Vecteurs et opérations

Produit scalaire :

Le produit scalaire est le produit de deux vecteurs entre eux.

Il existe plusieurs façons de calculer un produit scalaire en fonction de la situation. Nous allons voir les différentes manière, et voir qu’elles reviennent au même et donnent le même résultat.

Pour la première, nous allons nous servir de la formule du cosinus car il s’agit de se servir d’un angle pour calculer le produit scalaire, et en considérant deux vecteurs tels que :

Le produit scalaire de ces deux vecteurs est le projeté orthogonal du vecteur AC sur AB.
On constate que le projeté orthogonal de AC sur AB forme un triangle rectangle AHC.

Par conséquent, on sait que \cos(\theta)= \frac{AH}{AC}

Donc, AH=AC\cdot\cos(\theta)

Le produit scalaire de deux vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} s’écrit \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AH mais AH=AC\cdot\cos(\theta), donc \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot\cos(\theta)

Ce cas là n’est pas le seul cas, car ici, l’angle thêta est compris entre 0<\theta <\frac{\pi}{2}, la formule est la même lorsque \frac{\pi}{2}<\theta <\pi, cependant, la démarche est un petit peu différente. On a également \cos(\pi-\theta)=\frac{AH}{AC}.

Cependant, lorsque \frac{\pi}{2}<\theta <\pi, le produit scalaire \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\cdot AH, et telle que :

Donc, AH=AC\cdot\cos(\pi-\theta).

Etant donné que \cos(\pi)=-1 et \theta < \pi, alors AH=-AC\cdot\cos(\theta).

Par conséquent, la formule s’écrit \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\cdot (-AC\cdot\cos(\theta))=AB\cdot AC\cdot\cos(\theta)

Vecteurs orthogonaux :

Il existe un cas un peu particulier de résultat de produit scalaire.

En effet, lorsque l’angle entre les deux vecteurs est un angle droit, le produit scalaire est nul. On dit aussi que le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul.

Pourquoi ? Vérifions cette affirmation :

Si on s’en réfère à la formule que nous avons démontré plus haut, soit deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} d’origine A, et d’angle \frac{\pi}{2}, alors la formule est :

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AH, mais AH est le projeté orthogonal de AC sur AB, AH est donc confondu avec AB, et donc AH=0, par conséquent, \vec{AB}\cdot\vec{AC}=0.

On pourrait également le démontrer en ne connaissant que l’angle, en effet, si l’angle entre les deux vecteurs est connu, et que cet angle est \frac{\pi}{2}, alors le produit scalaire est nul (\cos(\frac{\pi}{2})=0).

Calculer un produit scalaire algébriquement :

Il existe une autre façon de calculer le produit scalaire de deux vecteurs, à travers leurs coordonnées, pour cela, il suffit de multiplier une à une les coordonnées de ces deux vecteurs, et en additionnant les résultats.

Soit deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} dans un repère orthonormé (O,i,j), tel que \vec{u}\begin{pmatrix} x_i \\ y_j\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix} x'_j \\ y'_j\end{pmatrix}. Rappelons ce qu’un repère orthonormé. Un repère orthonormé est un repère dont les vecteurs bases sont orthogonaux et de norme 1.
Le produit scalaire des deux vecteurs ci-dessus est : 

\vec{u}\cdot\vec{v}=x_i x_j+y'_i y'_j

On peut le démontrer en posant \vec{u}\cdot\vec{v}=(x_i+y_j)\cdot(x'_i+y'_j).

En développant, on a :

\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'\vec{i}^2+xy' \vec{i}\cdot\vec{j}+yx' \vec{j}\cdot\vec{i}+yy'\vec{j}^2.

En revanche, on sait que le produit du vecteur \vec{i} et \vec{j} est égal à 0 car ils sont orthogonaux. Et, étant donné que ||\vec{i}|| = 1 et ||\vec{j}||=1, alors :

\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'.

Produit scalaire grâce au théorème d’Al kashi :

Nous nous sommes servi de l’angle entre deux vecteurs pour calculer leur produit scalaire.
A présent, on va se servir du théorème d’Al Kashi (ou loi des cosinus) qui, nous le rappelons, est une extension du théorème de Pythagore s’appliquant à tout type de triangle, pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs.
Soit deux vecteurs \vec{u} et \vec{v}, avec \left(A,B\right), un représentant du vecteur \vec{u}, et \left(A,C\right), représentant du vecteur \vec{v}, l’angle formé par ces deux vecteurs s’écrit \left(\widehat{\vec{u},\vec{v}}\right)=\widehat{BAC}.

La loi des cosinus dit :

c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\theta)

Supposons deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} non orthogonaux et non nuls, d’origine A. Graphiquement, nous avons :

Supposons qu’on trace le segment CB, pour former un triangle :

Ce que la loi des cosinus nous dit dans sa formule, c’est qu’il faut considérer les longueurs des côtés, donc, dans notre cas de figure, il faut considérer les normes des vecteurs, pour nous aider à trouver notre angle \theta, on a donc :

||\overrightarrow{CB}||^2=||\overrightarrow{AC}||^2+||\overrightarrow{AB}||^2-2||\overrightarrow{AC}||\cdot ||\overrightarrow{AB}||\cdot\cos(\theta)

En changeant les termes de l’équation, on se retrouve avec :

2||\overrightarrow{AC}||\cdot ||\overrightarrow{AB}||\cdot\cos(\theta)=||\overrightarrow{AC}||^2+||\overrightarrow{AB}||^2-||\overrightarrow{CB}||^2

Donc :

\cos(\theta)=\frac{||\overrightarrow{AC}||^2+||\overrightarrow{AB}||^2-||\overrightarrow{CB}||^2}{2||\overrightarrow{AC}||\cdot ||\overrightarrow{AB}||}

Et, en multipliant par arccosinus des deux côtés (vu dans le chapitre sur les fonctions trigonométriques) :

\theta=\arccos(\frac{||\overrightarrow{AC}||^2+||\overrightarrow{AB}||^2-||\overrightarrow{CB}||^2}{2||\overrightarrow{AC}||\cdot ||\overrightarrow{AB}||})

Angle entre deux vecteurs :

Comme nous avons vu plus haut, l’angle entre deux vecteurs peut être défini grâce à la loi des cosinus.
Il peut néanmoins être définit de manière différente.

On a vu que la loi des cosinus appliquée à deux vecteurs s’écrit :

||\vec{u}-\vec{v}||^2=||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2\cdot||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot\cos(\theta)

En effet, en soustrayant deux vecteurs, on trouve le troisième vecteur formant un triangle avec les deux autres.
Il faut également savoir que la norme d’un vecteur au carré, c’est le produit scalaire du vecteur avec lui même, donc :

(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2\cdot||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot\cos(\theta)

Alors :

\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2\cdot||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot\cos(\theta)

En rassemblant les termes :

||\vec{u}||^2-2\cdot\vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2=||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2\cdot||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot\cos(\theta)

Après simplifications :

\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot\cos(\theta)

Donc, comme plus haut, on voit que :

\cos(\theta)=\frac{||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||}{\vec{u}\cdot\vec{v}}

Et 

\theta=\arccos(\frac{||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||}{\vec{u}\cdot\vec{v}})