droite est un lien entre deux points de l’espace de longueur infinie.
  • Lorsque trois points (il peut y en avoir plus, mais trois points suffisent à générer l’espace), non alignés et positionnés indépendamment les uns des autres sont reliés par des segments ou des droites, ils forment un plan dans l’espace.
  • Lorsque deux droites se trouve dans le même plan de l’espace, on dit que les droites sont coplanaires.

Ici, par exemple, la droite D et la droite D’ sont coplanaires car elles appartiennent au même plan.

  • Deux droites parallèles à une troisième sont forcément parallèles l’une à l’autre.
  • Une droite D est dite orthogonale à un plan P si la droite D est perpendiculaire à au moins deux droites sécante (qui coupe) du plan P. Par ailleurs, si cette droite D est orthogonale au plan P, elle est orthogonale à toutes les droites du plan. Que veux dire orthogonal ? On emploie le terme orthogonal pour deux droites de l’espace qui sont chacune parallèles à des droites se coupant en angle droit.
  • Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires.
  • Deux plans sont perpendiculaires lorsque l’un contient une droite orthogonale de l’autre.

Quelques rappels à présent sur les notions de volumes et calculs de volumes de figures fondamentales en géométrie.

  • Dans le cas général d’un pavé, tels les cubes ou parallélépipèdes : On calcul leur volume en multipliant la longueur par la largeur et la hauteur, V = a × b × c.
  • Pour les pyramides, ou tétraèdres (si la base est un triangle), dans ce cas, le volume est V = 1/3 × B × h, avec B = aire de la base et h la hauteur.
  • Le calcul du volume d’un cône s’exprime ainsi : V = π r² h / 3, avec r le rayon, h la hauteur.
  • En ce qui concerne le cylindre, le volume est définit par : V = π x r2 x h.
  • Pour finir, voyons la formule du volume d’une sphère : V = 4/3 π r^3, avec r, le rayon de la sphère.