Vecteurs et opérations

Produit vectoriel :

Nous savons ce qu’un est un vecteur, nous connaissons les opérations sur ces derniers, à présent, nous allons parler de produit vectoriel.

Qu’est ce que le produit vectoriel ? Et qu’est ce qui le différencie du produit scalaire ? Un produit vectoriel est une opération entre deux vecteurs qui ne peut s’effectuer que dans l’espace, en 3 dimensions (où 7, mais nous n’en parlerons pas), et qui, au contraire du produit scalaire, n’a pas comme résultat un scalaire, mais un autre vecteur.
Pourquoi ne peut t-il s’effectuer uniquement que dans l’espace ? C’est très simple, la direction du vecteur résultant du produit vectoriel de ces deux vecteurs est forcément orthogonale à ces derniers.
Si le vecteur résultant est orthogonal aux deux autres vecteurs, cela sous entend forcément que nous ne sommes plus dans le domaine du plan, mais bien dans le domaine de l’espace, en effet, comme nous l’avons vu, deux vecteurs orthogonaux forment le plan, mais trois vecteurs orthogonaux entre eux forment l’espace.

Comprenons ce qu’il faut faire et comment effectuer le produit vectoriel en prenant comme exemple une application physique, le moment de force. Le moment de force sera abordé dans un autre chapitre, celui de la mécanique newtonienne, mais nous allons nous en servir pour définir la notion mathématique de produit vectoriel.

Le moment de force s’exprime dans ce cas, tout comme un levier, en fonction de la longueur du manche, et de la force exercée sur ce dernier, telle que :

\tau=rF

On voit bien que, si le manche était deux fois plus long, alors la force nécessaire serait deux fois moins intense :

\tau=2r\frac{F}{2}

Cependant, la force exercée sur la clé à molette ne peut jamais être parfaitement perpendiculaire au manche.
Imaginons un cycliste vissant un boulon à sou de vélo, et il se pourrait par exemple, qu’elle le soit de cette manière :

Dans ce cas là, que faut il faire ? Il faut prendre les composantes du vecteur force, et tenter de déterminer la valeur de la force exercée sur la clé :

Qu’avons nous fait ? Lorsque nous traçons les composantes du vecteur initial, un triangle rectangle se forme, ce qui nous permet de déterminer la longueur de la composante de la force que nous cherchons à l’aide de l’angle s’étant formé entre l’axe du manche et le projeté de la force. Evidemment, le résultat de la longueur du vecteur force que nous trouvons à droite est égale à celle du vecteur force que nous cherchons.

Donc, on peut réécrire l’équation du moment de force :

\tau=rF\sin(\theta)

Pour avoir l’information géométrique, il nous faut considérer r et F comme des vecteurs, mais pour conserver le caractère vectoriel de l’équation, il faut également considérer \tau comme un vecteur. Ce vecteur contient l’information de l’intensité du moment de torsion mais aussi sur le sens de rotation, grâce à la règle de la main droite.

La règle de la main droite est une convention utilisée pour connaître le sens dans lequel le vecteur \tau se positionne. 
Si on prend le cas de notre exemple, il suffit de mettre la main dans le prolongement du bras de levier de la clé, de plier les doigts pour épouser la direction de notre vecteur force, et on constate bien que notre pouce rentre dans le plan.

Nous pouvons à présent définir le produit vectoriel pour le moment de force :

\vec{\tau}=\vec{r}\wedge\vec{F}=||\vec{r}||||\vec{F}||\sin(\theta)

Le problème, c’est que si on limite à ce calcul, il nous est impossible de connaître le sens de \tau, si il entre dans le plan ou sort du plan, c’est pourquoi, il nous faut rajouter quelque chose, il faut rajouter le vecteur normal unitaire au plan que forme le vecteur manche de la clé et vecteur force, de direction « pouce de la main droite » :

\vec{\tau}=\vec{r}\wedge\vec{F}=||\vec{r}||||\vec{F}||\sin(\theta)\vec{1}

De cette manière, le résultat est un vecteur :

Il faut faire attention à bien différencier les symbole d’un vecteur entrant de le plan et celui d’un sortant de ce dernier :

Dans notre cas, on voit bien qu’en utilisant la règle de la main droite, le trajet circulaire se fait dans le sens des aiguilles d’une montre (sens contraire du sens trigonométrique). Lorsque le vecteur sort du plan, on le note avec un point en son centre. Attention à ne pas oublier ce détails, schématiser un vecteur en confondant son symbole est une erreur.

Nous allons maintenant sortir du contexte de moment de force et nous intéresser à la définition formelle et les propriétés du produit vectoriel.

Lorsqu’on étudie le moment de force, on fait le produit vectoriel de deux vecteurs qui sont bout à bout, l’un ayant comme origine, l’extrémité de l’autre.
Nous savons cependant que nous avons le droit de « déplacer » un des vecteurs de manière à ce qu’ils aient la même base.
Donc, prenons un vecteur \vec{w}, résultat du produit vectoriel de deux vecteurs \vec{u} et `\vec{v}, non colinéaires, alors, le produit vectoriel de ces deux vecteurs s’écrit :

\vec{w}=\vec{u}\wedge\vec{v}=||\vec{u}||||\vec{v}||\sin(\theta)

On peut le représenter comme ceci :

Nous disions plus haut que ce qui défini le sens du vecteur orthogonal aux produits des deux autres vecteurs est le vecteur unitaire déterminé par la règle de la main droite, et ceci nous amène à énoncée quelques propriétés importantes du produit vectoriel.


La première propriété est la suivante : l’antisymétrie.

Qu’est ce que cela veut dire ? Cela veut dire que :

\vec{u}\wedge\vec{v}\neq\vec{v}\wedge\vec{u}

Pourquoi ? Rappelez vous, faire le produit vectoriel de a par b, c’est faire :

Donc, effectuer le produit vectoriel de b par a, revient à faire :

On sait que la fonction sinus est impaire, \sin(-\theta)=-\sin(\theta), par conséquent :

\vec{v}\wedge\vec{u}=-||\vec{v}||||\vec{u}||\sin(\theta) et donc \vec{v}\wedge\vec{u}=-(\vec{u}\wedge\vec{v}).
Le produit vectoriel est bien antisymétrique. 

La deuxième propriété importante du produit vectoriel va de soit. Lorsque que deux vecteurs sont colinéaires, leur produit vectoriel est nul. En effet, si l’angle entre les deux vecteur est nul, alors \sin(0)=0 et \vec{u}\wedge\vec{v}=0

La troisième propriété découle des deux autres. Soit une base orthonormée directe (i,j,k) (directe veut dire que le sens de rotation atour de la base se fait dans le sens trigonométrique) :

Alors :

\vec{i}\wedge\vec{j}=\vec{k}\vec{j}\wedge\vec{k}=\vec{i}\vec{k}\wedge\vec{i}=\vec{j}

En se basant sur la propriété antisymétrique du produit vectoriel, on sait également que :

\vec{j}\wedge\vec{i}=-\vec{k}\vec{k}\wedge\vec{j}=-\vec{i}\vec{i}\wedge\vec{k}=-\vec{j}

Si vous avez un doute, effectuez le produit vectoriel ou servez vous de la règle de la main droite.

Attention, le produit vectoriel n’est pas associatif, on peut le démontrer très facilement. On sait que le produit de deux vecteurs colinéaires donne le vecteur nul. Dans ce cas, c’est la même chose pour le produit vectoriel d’un vecteur par lui même : \vec{u}\wedge\vec{u}=\vec{0}.

Donc, on voit bien que :

(\vec{u}\wedge\vec{u})\wedge\vec{v}\neq\vec{u}\wedge(\vec{u}\wedge\vec{v})

Quatrième propriété : Distributivité et multiplication par un scalaire.

On a vu que le produit vectoriel n’était pas commutatif, en effet, sa propriété d’antisymétrie rend le produit vectoriel non commutatif. Nous avons également vu qu’il n’était pas associatif, alors est-il distributif ?

Pour le démontrer, on va considérer deux vecteurs \vec{a} et \vec{b} et la décomposition du vecteur \vec{b}=\vec{b_1}+\vec{b_2} qui vérifie \vec{a}\wedge\vec{b}=\vec{a}\wedge(\vec{b_1}+\vec{b_2})=\vec{a}\wedge\vec{b_1}+\vec{a}\wedge\vec{b_2}.

Voici comment nous représenterions ceci géométriquement :

Malheureusement, si on veut appliquer la formule, il faut considérer les deux autres angles. l’angle entre \vec{a} et \vec{b_1} et l’angle entre \vec{a} et \vec{b_2} :

Posons donc la formule du produit vectoriel appliquée à notre cas de figure : 

||\vec{a}||||\vec{b_1}+\vec{b_2}||\sin(\theta)=||\vec{a}||||\vec{b_1}||\sin(\theta)+||\vec{a}||||\vec{b_2}||\sin(\theta)

On voit clairement qu’il est possible de simplifier par le vecteur \vec{a} :

||\vec{b_1}+\vec{b_2}||\sin(\theta)=||\vec{b_1}||\sin(\theta)+||\vec{b_2}||\sin(\theta)

A présent, comment nous est-il possible d’affirmer cette égalité ? Pouvons nous le faire ?
Ce que l’on va faire, c’est projeter le côté du triangle rectangle formé par les vecteurs \vec{a} et \vec{b} sur le plan et le déplacer à l’origine de ces derniers.
Regardons ce qui se passe graphiquement :

On voit bien que la projection du module du vecteur \vec{b_1+b_2} multiplié par le sinus de l’angle formé avec le vecteur \vec{a} est bien le segment que nous avons trouvé. Quand est t-il des deux autres ? On peut très bien faire la même chose :

Que remarque t-on ? On remarque qu’effectivement, la formule est vérifiée :

||\vec{b_1}+\vec{b_2}||\sin(\theta)=||\vec{b_1}||\sin(\theta_1)+||\vec{b_2}||\sin(\theta_2)

Donc, par extension, la distributivité pour le produit vectoriel est vérifiée.

Ceci nous amène a une propriété qui découle de la distributivité, la compatibilité avec la multiplication par un scalaire.
Prenons \vec{b_1}=\vec{b_2} et \vec{b_1}=\vec{b}

Alors :

\vec{a}\wedge\vec{b}=\vec{a}\wedge(\vec{b_1+b_2})=\vec{a}\wedge(\vec{2b})

Donc, selon la loi de distributivité, on peut écrire :

\vec{a}\wedge\vec{b}=\vec{a}\wedge(\vec{b_1+b_2})=\vec{a}\wedge(\vec{2b})=2(\vec{a}\wedge\vec{b})

Par extension, on peut généraliser à :

k(\vec{u}\wedge\vec{v})=k\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{u}\wedge k\vec{v}

Cinquième propriété, qui est une propriété géométrique du produit vectoriel :

Le produit vectoriel est l’aire du parallélogramme formé par ces deux vecteurs. Qu’est ce que cela veut dire ? Voyons ceci graphiquement :

En effet, nous allons vérifier ceci. Dans notre cas de figure, le parallélogramme est un rectangle car \vec{u} est perpendiculaire à $ latex \vec{v}$.
On pose donc :

\vec{u}\wedge\vec{v}=||\vec{u}||||\vec{v}||\sin(\theta)

On remplace par les modules de \vec{u} et de \vec{v} :

\vec{u}\wedge\vec{v}=6\times\sin(\theta)

On sait que \vec{u} est perpendiculaire à \vec{v}, donc \sin(\theta)=1, donc, \vec{u}\wedge\vec{v}=6

On voit bien que notre première affirmation était vraie. Bien sûr, le résultat n’est pas un vecteur, car il nous faut encore effectuer le produit avec le vecteur normal unitaire :

\vec{u}\wedge\vec{v}=6\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6\end{pmatrix}

Expression analytique du produit vectoriel :

Il est, tout comme pour le produit scalaire, possible de définir le produit vectoriel de manière analytique, comment ?
On sait qu’un vecteur est composé d’autres vecteurs qui sont eux même deux points dans un repère. Soit un repère orthonormé direct (i,j,k), et deux vecteurs dans ce repère :

\vec{u}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_2\end{pmatrix}= x_1i+x_2j+x_3k,    \vec{v}=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_2\end{pmatrix}= y_1i+y_2j+y_3k

Donc :

\vec{u}\wedge\vec{v}=(x_1i+x_2j+x_3k)\wedge(y_1i+y_2j+y_3k)

On développe :

\vec{u}\wedge\vec{v}=x_1 y_1 ~ \vec{i}\wedge \vec{i}+x_1 y_2 ~\vec{i}\wedge \vec{j} +x_1 y_3 ~ \vec{i}\wedge \vec{k}+x_2 y_1 ~ \vec{j}\wedge \vec{i}+ x_2 y_2 ~ \vec{j}\wedge \vec{j} +x_2 y_3 ~ \vec{j}\wedge \vec{k}+ x_3 y_1 ~ \vec{k}\wedge \vec{i}+ x_3 y_2 ~ \vec{k}\wedge \vec{j}+ x_3 y_3 ~ \vec{k}\wedge \vec{k} 

On peut d’ors et déjà éliminer les produits vectoriel des vecteurs colinéaires et simplifier le reste :

\vec{u}\wedge\vec{v}=x_1 y_2 ~\vec{k} +x_1 y_3 ~ (-\vec{j})+x_2 y_1 ~ (-\vec{k})+x_2 y_3 ~ \vec{i}+ x_3 y_1 ~ \vec{j}+ x_3 y_2 ~ (-\vec{i}) 

On rassemble les termes :

\vec{u}\wedge\vec{v}=(x_2 y_3 - x_3 y_2)\vec{i}+(x_3 y_1-x_1 y_3)\vec{j}+(x_1 y_2 - x_2 y_1)\vec{k}

En conclusion, on peut écrire l’expression du produit vectoriel comme suit :

\vec{u}\wedge\vec{v}=\begin{pmatrix} x_2 y_3 - x_3 y_2 \\ x_3 y_1 - x_1 y_3 \\ x_1 y_2 - x_2 y_1\end{pmatrix}

Calcul de l’angle entre deux vecteurs d’une même base à l’aide du produit vectoriel et grâce à leurs composantes :

Tout comme pour le produit scalaire, on peut calculer l’angle entre deux vecteurs.
On peut le faire grâce à leurs composantes et via le produit vectoriel de ces deux vecteurs tel que ce que l’on cherche; c’est la norme du produit vectoriel :

||\vec{u}\wedge\vec{v}||=||\vec{u}||\times\||\vec{v}||\times\sin(\theta)=\sqrt{(x_2 y_3-x_3 y_2)^2+(x_3 y_1-x_1 y_3)^2+(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2} 

Ensuite :

\sin(\theta)=\frac{\sqrt{(x_2 y_3-x_3 y_2)^2+(x_3 y_1-x_1 y_3)^2+(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2}}{ ||\vec{u}||\times\||\vec{v}||}

Et donc, l’angle theta est :

\theta=\arcsin(\frac{\sqrt{(x_2 y_3-x_3 y_2)^2+(x_3 y_1-x_1 y_3)^2+(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2}}{ ||\vec{u}||\times\||\vec{v}||})

Produit mixte :

Le produit mixte fait intervenir à la fois le produit scalaire et le produit vectoriel.
Soit 3 vecteurs non colinéaires dans \mathbb{R}^3.
En fait, la norme du résultat que nous trouvons est le volume du parallélépipède formé par ces trois vecteurs. En effet, le résultat de ce produit mixte est un scalaire.

Commençons par voir ce que cela donne graphiquement afin de visualiser l’utilité de cette notion de produit mixte :