Vecteurs et opérations

Bonjour,

Nous connaissons les bases de la géométrie Euclidienne, maintenant, parlons de vecteurs, car ils vont sous servir pour commencer le chapitre sur les systèmes de coordonnées.
Alors, qu’est ce qu’un vecteur ? Un vecteur est un segment, orienté, sur lequel il est possible d’effectuer des opérations et ayant plusieurs propriétés : Une direction, un sens, et une norme.
Un vecteur est une notion fondamentale d’une branche des mathématiques appelée « algèbre linéaire » et est un élément d’un espace vectoriel (que nous verrons dans un autre chapitre), mais il est évidemment aussi un pilier de la géométrie.

Voici comment nous allons découper ce chapitre sur les vecteurs :

  • Définition d’un vecteur.
  • Composantes et longueur d’un vecteur.
  • Opérations sur les vecteurs.
  • Produit scalaire.
  • Angle entre deux vecteurs.
  • Théorème d’Al Kashi.
  • Équation cartésienne de plan et vecteur normal à un plan dans l’espace.
  • Méthodes de résolution du produit scalaire dans l’espace.
  • Produit vectoriel.
  • Produit mixte.

Définition d’un vecteur :

Visuellement, on représente les vecteurs par une flèche se trouvant au bout d’un segment, par exemple :

Ce qui nous intéresse le plus ici, c’est de connaître le but de son utilisation en physique.
En fait, Il permet de représenter une grandeur, telle qu’une force, une vitesse, une accélération, ou certains champs (électrique, magnétique, gravitationnel etc…). Une grandeur vectorielle s’oppose d’une certaine manière à une grandeur scalaire, une grandeur scalaire n’a ni direction ni sens, mais uniquement une valeur (un scalaire est un nombre réel quelconque). L’emplacement des vecteurs dans le plan n’a pas d’importance, deux déplacements de deux points d’origine distinct peuvent correspondre au même vecteur, si la norme, le sens et la direction sont les mêmes. Une remarque cependant, il ne faut pas confondre sens et direction, la direction, serait par exemple, la liaison entre Nice et Paris, le sens lui, exprime le sens dans lequel on se déplace entre ces deux lieux.

Un vecteur est simplement un segment orienté, constitué d’un point de départ et d’un point d’arrivée.
Voici les trois caractéristiques d’un vecteur :

  • Sa direction, définie par la droite \left(AB\right).
  • Son sens, qui peut être, soit de A vers B, soit de B vers A.
  • Sa norme, qui est la longueur du segment \left(AB\right), ou la distance entre les deux points en question.

On pourrait parler de quelques cas spécifiques, par exemple :

  1. Si \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}, alors on peut dire que les vecteurs sont équivalents.
  2. Si les deux points sont les mêmes, alors \overrightarrow{AA}=0

Composantes, longueur d’un vecteur et angle entre deux vecteurs :

Longueur et norme :

Comment est définie la longueur d’un vecteur ? Il est définit par la longueur du segment des bipoints correspondants à ce vecteur. Quelle écriture utilisons nous pour les vecteurs ? On utilise la notation \vec{u}, qui décrit généralement un vecteur.
On écrit la norme d’un vecteur \large||\vec{u}||.

Parlons à présent de ce qu’on appelle un vecteur unitaire. Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1, c’est à dire, de longueur 1. 

Il est possible de calculer ce vecteur unitaire en prenant un vecteur quelconque, pour cela, il faut tout d’abord calculer sa norme, en utilisant le théorème de Pythagore :

||\vec{u}||=\sqrt{x^2+y^2}

En fait, le vecteur unitaire d’un vecteur est l’expression de ce vecteur par rapport à sa norme :

Prenons un vecteur \vec{a} comme exemple, et on va démontrer que son vecteur unitaire est \vec{u} = \frac{\vec{a}}{\mid\mid\vec{a}\mid\mid}

Supposons un vecteur \vec{a} tel que : \vec{a}=\left(4;5\right), donc ||\vec{a}||=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}

Donc, le vecteur unitaire \vec{u}=\left(\frac{4}{\sqrt{41}};\frac{5}{\sqrt{41}}\right)

Alors ||\vec{u}||=\left(\sqrt{\frac{16}{4^2+5^2}+\frac{25}{4^2+5^2}}\right). On voit bien que tout cela est égal à 1.

Comment trouver la norme d’un vecteur en ayant comme information, uniquement la position de A et de B ?

Il suffit de faire AB= \sqrt{\left(x_b - x_a\right)^2+\left(y_b - y_a\right)^2}

Composantes d’un vecteur :

Que sont les composantes d’un vecteur ?
On sait qu’un vecteur est un segment, avec une longueur définie, une direction, et un sens.
Dans un plan, le vecteur est composé de deux points, et ces deux points, peuvent être en quelque sorte définis par deux autres vecteurs. Expliquons cela. Prenons un vecteur \vec{u}, de composantes \begin{pmatrix}4 \\ -3\end{pmatrix}
En effet, les composantes d’un vecteur (en deux dimensions), s’écrivent \begin{pmatrix}x_b - x_a \\ y_b - y_a \end{pmatrix}, donc :

Opérations sur les vecteurs :

Additions et soustractions de vecteurs :

La somme de vecteurs est relativement basique. En effet, il suffit d’ajouter les composantes de chacun des vecteurs, c’est à dire, si on prend deux vecteurs \vec{u}\begin{pmatrix}u_1 \\ u_2\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\end{pmatrix}, il suffit de faire \vec{u}+\vec{v}=\begin{pmatrix}u_1+v_1 \\ u_2+v_2\end{pmatrix}.

Par exemple, prenons trois vecteurs, \vec{a}\begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix}, \vec{b}\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} et \vec{c}\begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}

Pour faire la somme de ces trois vecteurs : \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\begin{pmatrix}4+3+2 \\ 3+0-4\end{pmatrix}.

De même, pour la soustraction de vecteurs, prenons trois vecteurs \vec{d}\begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix}, \vec{e}\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} et \vec{h}\begin{pmatrix}-3 \\ 2\end{pmatrix}. La soustraction consiste à soustraire les composantes des vecteurs, par exemple, si on veut calculer \vec{d}-\vec{e}+\vec{h}=\begin{pmatrix}4-2+(-3) \\ 1-0+2\end{pmatrix} :

Autres propriétés importantes :

  • Le vecteur nul : Le vecteur nul est noté \overrightarrow{0}. Un vecteur reliant un point vers ce même point est le vecteur nul, comme \overrightarrow{AA}=0
  • L’orthogonalité : On dit de deux vecteurs qu’ils sont orthogonaux lorsque l’angle entre ces derniers est un angle droit. Autrement dit, les deux vecteurs en question sont perpendiculaires l’un à l’autre.
  • La colinéarité : On dit de deux vecteurs qu’ils sont colinéaires lorsque ces deux vecteurs ont la même direction. En revanche, ils n’ont pas nécessairement la même norme ni le même sens, mais il est possible de passer de l’un à l’autre en multipliant par un scalaire. Prenons un exemple, \vec{u}=\frac{1}{3}\vec{v} ou \vec{v}=3\vec{u}.
    Autrement dit, il existe un \lambda, tel que \vec{u}=\lambda\vec{v}.
    Dans notre exemple, \lambda=\frac{1}{3}.
  • La commutativité est respectée pour la somme et la différence entre deux vecteurs. Autrement dit :
    \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u} et \vec{u}-\vec{v}=\vec{v}-\vec{u}.
  • L’associativité est respectée pour la somme et la différence entre les vecteurs, telles que :
    \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}.
  • Attention cependant, ajouter ou soustraire un scalaire à un vecteur n’a pas de sens et n’est pas possible.
    \vec{u}+5 n’est pas possible et n’a pas de sens.
  • En revanche, il est possible de multiplier un vecteur par un scalaire, tel que :
    \lambda\vec{u}=\begin{pmatrix}\lambda x_i \\ \lambda y_i\end{pmatrix}.
    Le scalaire 1 joue le rôle d’élément neutre, tel que :
    1\vec{u}=\vec{u}.
  • La distributivité sur l’addition des vecteurs est respectée :
    \lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}.
  • La distributivité sur l’addition des scalaires est également respectée :
    (\lambda+\mu)\vec{v}=\lambda\vec{v}+\mu\vec{v}.

Relation de Chasles en géométrie des vecteurs :

Cette relation permet d’additionner deux vecteurs dans un espace affine. Un espace affine est un espace Euclidien ou l’on omet les notions d’angles et de distances. Nous voyons également cette relation dans le chapitre sur l’intégration, mais son utilisation première fût en géométrie. Elle s’énonce de la manière suivante : Pour tout point A, B et C d’un espace affine, quand l’extrémité du premier vecteur est choisie égale à l’origine du second, on a :

 \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

Cela signifie que que la translation du point A vers le point C, peut être réalisée en passant par un point quelconque B. La translation de vecteur \overrightarrow{AC} est la composée de deux translation : celle de vecteur \overrightarrow{AB}, et celle de vecteur \overrightarrow{BC}.

Si un vecteur peut être déplacé dans le plan, un point ne le peut en revanche pas, il reste fixe. Un vecteur nul, est un vecteur allant d’un point au même point, comme par exemple ,\overrightarrow{AA}=0, son origine et son extrémité sont confondues, on représente alors ce vecteur comme un point.