Vecteurs et opérations(Old)

 

Bonjour,

Nous connaissons les bases de la géométrie Euclidienne, maintenant, parlons de vecteurs, car ils vont sous servir pour commencer le chapitre sur les systèmes de coordonnées.
Alors, qu’est ce qu’un vecteur ? Un vecteur est un segment, orienté, sur lequel il est possible d’effectuer des opérations et ayant plusieurs propriétés : Une direction, un sens, et une norme.
Un vecteur est une notion fondamentale d’une branche des mathématiques appelée « algèbre linéaire » et est un élément d’un espace vectoriel (que nous verrons dans un autre chapitre), mais il est évidemment aussi un pilier de la géométrie.

Voici comment nous allons découper ce chapitre sur les vecteurs :

  • Définition d’un vecteur.
  • Composantes et longueur d’un vecteur.
  • Opérations sur les vecteurs.
  • Produit scalaire.
  • Angle entre deux vecteurs.
  • Théorème d’Al Kashi.
  • Équation cartésienne de plan et vecteur normal à un plan dans l’espace.
  • Méthodes de résolution du produit scalaire dans l’espace.
  • Produit vectoriel.
  • Produit mixte.

 

Définition d’un vecteur :

Visuellement, on représente les vecteurs par une flèche se trouvant au bout d’un segment, par exemple :

Ce qui nous intéresse le plus ici, c’est de connaître le but de son utilisation en physique.
En fait, Il permet de représenter une grandeur, telle qu’une force, une vitesse, une accélération, ou certains champs (électrique, magnétique, gravitationnel etc…). Une grandeur vectorielle s’oppose d’une certaine manière à une grandeur scalaire, une grandeur scalaire n’a ni direction ni sens, mais uniquement une valeur (un scalaire est un nombre réel quelconque). L’emplacement des vecteurs dans le plan n’a pas d’importance, deux déplacements de deux points d’origine distinct peuvent correspondre au même vecteur, si la norme, le sens et la direction sont les mêmes. Une remarque cependant, il ne faut pas confondre sens et direction, la direction, serait par exemple, la liaison entre Nice et Paris, le sens lui, exprime le sens dans lequel on se déplace entre ces deux lieux.

Un vecteur est simplement un segment orienté, constitué d’un point de départ et d’un point d’arrivée.
Voici les trois caractéristiques d’un vecteur :

  • Sa direction, définie par la droite \left(AB\right).
  • Son sens, qui peut être, soit de A vers B, soit de B vers A.
  • Sa norme, qui est la longueur du segment \left(AB\right), ou la distance entre les deux points en question.

On pourrait parler de quelques cas spécifiques, par exemple :

  1. Si \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}, alors on peut dire que les vecteurs sont équivalents.
  2. Si les deux points sont les mêmes, alors \overrightarrow{AA}=0

 

 

Composantes, longueur d’un vecteur et angle entre deux vecteurs :

Longueur et norme :

Comment est définie la longueur d’un vecteur ? Il est définit par la longueur du segment des bipoints correspondants à ce vecteur. Quelle écriture utilisons nous pour les vecteurs ? On utilise la notation \vec{u}, qui décrit généralement un vecteur.
On écrit la norme d’un vecteur \large||\vec{u}||.

Parlons à présent de ce qu’on appelle un vecteur unitaire. Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1, c’est à dire, de longueur 1. 

Il est possible de calculer ce vecteur unitaire en prenant un vecteur quelconque, pour cela, il faut tout d’abord calculer sa norme, en utilisant le théorème de Pythagore :

||\vec{u}||=\sqrt{x^2+y^2}

En fait, le vecteur unitaire d’un vecteur est l’expression de ce vecteur par rapport à sa norme :

Prenons un vecteur \vec{a} comme exemple, et on va démontrer que son vecteur unitaire est \vec{u} = \frac{\vec{a}}{\mid\mid\vec{a}\mid\mid}

Supposons un vecteur \vec{a} tel que : \vec{a}=\left(4;5\right), donc ||\vec{a}||=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}

Donc, le vecteur unitaire \vec{u}=\left(\frac{4}{\sqrt{41}};\frac{5}{\sqrt{41}}\right)

Alors ||\vec{u}||=\left(\sqrt{\frac{16}{4^2+5^2}+\frac{25}{4^2+5^2}}\right). On voit bien que tout cela est égal à 1.

Comment trouver la norme d’un vecteur en ayant comme information, uniquement la position de A et de B ?

Il suffit de faire AB= \sqrt{\left(x_b - x_a\right)^2+\left(y_b - y_a\right)^2}

 

Composantes d’un vecteur :

Que sont les composantes d’un vecteur ?
On sait qu’un vecteur est un segment, avec une longueur définie, une direction, et un sens.
Dans un plan, le vecteur est composé de deux points, et ces deux points, peuvent être en quelque sorte définis par deux autres vecteurs. Expliquons cela. Prenons un vecteur \vec{u}, de composantes \begin{pmatrix}4 \\ -3\end{pmatrix}
En effet, les composantes d’un vecteur (en deux dimensions), s’écrivent \begin{pmatrix}x_b - x_a \\ y_b - y_a \end{pmatrix}, donc :

 

 

Opérations sur les vecteurs :

Additions et soustractions de vecteurs :

La somme de vecteurs est relativement basique. En effet, il suffit d’ajouter les composantes de chacun des vecteurs, c’est à dire, si on prend deux vecteurs \vec{u}\begin{pmatrix}u_1 \\ u_2\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\end{pmatrix}, il suffit de faire \vec{u}+\vec{v}=\begin{pmatrix}u_1+v_1 \\ u_2+v_2\end{pmatrix}.

Par exemple, prenons trois vecteurs, \vec{a}\begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix}, \vec{b}\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} et \vec{c}\begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}

Pour faire la somme de ces trois vecteurs : \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\begin{pmatrix}4+3+2 \\ 3+0-4\end{pmatrix}.

De même, pour la soustraction de vecteurs, prenons trois vecteurs \vec{d}\begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix}, \vec{e}\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} et \vec{h}\begin{pmatrix}-3 \\ 2\end{pmatrix}. La soustraction consiste à soustraire les composantes des vecteurs, par exemple, si on veut calculer \vec{d}-\vec{e}+\vec{h}=\begin{pmatrix}4-2+(-3) \\ 1-0+2\end{pmatrix} :

 

Autres propriétés importantes :

  • Le vecteur nul : Le vecteur nul est noté \overrightarrow{0}. Un vecteur reliant un point vers ce même point est le vecteur nul, comme \overrightarrow{AA}=0
  • L’orthogonalité : On dit de deux vecteurs qu’ils sont orthogonaux lorsque l’angle entre ces derniers est un angle droit. Autrement dit, les deux vecteurs en question sont perpendiculaires l’un à l’autre.
  • La colinéarité : On dit de deux vecteurs qu’ils sont colinéaires lorsque ces deux vecteurs ont la même direction. En revanche, ils n’ont pas nécessairement la même norme ni le même sens, mais il est possible de passer de l’un à l’autre en multipliant par un scalaire. Par exemple :

    Dans ce cas de figure, \vec{u}=\frac{1}{3}\vec{v} ou \vec{v}=3\vec{u}.
    Autrement dit, il existe un \lambda, tel que \vec{u}=\lambda\vec{v}.
    Dans notre exemple, \lambda=\frac{1}{3}.
  • La commutativité est respectée pour la somme et la différence entre deux vecteurs. Autrement dit :
    \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u} et \vec{u}-\vec{v}=\vec{v}-\vec{u}.
  • L’associativité est respectée pour la somme et la différence entre les vecteurs, telles que :
    \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}.
  • Attention cependant, ajouter ou soustraire un scalaire à un vecteur n’a pas de sens et n’est pas possible.
    \vec{u}+5 n’est pas possible et n’a pas de sens.
  • En revanche, il est possible de multiplier un vecteur par un scalaire, tel que :
    \lambda\vec{u}=\begin{pmatrix}\lambda x_i \\ \lambda y_i\end{pmatrix}.
    Le scalaire 1 joue le rôle d’élément neutre, tel que :
    1\vec{u}=\vec{u}.
  • La distributivité sur l’addition des vecteurs est respectée :
    \lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}.
  • La distributivité sur l’addition des scalaires est également respectée :
    (\lambda+\mu)\vec{v}=\lambda\vec{v}+\mu\vec{v}.

 

Relation de Chasles en géométrie des vecteurs :

Cette relation permet d’additionner deux vecteurs dans un espace affine. Un espace affine est un espace Euclidien ou l’on omet les notions d’angles et de distances. Nous voyons également cette relation dans le chapitre sur l’intégration, mais son utilisation première fût en géométrie. Elle s’énonce de la manière suivante : Pour tout point A, B et C d’un espace affine, quand l’extrémité du premier vecteur est choisie égale à l’origine du second, on a :

 \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

Cela signifie que que la translation du point A vers le point C, peut être réalisée en passant par un point quelconque B. La translation de vecteur \overrightarrow{AC} est la composée de deux translation : celle de vecteur \overrightarrow{AB}, et celle de vecteur \overrightarrow{BC}.

Si un vecteur peut être déplacé dans le plan, un point ne le peut en revanche pas, il reste fixe. Un vecteur nul, est un vecteur allant d’un point au même point, comme par exemple ,\overrightarrow{AA}=0, son origine et son extrémité sont confondues, on représente alors ce vecteur comme un point.

 

 

Produit scalaire :

Le produit scalaire est le produit de deux vecteurs entre eux.

Il existe plusieurs façons de calculer un produit scalaire en fonction de la situation. Nous allons voir les différentes manière, et voir qu’elles reviennent au même et donnent le même résultat.

Pour la première, nous allons nous servir de la formule du cosinus car il s’agit de se servir d’un angle pour calculer le produit scalaire, et en considérant deux vecteurs tels que :

Le produit scalaire de ces deux vecteurs est le projeté orthogonal du vecteur AC sur AB.
On constate que le projeté orthogonal de AC sur AB forme un triangle rectangle AHC.

Par conséquent, on sait que \cos(\theta)= \frac{AH}{AC}

Donc, AH=AC\cdot\cos(\theta)

Le produit scalaire de deux vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} s’écrit \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AH mais AH=AC\cdot\cos(\theta), donc \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot\cos(\theta)

Ce cas là n’est pas le seul cas, car ici, l’angle thêta est compris entre 0<\theta <\frac{\pi}{2}, la formule est la même lorsque \frac{\pi}{2}<\theta <\pi, cependant, la démarche est un petit peu différente. On a également \cos(\pi-\theta)=\frac{AH}{AC}.

Cependant, lorsque \frac{\pi}{2}<\theta <\pi, le produit scalaire \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\cdot AH, et telle que :

Donc, AH=AC\cdot\cos(\pi-\theta).


Etant donné que \cos(\pi)=-1 et \theta < \pi, alors AH=-AC\cdot\cos(\theta).

Par conséquent, la formule s’écrit \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\cdot (-AC\cdot\cos(\theta))=AB\cdot AC\cdot\cos(\theta)

Vecteurs orthogonaux :

 

Il existe un cas un peu particulier de résultat de produit scalaire.

En effet, lorsque l’angle entre les deux vecteurs est un angle droit, le produit scalaire est nul. On dit aussi que le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul.

Pourquoi ? Vérifions cette affirmation :

Si on s’en réfère à la formule que nous avons démontré plus haut, soit deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} d’origine A, et d’angle \frac{\pi}{2}, alors la formule est :

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AH, mais AH est le projeté orthogonal de AC sur AB, AH est donc confondu avec AB, et donc AH=0, par conséquent, \vec{AB}\cdot\vec{AC}=0.

On pourrait également le démontrer en ne connaissant que l’angle, en effet, si l’angle entre les deux vecteurs est connu, et que cet angle est \frac{\pi}{2}, alors le produit scalaire est nul (\cos(\frac{\pi}{2})=0).

 

Calculer un produit scalaire algébriquement :

Il existe une autre façon de calculer le produit scalaire de deux vecteurs, à travers leurs coordonnées, pour cela, il suffit de multiplier une à une les coordonnées de ces deux vecteurs, et en additionnant les résultats.

Soit deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} dans un repère orthonormé (O,i,j), tel que \vec{u}\begin{pmatrix} x_i \\ y_j\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix} x'_j \\ y'_j\end{pmatrix}. Rappelons ce qu’un repère orthonormé. Un repère orthonormé est un repère dont les vecteurs bases sont orthogonaux et de norme 1.
Le produit scalaire des deux vecteurs ci-dessus est : 

\vec{u}\cdot\vec{v}=x_i x_j+y'_i y'_j

On peut le démontrer en posant \vec{u}\cdot\vec{v}=(x_i+y_j)\cdot(x'_i+y'_j).

En développant, on a :

\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'\vec{i}^2+xy' \vec{i}\cdot\vec{j}+yx' \vec{j}\cdot\vec{i}+yy'\vec{j}^2.

En revanche, on sait que le produit du vecteur \vec{i} et \vec{j} est égal à 0 car ils sont orthogonaux. Et, étant donné que ||\vec{i}|| = 1 et ||\vec{j}||=1, alors :

\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'.

 

Produit scalaire grâce au théorème d’Al kashi :

Nous nous sommes servi de l’angle entre deux vecteurs pour calculer leur produit scalaire.
A présent, on va se servir du théorème d’Al Kashi (ou loi des cosinus) qui, nous le rappelons, est une extension du théorème de Pythagore s’appliquant à tout type de triangle, pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs.
Soit deux vecteurs \vec{u} et \vec{v}, avec \left(A,B\right), un représentant du vecteur \vec{u}, et \left(A,C\right), représentant du vecteur \vec{v}, l’angle formé par ces deux vecteurs s’écrit \left(\widehat{\vec{u},\vec{v}}\right)=\widehat{BAC}.

La loi des cosinus dit :

c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\theta)

Supposons deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} non orthogonaux et non nuls, d’origine A. Graphiquement, nous avons :

Supposons qu’on trace le segment CB, pour former un triangle :

Ce que la loi des cosinus nous dit dans sa formule, c’est qu’il faut considérer les longueurs des côtés, donc, dans notre cas de figure, il faut considérer les normes des vecteurs, pour nous aider à trouver notre angle \theta, on a donc :

||\overrightarrow{CB}||^2=||\overrightarrow{AC}||^2+||\overrightarrow{AB}||^2-2||\overrightarrow{AC}||\cdot ||\overrightarrow{AB}||\cdot\cos(\theta)

En changeant les termes de l’équation, on se retrouve avec :

2||\overrightarrow{AC}||\cdot ||\overrightarrow{AB}||\cdot\cos(\theta)=||\overrightarrow{AC}||^2+||\overrightarrow{AB}||^2-||\overrightarrow{CB}||^2

Donc :

\cos(\theta)=\frac{||\overrightarrow{AC}||^2+||\overrightarrow{AB}||^2-||\overrightarrow{CB}||^2}{2||\overrightarrow{AC}||\cdot ||\overrightarrow{AB}||}

Et, en multipliant par arccosinus des deux côtés (vu dans le chapitre sur les fonctions trigonométriques) :

\theta=\arccos(\frac{||\overrightarrow{AC}||^2+||\overrightarrow{AB}||^2-||\overrightarrow{CB}||^2}{2||\overrightarrow{AC}||\cdot ||\overrightarrow{AB}||})

 

Angle entre deux vecteurs :

Comme nous avons vu plus haut, l’angle entre deux vecteurs peut être défini grâce à la loi des cosinus.
Il peut néanmoins être définit de manière différente.

On a vu que la loi des cosinus appliquée à deux vecteurs s’écrit :

||\vec{u}-\vec{v}||^2=||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2\cdot||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot\cos(\theta)

En effet, en soustrayant deux vecteurs, on trouve le troisième vecteur formant un triangle avec les deux autres.
Il faut également savoir que la norme d’un vecteur au carré, c’est le produit scalaire du vecteur avec lui même, donc :

(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2\cdot||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot\cos(\theta)

Alors :

\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2\cdot||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot\cos(\theta)

En rassemblant les termes :

||\vec{u}||^2-2\cdot\vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2=||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2\cdot||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot\cos(\theta)

Après simplifications :

\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot\cos(\theta)

Donc, comme plus haut, on voit que :

\cos(\theta)=\frac{||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||}{\vec{u}\cdot\vec{v}}

Et 

\theta=\arccos(\frac{||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||}{\vec{u}\cdot\vec{v}})

 

 

Équation cartésienne de plan dans l’espace et vecteur normal à un plan :

Nous allons passer du plan à l’espace, il nous faut donc définir quelques nouvelles notions.
Comment faire pour passer du plan à l’espace en trois dimensions ? En fait, il nous faut définir tout d’abord deux vecteurs non nuls et non colinéaires dans ce plan. Nous allons voir que tout vecteur qui sera orthogonal à ces deux autres vecteur du plan formera l’espace et sera normal au plan.

Tout d’abord, nous allons définir ce qu’est un vecteur normal à un plan. Un vecteur normal à un plan signifie que ce vecteur est orthogonal à toute droite ou segment du plan. Par exemple :

Dans ce graphe, le vecteur \vec{u} est normal au plan \mathbf{R^{2}} ce qui veut dire que, quelque soit la droite ou le vecteur appartenant au plan, cette droite ou ce vecteurs seront orthogonaux au vecteur \vec{u}. On pourra exprimer ceci autrement, et dire que tout vecteur directeur d’une droite perpendiculaire au plan P est un vecteur normal au plan.
Considérons un plan P passant par un point A et admettant comme vecteur normal, le vecteur \vec{u}.
Considérons également un point M quelconque dans le plan. Quel pourrait être le résultat du produit scalaire entre le vecteur normal \vec{u} et le vecteur \overrightarrow{AM} ?

On a dit qu’un vecteur normal à un plan était orthogonal à tout vecteur ou droite de ce plan, donc, le produit scalaire du vecteur \vec{u} avec le vecteur \overrightarrow{AM} est nécessairement nul. Ce que nous allons démontrer maintenant, c’est que ce que nous avons dit dans la phrase précédente, autrement dit que le fait que le produit scalaire entre le vecteur normal au plan et un autre vecteur soit une des conditions, démontrant que ce dernier est dans le plan.

Nous allons prendre un exemple, le même plan P, le même vecteur normal à ce plan, le vecteur \vec{u}, cette fois, on va considérer un point B quelconque dans l’espace, et son projeté orthogonal sur le plan, le point H, et bien sûr, le point A dans le plan.

Nous voulons vérifier l’affirmation suivante :

\vec{u}\cdot\overrightarrow{AB}=0

Or, on sait que le vecteur \overrightarrow{AB} est la somme du vecteur \overrightarrow{AH} et \overrightarrow{HB}, donc, grâce à la relation de Chasles, on peut écrire :

(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB})\cdot\vec{u}=0

Comme le produit de vecteurs est distributif, on a donc :

\overrightarrow{AH}\cdot\vec{u}+\overrightarrow{HB}\cdot\vec{u}=0

Il y a plusieurs solutions pour qu’un produit scalaire soit nul.
Soit un des vecteurs est nul, soit les deux, ou alors, l’angle entre ces deux vecteurs est nul ou d’angle \frac{\pi}{2}.

Que savons nous cependant ? Nous savons que le vecteur \overrightarrow{AH} est dans le plan, et donc forcément orthogonal à \vec{u}. On se retrouve avec :

\overrightarrow{HB}\cdot\vec{u}=0

On sait que le vecteur normal est non nul, donc :

\overrightarrow{HB}=0

Si ce vecteur est nul, cela veut dire que ses points sont confondus, et que B appartient au plan, telle que :

H=B

Ceci est absurde, en effet, H est le projeté orthogonal de B, et ne peut donc pas être confondu, donc, qu’est-ce que cela veut dire ?
Cela veut dire que dès qu’un point appartient au plan, cela vérifie l’affirmation ci-dessus. 
Pourquoi avoir voulu démontrer cette affirmation ? Car à présent, nous allons pouvoir trouver l’équation cartésienne qui détermine le plan dans l’espace.

Il nous faut nous placer dans un repère orthonormé. Prenons un vecteur normal \vec{u} à ce plan, un point A, un point M et le vecteur \overrightarrow{AM} :

A=\begin{pmatrix}x_a\\y_a\\z_a\end{pmatrix}M=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}, \vec{u}\begin{pmatrix}a \\ b \\c\end{pmatrix}

Donc, le vecteur \overrightarrow{AM} :

\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-x_a \\ y-y_a \\ z-z_a\end{pmatrix}

Si le point M appartenait au plan, cela reviendrait à écrire :

\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}=0

On peut décomposer grâce au fait que nous soyons dans un repère orthonormé :

\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}=a(x-x_a)+b(y-y_a)+c(z-z_a)=0

On développe :

\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}=ax+by+cz-ax_a-by_a-cy_a=0

Mais, ax_a, by_a et cz_a sont des constantes, donc, on va simplement les remplacer par d :

\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}=ax+by+cy+d=0

Voici donc l’équation cartésienne du plan qui vérifie que le point M appartient bien à ce dernier.
Les coordonnées a, b et c, sont les coordonnées du vecteur normal au plan avec lequel nous avons travaillé.
En revanche, ce que l’on peut ajouter, c’est que l’équation cartésienne de ce plan n’est pas unique, en effet, le vecteur normal pourrait avoir des coordonnées différentes, par exemple, un vecteur normal ayant une norme plus grande, et étant colinéaire à notre vecteur normal, ou encore, un point A dans le plan également, mais ayant des coordonnées différentes.

On peut prendre un exemple. Soit P un plan dans l’espace d’un plan orthonormé, soit \vec{u}, un vecteur normal de ce plan, et \overrightarrow{BC}, un vecteur du plan P, telle que :

\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} x-4\\y-2\\z-3\end{pmatrix}, \vec{u}\begin{pmatrix} 7\\4\\1\end{pmatrix}

Donc, en écrivant la formule, on a :

7(x-4)+4(y-2)+(z-3)=0

Donc :

7x+4y+z-39=0

Alors d=-39.

 

A présent, ce que nous allons faire, c’est faire les choses dans l’autre sens, et déterminer un vecteur normal à un plan dans l’espace, grâce à l’équation cartésienne que nous connaissons, et en prenant trois points quelconque d’un plan que nous allons définir. 

Donc, soit un plan orthonormé P dans l’espace, et trois points A, B et C de ce plan :

A=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}

On peut donc créer les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} de ce plan et écrire le vecteur normal qu’on va appeler \vec{n} :

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2\\1\\3\end{pmatrix}, \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1\\-2\\0\end{pmatrix}, \vec{n}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}

On veut que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} soient orthogonaux au vecteur \vec{u}, donc, on pose :

\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}=0~et~\overrightarrow{AC}\cdot\vec{n}=0

Si ces deux conditions sont satisfaites, alors nous avons déterminé un vecteur normal à notre plan.
*Remarque : Attention, il existe une infinité de vecteurs normaux au plan, notre but n’est pas de tous les trouver car c’est impossible, mais simplement d’en trouver un, qui satisfera nos conditions.

Donc, on a :

\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}=-2\alpha+\beta+3\gamma=0
Et
\overrightarrow{AC}\cdot\vec{n}=\alpha-2\beta=0

Qu’avons nous ici ? Nous avons un système d’équation à trois inconnues à résoudre (Si vous n’avez pas encore vu cette notion, veuillez consulter ce chapitre).

\left\{\begin{array}{rcr}-2\alpha+\beta+3\gamma & = & 0 \\\alpha-2\beta & = & 0 \\\end{array}\right.

Donc :

\left\{\begin{array}{rcr}-2\alpha+\beta+3\gamma & = & 0 \\\alpha & = & 2\beta \\\end{array}\right.

Alors :

\left\{\begin{array}{rcr}\beta & = & \gamma  \\\alpha & = & 2\beta \\\end{array}\right.

Il suffit de fixer \alpha=2, \beta=1 et \gamma=1

Nous avons donc le vecteur normal au plan \vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}

 

Méthodes de résolution du produit scalaire dans l’espace :

Nous avons vu ce qu’était un vecteur normal, l’équation cartésienne d’un plan, et le produit scalaire à travers la représentation d’un plan muni d’un repère orthonormé.

Nous avons vu que le produit scalaire dans un repère spatial orthonormé d’un vecteur \vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et d’un vecteur \vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} s’écrit :

\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'

Nous ne ferons pas la démonstration algébrique de cette écriture qui suit la même logique et la même méthode que ce que nous avons vu plus haut lors de la résolution analytique du produit scalaire dans le plan.


Il existe cependant d’autres méthodes pour calculer un produit scalaire dans l’espace, tout comme pour le produit scalaire dans le plan, il est possible, en fonction de la situation, de choisir la méthode la plus adaptée. Parmi ces méthodes, il y a :

  • La méthode de résolution avec l’angle entre les deux vecteurs.
  • La méthode de résolution avec les normes.
  • La méthode de résolution avec les projetés orthogonaux.
  • La méthode de résolution par décomposition des vecteurs.

 

La méthode de résolution avec l’angle entre deux vecteurs :

Imaginons que nous ayons un cube de ce type, et que nous voulions effectuer le produit scalaire du vecteur \vec{u} et du vecteur \vec{v} :

Nous sommes dans un cube, donc, il est tout à fait possible de reporter le vecteur \vec{v} afin qu’il puisse appartenir au même plan que le vecteur \vec{u}, et se servir ensuite de l’angle entre les deux vecteur pour effectuer le produit scalaire :

On effectue donc le produit scalaire en écrivant :

\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot\cos(\theta)

 

Méthode de résolution avec les normes (ou les longueurs) :

Il est également possible de s’en tenir au longueur des vecteurs, comme nous l’avons vu avec le théorème d’Al Kashi. Encore une fois, prenons un cube, et admettons que nous voulions effectuer le produit scalaire de ces deux vecteurs :

Le produit scalaire s’écrit :

\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BH}=\frac{1}{2}(BE^2+BH^2-EH^2)

 

Méthode de résolution avec le projeté orthogonal :

On se rappelle également de cette méthode, qui consiste à prendre le projeté orthogonal d’un vecteur sur l’autre et d’effectuer le produit scalaire de ces derniers :

Alors, dans ce cas de figure, le produit scalaire s’écrit :

\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}
En effet, on voit bien que le projeté orthogonal de \overrightarrow{AG} sur \overrightarrow{AC} revient à faire le produit scalaire du vecteur \overrightarrow{AC} avec lui même.

 

Méthode par décomposition des vecteurs :

La dernière méthode consiste à décomposer les vecteurs en d’autres vecteurs. Par exemple, si on prend ces deux vecteurs :

Difficile d’utiliser les méthodes connues pour calculer ce produit scalaire. Les vecteurs ne se projettent pas sur le même plan, on ne peut pas non plus utiliser le projeté orthogonal de l’un des vecteurs sur l’autre. Il serait possible d’utiliser la méthode des normes, mais nous allons voir qu’il existe une méthode plus simple.
En effet, chacun des deux vecteurs peut être décomposé en d’autres vecteurs, telle que :

\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}
\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}

Donc :

\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{DF}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG})\cdot(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF})

En développant, on a :

\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{BF}

C’est long, mais il faut se souvenir de quelques propriétés :

  • lorsque \theta = \pi, alors \cos(\pi)=-1 et le produit scalaire \vec{u}\cdot\vec{v}=-||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||. Les deux vecteurs sont colinéaires mais de sens opposés.
  • lorsque \theta = 0, alors \cos(0)=1 et le produit scalaire \vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||. Les deux vecteurs sont colinéaires et de même sens.
  • lorsque \theta = \frac{\pi}{2}, alors \cos(\frac{\pi}{2})=0, et donc le produit scalaire \vec{u}\cdot\vec{v}=0. Les deux vecteurs sont orthogonaux.

Nous sommes dans un cube, donc, parmi les vecteurs que nous avons, il y en a forcément qui sont orthogonaux et d’autres, colinéaires.
Voyons cela, en éliminant les vecteurs orthogonaux et en prenant en compte les vecteurs colinéaires de même sens et ceux de sens opposé, on simplifie, telle que :

\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{BF}

En fait, on peut simplifier encore, et on se retrouve alors avec :

\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{DF}=||\overrightarrow{AB}||^2+||\overrightarrow{CG}||^2-||\overrightarrow{BC}||^2

 

 

Produit vectoriel :

Nous savons ce qu’un est un vecteur, nous connaissons les opérations sur ces derniers, à présent, nous allons parler de produit vectoriel.

Qu’est ce que le produit vectoriel ? Et qu’est ce qui le différencie du produit scalaire ? Un produit vectoriel est une opération entre deux vecteurs qui ne peut s’effectuer que dans l’espace, en 3 dimensions (où 7, mais nous n’en parlerons pas), et qui, au contraire du produit scalaire, n’a pas comme résultat un scalaire, mais un autre vecteur.
Pourquoi ne peut t-il s’effectuer uniquement que dans l’espace ? C’est très simple, la direction du vecteur résultant du produit vectoriel de ces deux vecteurs est forcément orthogonale à ces derniers.
Si le vecteur résultant est orthogonal aux deux autres vecteurs, cela sous entend forcément que nous ne sommes plus dans le domaine du plan, mais bien dans le domaine de l’espace, en effet, comme nous l’avons vu, deux vecteurs orthogonaux forment le plan, mais trois vecteurs orthogonaux entre eux forment l’espace.

Comprenons ce qu’il faut faire et comment effectuer le produit vectoriel en prenant comme exemple une application physique, le moment de force. Le moment de force sera abordé dans un autre chapitre, celui de la mécanique newtonienne, mais nous allons nous en servir pour définir la notion mathématique de produit vectoriel.

Le moment de force s’exprime dans ce cas, tout comme un levier, en fonction de la longueur du manche, et de la force exercée sur ce dernier, telle que :

\tau=rF

On voit bien que, si le manche était deux fois plus long, alors la force nécessaire serait deux fois moins intense :

\tau=2r\frac{F}{2}

Cependant, la force exercée sur la clé à molette ne peut jamais être parfaitement perpendiculaire au manche.
Imaginons un cycliste vissant un boulon à sou de vélo, et il se pourrait par exemple, qu’elle le soit de cette manière :

Dans ce cas là, que faut il faire ? Il faut prendre les composantes du vecteur force, et tenter de déterminer la valeur de la force exercée sur la clé :

Qu’avons nous fait ? Lorsque nous traçons les composantes du vecteur initial, un triangle rectangle se forme, ce qui nous permet de déterminer la longueur de la composante de la force que nous cherchons à l’aide de l’angle s’étant formé entre l’axe du manche et le projeté de la force. Evidemment, le résultat de la longueur du vecteur force que nous trouvons à droite est égale à celle du vecteur force que nous cherchons.

Donc, on peut réécrire l’équation du moment de force :

\tau=rF\sin(\theta)

Pour avoir l’information géométrique, il nous faut considérer r et F comme des vecteurs, mais pour conserver le caractère vectoriel de l’équation, il faut également considérer \tau comme un vecteur. Ce vecteur contient l’information de l’intensité du moment de torsion mais aussi sur le sens de rotation, grâce à la règle de la main droite.

La règle de la main droite est une convention utilisée pour connaître le sens dans lequel le vecteur \tau se positionne. 
Si on prend le cas de notre exemple, il suffit de mettre la main dans le prolongement du bras de levier de la clé, de plier les doigts pour épouser la direction de notre vecteur force, et on constate bien que notre pouce rentre dans le plan.

Nous pouvons à présent définir le produit vectoriel pour le moment de force :

\vec{\tau}=\vec{r}\wedge\vec{F}=||\vec{r}||||\vec{F}||\sin(\theta)

Le problème, c’est que si on limite à ce calcul, il nous est impossible de connaître le sens de \tau, si il entre dans le plan ou sort du plan, c’est pourquoi, il nous faut rajouter quelque chose, il faut rajouter le vecteur normal unitaire au plan que forme le vecteur manche de la clé et vecteur force, de direction « pouce de la main droite » :

\vec{\tau}=\vec{r}\wedge\vec{F}=||\vec{r}||||\vec{F}||\sin(\theta)\vec{1}

De cette manière, le résultat est un vecteur :

Il faut faire attention à bien différencier les symbole d’un vecteur entrant de le plan et celui d’un sortant de ce dernier :

Dans notre cas, on voit bien qu’en utilisant la règle de la main droite, le trajet circulaire se fait dans le sens des aiguilles d’une montre (sens contraire du sens trigonométrique). Lorsque le vecteur sort du plan, on le note avec un point en son centre. Attention à ne pas oublier ce détails, schématiser un vecteur en confondant son symbole est une erreur.

 

Nous allons maintenant sortir du contexte de moment de force et nous intéresser à la définition formelle et les propriétés du produit vectoriel.

Lorsqu’on étudie le moment de force, on fait le produit vectoriel de deux vecteurs qui sont bout à bout, l’un ayant comme origine, l’extrémité de l’autre.
Nous savons cependant que nous avons le droit de « déplacer » un des vecteurs de manière à ce qu’ils aient la même base.
Donc, prenons un vecteur \vec{w}, résultat du produit vectoriel de deux vecteurs \vec{u} et `\vec{v}, non colinéaires, alors, le produit vectoriel de ces deux vecteurs s’écrit :

\vec{w}=\vec{u}\wedge\vec{v}=||\vec{u}||||\vec{v}||\sin(\theta)

On peut le représenter comme ceci :

Nous disions plus haut que ce qui défini le sens du vecteur orthogonal aux produits des deux autres vecteurs est le vecteur unitaire déterminé par la règle de la main droite, et ceci nous amène à énoncée quelques propriétés importantes du produit vectoriel.


La première propriété est la suivante : l’antisymétrie.

Qu’est ce que cela veut dire ? Cela veut dire que :

\vec{u}\wedge\vec{v}\neq\vec{v}\wedge\vec{u}

Pourquoi ? Rappelez vous, faire le produit vectoriel de a par b, c’est faire :

Donc, effectuer le produit vectoriel de b par a, revient à faire :

On sait que la fonction sinus est impaire, \sin(-\theta)=-\sin(\theta), par conséquent :

\vec{v}\wedge\vec{u}=-||\vec{v}||||\vec{u}||\sin(\theta) et donc \vec{v}\wedge\vec{u}=-(\vec{u}\wedge\vec{v}).
Le produit vectoriel est bien antisymétrique. 

La deuxième propriété importante du produit vectoriel va de soit. Lorsque que deux vecteurs sont colinéaires, leur produit vectoriel est nul. En effet, si l’angle entre les deux vecteur est nul, alors \sin(0)=0 et \vec{u}\wedge\vec{v}=0

La troisième propriété découle des deux autres. Soit une base orthonormée directe (i,j,k) (directe veut dire que le sens de rotation atour de la base se fait dans le sens trigonométrique) :

Alors :

\vec{i}\wedge\vec{j}=\vec{k}\vec{j}\wedge\vec{k}=\vec{i}\vec{k}\wedge\vec{i}=\vec{j}

En se basant sur la propriété antisymétrique du produit vectoriel, on sait également que :

\vec{j}\wedge\vec{i}=-\vec{k}\vec{k}\wedge\vec{j}=-\vec{i}\vec{i}\wedge\vec{k}=-\vec{j}

Si vous avez un doute, effectuez le produit vectoriel ou servez vous de la règle de la main droite.

Attention, le produit vectoriel n’est pas associatif, on peut le démontrer très facilement. On sait que le produit de deux vecteurs colinéaires donne le vecteur nul. Dans ce cas, c’est la même chose pour le produit vectoriel d’un vecteur par lui même : \vec{u}\wedge\vec{u}=\vec{0}.

Donc, on voit bien que :

(\vec{u}\wedge\vec{u})\wedge\vec{v}\neq\vec{u}\wedge(\vec{u}\wedge\vec{v})

 

Quatrième propriété : Distributivité et multiplication par un scalaire.

On a vu que le produit vectoriel n’était pas commutatif, en effet, sa propriété d’antisymétrie rend le produit vectoriel non commutatif. Nous avons également vu qu’il n’était pas associatif, alors est-il distributif ?

Pour le démontrer, on va considérer deux vecteurs \vec{a} et \vec{b} et la décomposition du vecteur \vec{b}=\vec{b_1}+\vec{b_2} qui vérifie \vec{a}\wedge\vec{b}=\vec{a}\wedge(\vec{b_1}+\vec{b_2})=\vec{a}\wedge\vec{b_1}+\vec{a}\wedge\vec{b_2}.

Voici comment nous représenterions ceci géométriquement :

Malheureusement, si on veut appliquer la formule, il faut considérer les deux autres angles. l’angle entre \vec{a} et \vec{b_1} et l’angle entre \vec{a} et \vec{b_2} :

Posons donc la formule du produit vectoriel appliquée à notre cas de figure : 

||\vec{a}||||\vec{b_1}+\vec{b_2}||\sin(\theta)=||\vec{a}||||\vec{b_1}||\sin(\theta)+||\vec{a}||||\vec{b_2}||\sin(\theta)

On voit clairement qu’il est possible de simplifier par le vecteur \vec{a} :

||\vec{b_1}+\vec{b_2}||\sin(\theta)=||\vec{b_1}||\sin(\theta)+||\vec{b_2}||\sin(\theta)

A présent, comment nous est-il possible d’affirmer cette égalité ? Pouvons nous le faire ?
Ce que l’on va faire, c’est projeter le côté du triangle rectangle formé par les vecteurs \vec{a} et \vec{b} sur le plan et le déplacer à l’origine de ces derniers.
Regardons ce qui se passe graphiquement :

On voit bien que la projection du module du vecteur \vec{b_1+b_2} multiplié par le sinus de l’angle formé avec le vecteur \vec{a} est bien le segment que nous avons trouvé. Quand est t-il des deux autres ? On peut très bien faire la même chose :

Que remarque t-on ? On remarque qu’effectivement, la formule est vérifiée :

||\vec{b_1}+\vec{b_2}||\sin(\theta)=||\vec{b_1}||\sin(\theta_1)+||\vec{b_2}||\sin(\theta_2)

Donc, par extension, la distributivité pour le produit vectoriel est vérifiée.

 

Ceci nous amène a une propriété qui découle de la distributivité, la compatibilité avec la multiplication par un scalaire.
Prenons \vec{b_1}=\vec{b_2} et \vec{b_1}=\vec{b}

Alors :

\vec{a}\wedge\vec{b}=\vec{a}\wedge(\vec{b_1+b_2})=\vec{a}\wedge(\vec{2b})

Donc, selon la loi de distributivité, on peut écrire :

\vec{a}\wedge\vec{b}=\vec{a}\wedge(\vec{b_1+b_2})=\vec{a}\wedge(\vec{2b})=2(\vec{a}\wedge\vec{b})

Par extension, on peut généraliser à :

k(\vec{u}\wedge\vec{v})=k\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{u}\wedge k\vec{v}

 

Cinquième propriété, qui est une propriété géométrique du produit vectoriel :

Le produit vectoriel est l’aire du parallélogramme formé par ces deux vecteurs. Qu’est ce que cela veut dire ? Voyons ceci graphiquement :

En effet, nous allons vérifier ceci. Dans notre cas de figure, le parallélogramme est un rectangle car \vec{u} est perpendiculaire à $ latex \vec{v}$.
On pose donc :

\vec{u}\wedge\vec{v}=||\vec{u}||||\vec{v}||\sin(\theta)

On remplace par les modules de \vec{u} et de \vec{v} :

\vec{u}\wedge\vec{v}=6\times\sin(\theta)

On sait que \vec{u} est perpendiculaire à \vec{v}, donc \sin(\theta)=1, donc, \vec{u}\wedge\vec{v}=6

On voit bien que notre première affirmation était vraie. Bien sûr, le résultat n’est pas un vecteur, car il nous faut encore effectuer le produit avec le vecteur normal unitaire :

\vec{u}\wedge\vec{v}=6\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6\end{pmatrix}

 

Expression analytique du produit vectoriel :

Il est, tout comme pour le produit scalaire, possible de définir le produit vectoriel de manière analytique, comment ?
On sait qu’un vecteur est composé d’autres vecteurs qui sont eux même deux points dans un repère. Soit un repère orthonormé direct (i,j,k), et deux vecteurs dans ce repère :

\vec{u}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_2\end{pmatrix}= x_1i+x_2j+x_3k,    \vec{v}=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_2\end{pmatrix}= y_1i+y_2j+y_3k

Donc :

\vec{u}\wedge\vec{v}=(x_1i+x_2j+x_3k)\wedge(y_1i+y_2j+y_3k)

On développe :

\vec{u}\wedge\vec{v}=x_1 y_1 ~ \vec{i}\wedge \vec{i}+x_1 y_2 ~\vec{i}\wedge \vec{j} +x_1 y_3 ~ \vec{i}\wedge \vec{k}+x_2 y_1 ~ \vec{j}\wedge \vec{i}+ x_2 y_2 ~ \vec{j}\wedge \vec{j} +x_2 y_3 ~ \vec{j}\wedge \vec{k}+ x_3 y_1 ~ \vec{k}\wedge \vec{i}+ x_3 y_2 ~ \vec{k}\wedge \vec{j}+ x_3 y_3 ~ \vec{k}\wedge \vec{k} 

On peut d’ors et déjà éliminer les produits vectoriel des vecteurs colinéaires et simplifier le reste :

\vec{u}\wedge\vec{v}=x_1 y_2 ~\vec{k} +x_1 y_3 ~ (-\vec{j})+x_2 y_1 ~ (-\vec{k})+x_2 y_3 ~ \vec{i}+ x_3 y_1 ~ \vec{j}+ x_3 y_2 ~ (-\vec{i}) 

On rassemble les termes :

\vec{u}\wedge\vec{v}=(x_2 y_3 - x_3 y_2)\vec{i}+(x_3 y_1-x_1 y_3)\vec{j}+(x_1 y_2 - x_2 y_1)\vec{k}

En conclusion, on peut écrire l’expression du produit vectoriel comme suit :

\vec{u}\wedge\vec{v}=\begin{pmatrix} x_2 y_3 - x_3 y_2 \\ x_3 y_1 - x_1 y_3 \\ x_1 y_2 - x_2 y_1\end{pmatrix}

 

Calcul de l’angle entre deux vecteurs d’une même base à l’aide du produit vectoriel et grâce à leurs composantes :

Tout comme pour le produit scalaire, on peut calculer l’angle entre deux vecteurs.
On peut le faire grâce à leurs composantes et via le produit vectoriel de ces deux vecteurs tel que ce que l’on cherche; c’est la norme du produit vectoriel :

||\vec{u}\wedge\vec{v}||=||\vec{u}||\times\||\vec{v}||\times\sin(\theta)=\sqrt{(x_2 y_3-x_3 y_2)^2+(x_3 y_1-x_1 y_3)^2+(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2} 

Ensuite :

\sin(\theta)=\frac{\sqrt{(x_2 y_3-x_3 y_2)^2+(x_3 y_1-x_1 y_3)^2+(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2}}{ ||\vec{u}||\times\||\vec{v}||}

Et donc, l’angle theta est :

\theta=\arcsin(\frac{\sqrt{(x_2 y_3-x_3 y_2)^2+(x_3 y_1-x_1 y_3)^2+(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2}}{ ||\vec{u}||\times\||\vec{v}||})

 

 

Produit mixte :

Le produit mixte fait intervenir à la fois le produit scalaire et le produit vectoriel.
Soit 3 vecteurs non colinéaires dans \mathbb{R}^3.
En fait, la norme du résultat que nous trouvons est le volume du parallélépipède formé par ces trois vecteurs. En effet, le résultat de ce produit mixte est un scalaire.

Commençons par voir ce que cela donne graphiquement afin de visualiser l’utilité de cette notion de produit mixte :